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2．2021年9月30日《長津湖》上映，影片表現(xiàn)了志愿軍戰(zhàn)士不懼強(qiáng)敵敢于戰(zhàn)斗、敢于勝利的英雄氣概．截至2022.1.10票房已經(jīng)突破了58億元大關(guān)，數(shù)據(jù)58億元用科學(xué)記數(shù)法表示為（　?。?/span>

A．5.8×10⁷ B．0.58×10⁸

C．5.8×10⁸ D．5.8×10⁹

3．如圖，AB∥CD，AD⊥BD，∠1＝54°，則∠2的大小是（　?。?/span>

A．36° B．50° C．26° D．54

4．如圖所示的幾何體由5個完全相同的小正方體組成，它的俯視圖是（　?。?/span>

A．

B．

C．

D．

5．下列運(yùn)算正確的是（　?。?/span>

A．（m+2）²＝m²+4

B．m⁵﹣m³＝m²

C．（﹣m²n）³＝﹣m⁶n³

D．﹣2m（2m³﹣m）＝﹣4m⁴﹣2m²

6．若方程x²+bx+3＝0有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，則b的值不可能是（　?。?/span>

A．3 B．4 C．﹣5 D．﹣6

7．下列命題中，為真命題的是（　?。?/span>

（1）對角線互相平分的四邊形是平行四邊形

（2）對角線互相垂直的四邊形是菱形

（3）對角線相等的平行四邊形是菱形

（4）有一個角是直角的平行四邊形是矩形

A．（1）（2） B．（1）（4）

C．（2）（4） D．（3）（4）

8．“科學(xué)用眼，保護(hù)視力”是青少年珍愛生命的具體表現(xiàn)，某班50名同學(xué)的視力檢查數(shù)據(jù)如表，其中有兩個數(shù)據(jù)被遮蓋，下列關(guān)于成績的統(tǒng)計量中，與被遮蓋的數(shù)據(jù)無關(guān)的是（　　）

視力	4.3	4.4	4.5	4.6	4.7	4.8	4.9	5.0
人數(shù)	3	3	6	9	12	10	■	■

A．中位數(shù)，眾數(shù) B．中位數(shù)，方差

C．平均數(shù)，方差 D．平均數(shù)，眾數(shù)

9．如圖，D是平行四邊形ABOC內(nèi)一點(diǎn)，CD與x軸平行，AD與y軸平行，AD＝2

，CD＝7

，∠ADB＝135°，S_△_ABD＝8．則點(diǎn)D的坐標(biāo)為（　　）

A．

B．

C．

D．

10．如圖①，點(diǎn)A、B是⊙O上兩定點(diǎn)，圓上一動點(diǎn)P從圓上一定點(diǎn)B出發(fā)，沿逆時針方向勻速運(yùn)動到點(diǎn)A，運(yùn)動時間是x（s），線段AP的長度是y（cm）．圖②是y隨x變化的關(guān)系圖象，則圖中m的值是（　?。?/span>

A．

B．

C．5s D．

二、填空題（每小題3分，共15分）

11．若關(guān)于x方程

的解是x＝1，則a的值為　　．

12．寫出一個解集為x＞1的一元一次不等式組：　　．

13．2022年北京冬奧會的主題口號是“一起向未來”，一個不透明的口袋里裝著分別標(biāo)有漢字“一”、“起”、“向”、“未”、“來”的五個小球，除漢字不同之外，小球沒有其它區(qū)別．從中任取兩個球，則取出的兩個球上的漢字恰能組成“一起”或“未來”的概率為　　．

14．如圖，兩塊完全一樣的含30°角的三角板完全重疊在一起，若繞長直角邊中點(diǎn)M轉(zhuǎn)動，使上面一塊三角板的斜邊剛好經(jīng)過下面一塊三角板的直角頂點(diǎn)，已知∠A＝30°，BC＝2，則此時兩直角頂點(diǎn)C，C'間的距離是　　．

15．如圖，菱形ABCD中，∠A＝30°，AB＝3，點(diǎn)M為射線CD上一個動點(diǎn)，連接BM，點(diǎn)C關(guān)于BM的對稱點(diǎn)為N．連接BN，MN，當(dāng)MN⊥CD時，則以點(diǎn)B為圓心的劣弧NC的弧長為　　．

三、解答題（本大題共8個小題，共75分）

16．（10分）（1）計算：|﹣2|﹣

；

（2）化簡：

．

17．（9分）“一盔一帶”安全守護(hù)行動是公安部在全國開展的一項(xiàng)安全守護(hù)行動，其中要求騎行摩托車、電動車需要佩戴頭盔，戴頭盔對保護(hù)騎電動車人的安全尤為重要，某日一志愿者在某市區(qū)隨機(jī)抽取部分騎電動車的人，對此人群進(jìn)行佩戴頭盔情況調(diào)查（調(diào)查內(nèi)容為：“很少戴頭盔”、“有時戴頭盔”、“常常戴頭盔”、“總是戴頭盔”）．將調(diào)查數(shù)據(jù)整理后，繪制成部分統(tǒng)計圖如圖所示．請根據(jù)圖中信息，解答下列問題：

（1）該調(diào)查的樣本容量為　　；

（2）“總是戴頭盔”的人數(shù)占被調(diào)查人數(shù)的百分比為　　；

（3）請對此次佩戴頭盔情況調(diào)查作出評價，并對該市公安部門提出一條合理化建議．

18．（9分）如圖，一次函數(shù)y＝﹣x+b的圖象與反比例函數(shù)y＝

（k≠0）在第一象限的圖象交于A（1，3）和B兩點(diǎn)，與x軸交于點(diǎn)C．

（1）b＝　　，k＝　　；

（2）當(dāng)﹣x+b＜

時，請結(jié)合圖象直接寫出x的取值范圍；

（3）連結(jié)OA、OB，求△OAB的面積．

19．（9分）為進(jìn)一步加強(qiáng)疫情防控工作，避免在測溫過程中出現(xiàn)人員聚集現(xiàn)象，洛陽市某學(xué)校決定安裝紅外線體溫檢測儀，該設(shè)備通過探測人體紅外輻射能量對進(jìn)入測溫區(qū)域的人員進(jìn)行快速測溫（如圖1），其紅外線探測點(diǎn)O可以在垂直于地面的支桿OP上下調(diào)節(jié)（如圖2）．已知探測最大角（∠OBC）為60°，探測最小角（∠OAC）為26.6°．若該設(shè)備的安裝高度OC為1.80米．請你幫助學(xué)校確定該校測溫區(qū)域的寬度AB．

（結(jié)果精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：sin26.6°≈0.45．cos26.6°≈0.89，tan26.6°≈0.50，

≈1.73）

20．（9分）在《阿基米德全集》中的《引理集》中記錄了古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德提出的有關(guān)圓的一個引理．如圖，已知

，點(diǎn)P是弦AB上一點(diǎn)，請你根據(jù)以下步驟完成這個引理的作圖過程．

（1）請按要求尺規(guī)作圖：

①作線段AP的垂直平分線CD，交

于點(diǎn)C，交AP于點(diǎn)D，連接AC，CP；

②以點(diǎn)C為圓心，CA長為半徑作弧，交

于點(diǎn)E（E，A兩點(diǎn)不重合），連接CE，BE，BC．

（2）猜想線段BP，BE的數(shù)量關(guān)系，并證明．

21．（9分）2022年，冬奧會和冬殘奧會在北京舉辦，冬奧會吉祥物“冰墩墩”和冬殘奧會吉祥物“雪容融”深受廣大人民的喜愛．2021年11月初，奧林匹克官方旗艦店上架了“冰墩墩”和“雪容融”這兩款毛絨玩具，當(dāng)月售出了“冰墩墩”200個和“雪容融”100個，銷售總額為33000元．十二月售出了“冰墩墩”300個和“雪容融”200個，銷售總額為54000元．

（1）求“冰墩墩”和“雪容融”的銷售單價；

（2）已知“冰墩墩”和“雪容融”的成本分別為90元/個和60元/個，進(jìn)入2022年1月后，這兩款毛絨玩具持續(xù)熱銷，于是旗艦店準(zhǔn)備用60000元全部購進(jìn)這兩款毛絨玩具．設(shè)購進(jìn)“冰墩墩”x個，“雪容融”y個．

①求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；

②該旗艦店進(jìn)貨時，廠家要求“雪容融”的購進(jìn)數(shù)量不超過“冰墩墩”的購進(jìn)數(shù)量，若1月份購進(jìn)的這兩款毛絨玩具全部售出，則如何設(shè)計進(jìn)貨方案才能使該旗艦店當(dāng)月銷售利潤最大，并求出最大利潤．

22．（10分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝﹣x²+bx+c與x軸交于點(diǎn)A，B（A在B的左側(cè)）

（1）若拋物線的對稱軸為直線x＝1，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣1，0），求b和c的值；

（2）將（1）中的拋物線向左平移兩個單位后再向下平移，得到的拋物線經(jīng)過點(diǎn)O．且與x軸正半軸交于點(diǎn)C，記平移后的拋物線頂點(diǎn)為P，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）當(dāng)b＝6時，在拋物線上有兩點(diǎn)M（m，y₁）和N（m+3，y₂），且y₁＜y₂，請直接寫出m的取值范圍．

23．（10分）問題情境：

數(shù)學(xué)活動課上，同學(xué)們開展了以“矩形紙片折疊”為主題的探究活動（每個小組的矩形紙片規(guī)格相同），已知矩形紙片寬AB＝8，長

．

動手實(shí)踐：

（1）如圖1，騰飛小組將矩形紙片ABCD折疊，點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)A'處，折痕為BE，連接A'E，然后將紙片展平，得到四邊形AEA'B，則折痕BE的長為　　．

（2）如圖2，永攀小組將矩形紙片ABCD沿經(jīng)過A、C兩點(diǎn)的直線折疊，展開后得折痕AC，再將其沿經(jīng)過點(diǎn)B的直線折疊，使點(diǎn)A落在OC上（O為兩條折痕的交點(diǎn)），第二條折痕與AD交于點(diǎn)E．請寫出OC與OA的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

深度探究：

（3）如圖3，探究小組將圖1中的四邊形AEA'B剪下，在AE上取中點(diǎn)F，將△ABF沿BF疊得到△MBF，點(diǎn)P，Q分別是邊A'E，A'B上的動點(diǎn)（均不與頂點(diǎn)重合），將△A'PQ沿PQ折疊的對應(yīng)點(diǎn)N恰好落在BM上，當(dāng)△A'PQ的一個內(nèi)角與∠A'BM相等時，請直接寫出A'Q的長度．

2022年河南省洛陽市澗西區(qū)中考數(shù)學(xué)一模試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題（每小題3分，共30分）下列各小題均有四個選項(xiàng)，其中只有一個是正確的。

1．C．2．D．3．A．4．B．5．C．6．A．7．B．8．A．9．A．10．D．

二、填空題（每小題3分，共15分）

11．﹣1． 12．

（答案不唯一）．13．

．14．

．15．

π或

π．

三、解答題（本大題共8個小題，共75分）

16．解：（1）|﹣2|﹣

＝2﹣2﹣4

＝﹣4；

（2）

＝

．

17．解：（1）200；

（2）15%；

（3）由于“總是戴頭盔”的人數(shù)占被調(diào)查人數(shù)的百分比為15%，可推斷出該市騎電動車佩戴頭盔的人數(shù)較少，戴頭盔對保護(hù)騎電動車人的安全非常重要，所以公安部門應(yīng)全面強(qiáng)制騎電動車的市民佩戴頭盔．

18．解：（1）4，3．

（2）聯(lián)立

，解得x＝1或x＝3，

∴B（3，1），

根據(jù)圖象可知，當(dāng)﹣x+b＜

時，0＜x＜1或x＞3．

（3）連接OA，OB，如圖所示：

當(dāng)y＝﹣x+4＝0時，x＝4，

∴C（4，0），

∴OC＝4，

∵A（1，3），B（3，1），

∴S_△_AOB＝S_△_AOC﹣S_△_BOC＝

＝4，

∴△OAB的面積為4．

19．解：在Rt△BCO中，

∵tan∠OBC＝

，

∴BC＝

＝

≈

≈1.04（米）．

在Rt△ACO中，

∵tan∠OAC＝

，

∴AC＝

≈

＝3.60（米）．

∴AB＝AC﹣BC

≈3.60﹣1.04

＝2.56

≈2.6（米）．

答：該校測溫區(qū)域的寬度AB為2.6米．

20．解：（1）①如圖，直線CD即為所求作的垂直平分線，

②如圖，點(diǎn)E即為所求作的點(diǎn)，線段CE，BE即為所連的線段，

（2）結(jié)論：BP＝BE．

理由：∵DC垂直平分線段AB，

∴CA＝CP，

∴∠DAC＝∠DPC，

∵AC＝CE，

∴CE＝CP，

＝

，

∴∠CBP＝∠CBE，

∵四邊形ABEC為⊙O的內(nèi)接四邊形，

∴∠CAB+∠CEB＝180°．

∵∠DPC+∠CPB＝180°，

∴∠CPB＝∠CEB，

在△DFB和△DCB中，

，

∴△CBP≌△CBE（AAS），

∴BP＝BE．

21．解：（1）設(shè)“冰墩墩”和“雪容融”的銷售單價分別為m元和n元，

根據(jù)題意，得

，解得

，

∴“冰墩墩”和“雪容融”的銷售單價分別為120元和90元．

（2）①根據(jù)題意，得90x+60y＝60000，

∴y＝﹣1.5x+1000，

②根據(jù)題意，得﹣1.5x+1000≤x，

解不等式，得x≥400，

設(shè)該旗艦店當(dāng)月銷售利潤w＝（120﹣90）x+（90﹣60）（﹣1.5x+1000）＝﹣15x+30000，

∵﹣15＜0，

∴w隨著x的增大而減小，

∴當(dāng)x＝400時，w最大＝﹣6000+30000＝24000．

此時y＝﹣600+1000＝400，

∴“冰墩墩”和“雪容融”各購進(jìn)400個時，該旗艦店當(dāng)月銷售利潤最大，最大利潤為24000元．

22．解：（1）∵拋物線的對稱軸為直線x＝1，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣1，0），

∴B（3，0），

∴拋物線的解析式為：y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x²+2x+3，

∴b＝2，c＝3；

（2）y＝﹣x²+2x+3＝﹣（x﹣1）²+4，

設(shè)拋物線向下平移m個單位，

∴y＝﹣（x﹣1+2）²+4﹣m，

∴y＝﹣（x+1）²+4﹣m，

∵拋物線經(jīng)過原點(diǎn)，

∴﹣1+4﹣m＝0，

∴m＝3，

∴平移后拋物線為y＝﹣（x+1）²+1，

∴P（﹣1，1）；

（3）當(dāng)b＝6時，y＝﹣x²+6x+c，

∴拋物線的對稱軸為x＝3，

∵M（m，y₁）和N（m+3，y₂），且y₁＜y₂，

分兩種情況：

①點(diǎn)M和N都在對稱軸x＝3的左側(cè)時，m+3≤3，

∴m≤0，

②點(diǎn)M，N在對稱軸的兩側(cè)時，

∵y₁＜y₂，

∴

，

解得：0＜m＜

，

綜上，m的取值范圍是m＜

．

23．解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠ABC＝90°＝∠A，

∵將矩形紙片ABCD折疊，點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)A'處，

∴∠ABE＝∠A'BE＝45°，

∴△ABE是等腰直角三角形，

∴BE＝

AB＝8

，

故答案為：8

；

（2）OC＝2OB；理由如下：

∵矩形紙片寬AB＝8＝CD，長

＝AD，

∴AC＝

＝

＝8

，

由翻折點(diǎn)A落在OC上可得BE⊥AC，

∴∠BOA＝90°，

∴2S_△_ABC＝AB·BC＝AC·OB，

∴OB＝

＝

，

在Rt△AOB中，OA＝

＝

，

在Rt△BOC中，OC＝

＝

，

∴OC＝2OA；

（3）過M作RT∥AB交AE于R，交A'B于T，如圖：

由已知可得：四邊形ABA'E是正方形，邊長為8cm，

∵F是AE中點(diǎn)，

∴AF＝4cm，

∵△ABF沿BF疊得到△MBF，

∴BM＝AB＝8cm，FM＝AF＝4cm，∠BMF＝∠A＝90°，

∴∠FMR＝90°﹣∠BMT＝∠MBT，

又∠MRF＝∠MTB＝90°，

∴△FRM∽△MTB，

∴

＝

，

∴MT＝2FR，BT＝2MR，

設(shè)FR＝x，MR＝y，則MT＝2x，BT＝2y，

∵AR＝BT，

∴4+x＝2y①，

∵AB＝RT，

∴8＝y+2x②，

由①②可得：x＝

，y＝

，

∴FR＝

cm，MR＝

cm，MT＝

cm，BT＝

cm，

（Ⅰ）當(dāng)∠A'QP＝∠A'BM時，PQ∥BM，

∴∠PQN＝∠BNQ，

∵△A'PQ沿PQ折疊的對應(yīng)點(diǎn)N恰好落在BM上，

∴∠PQN＝∠A'QP，NQ＝A'Q，

∴∠BNQ＝∠A'BM，

∴BQ＝NQ，

∴BQ＝A'Q，即Q是A'B的中點(diǎn)，

∴A'Q＝

A'B＝4（cm）；

（Ⅱ）當(dāng)∠A'PQ＝∠A'BM時，過N作KS∥AE交A'B于S，過P作PK∥A'B交KS于K，如圖：

在Rt△BMT中，tan∠A'BM＝

＝

，

∴tan∠A'PQ＝

，

∴

＝

，

∵∠PNQ＝∠A'＝90°，

∴∠PNK＝90°﹣∠QNS＝∠NQS，

∵∠K＝∠NSQ＝90°，

∴△PKN∽△NSQ，

∴

＝

，

設(shè)SQ＝m，SN＝n，則NK＝

m，KP＝

n，

∴NQ＝

＝

＝A'Q，

∵KP＝A'S＝A'Q+SQ，

∴

n＝

+m，可得n＝

m，

∴A'Q＝

＝

m，SN＝

m，

在Rt△BNS中，

tan∠NBS＝

＝

，

∴BS＝

SN＝

m，

∵BS+SQ+A'Q＝A'B＝8，

∴

m+m+

m＝8，

解得m＝

，

∴A'Q＝

m＝

（cm），

綜上所述，A'Q的長為4cm或

cm．

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