一． 數(shù)學(xué)的重要性：
學(xué)了這么多年的書，感覺最有用的就是數(shù)學(xué)課了，相信還是有很多人和我一樣的想法的
。 大家回想一下：有什么課自始至終都用到？我想了一下只有數(shù)學(xué)了，當(dāng)然還有英語。
特別到了大學(xué)，學(xué)信號處理和通信方面的課時，更是感到了數(shù)學(xué)課的重要性。計算機(jī)：
數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，編程算法....哪個不需要數(shù)學(xué)知識和思想。有這樣的說法，數(shù)學(xué)系的人學(xué)計
算機(jī)才是最牛的。信號與系統(tǒng)：這個變換那個變換的。通信：此編碼彼編碼的。數(shù)字圖
像與模式識別：這個概率論和數(shù)理統(tǒng)計到處都是。線性代數(shù)和矩陣論也是經(jīng)常出現(xiàn)。
二． 數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)方法：
最重要的是遇到問題首先不畏懼，然后知道類似的問題別人是如何處理，我們是否可以
借鑒，然后再比較我們的問題和已有的問題有何異同，已有的方法有什么不足，我們應(yīng)
從哪里著手考慮新方法。思考路線比具體推導(dǎo)更重要。數(shù)學(xué)并非說得越玄乎越顯水平。
真正的理解在于抓住實質(zhì)，"如果你還覺得某個東西很難、很繁、很難記住，說明你還沉
迷于細(xì)節(jié)，沒有抓住實質(zhì)，抓住了實質(zhì)，一切都是簡單的。"這是概率之父Kolmogorov的
名言。我們平時在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時，也時刻問自己，能不能向一個外行講清楚這是怎么回事
，如果不能，說明我們自己還沒有真正理解。數(shù)學(xué)推導(dǎo)的功夫應(yīng)該是在課下通過大量的
練習(xí)得到的，在課下花的時間要遠(yuǎn)大于課上的時間。
三． 數(shù)學(xué)軟件介紹：
在當(dāng)今30多個數(shù)學(xué)類（為區(qū)別于文字處理和作圖類而加的修飾詞）科技應(yīng)用軟件中，就
軟件數(shù)學(xué)處理的原始內(nèi)核而言，可分為兩大類。一類是數(shù)值計算（Number Crunching）
）型軟件，如Matlab， Xmath，MLAB等。這類軟件對大批數(shù)據(jù)具有較強(qiáng)的管理、計算和
可視化能力，運(yùn)行效率高。另一類是數(shù)學(xué)分析（Math Analysis）型軟件，如Mathemati
ca、Maple，Macsyma等。它們以符號計算見長，并可得到解析符號解和任意精度解，但
處理大量量數(shù)據(jù)時運(yùn)行效率較低。經(jīng)過多年的國際競爭，MATLAB已經(jīng)占據(jù)了數(shù)值型軟件
市場的主導(dǎo)地位，處于其后的是Xmath;而Maple，Mathematica，Macsyma位居符號軟件的
前三名（見IEEE Spectrum）。 在國際流行的科技應(yīng)用軟件中，Mathcad 別具特色。該
軟件的開發(fā)商Mathsoft公司一開始就把面向教學(xué)和辦公作為Mathcad的市場目標(biāo)。在對待
數(shù)值計算、符號分析、文字處理、圖形能力的開發(fā)商，不以專業(yè)水準(zhǔn)為追求，而盡力集
各種功能于一體。MathWorks公司順應(yīng)多功能需求之潮流，在其卓越數(shù)值計算和圖視能力
的基礎(chǔ)商，又率先在專業(yè)水平上開拓其符號計算，文字處理，可視化建模仿真和實時控
制能力，精心營造適合多學(xué)科、多部門要求的新一代科技應(yīng)用軟件MATLAB。
對電子系同學(xué)最常用的軟件而且基本上唯一使用的數(shù)學(xué)軟件就是matlab了。Matlab 5.3
版本（最新版本6.0版）完全安裝，包括幫助、以及各種工具箱一共竟需要1G多硬盤空間
。當(dāng)然，這一個G的容量并不是被各種垃圾文件所充斥，相反的，它是由無數(shù)在Matlab系
統(tǒng)上運(yùn)行的函數(shù)文件所占據(jù)。由此可以看出Matlab的功能是多么的全面。1984年，計算
數(shù)學(xué)家Steve Bangert、Steve Kleiman、John Little、Cleve Morer在原來 FORTRAN程
序的基礎(chǔ)上開發(fā)了一個解決線性系統(tǒng)計算問題的C語言程序，他們給它起了個響亮的名字
Matlab(Matrix Laboratory)。從此以后，Matlab系統(tǒng)便一發(fā)而不可收拾，成千上萬的軟
件工程師、計算科學(xué)家、和各種應(yīng)用領(lǐng)域的科技工作人員加入了Matlab的開發(fā)者的行列
。他們把各自科研、應(yīng)用領(lǐng)域中的常用算法用Matlab系統(tǒng)提供的編程語言做成程序集，
于是就產(chǎn)生了Matlab的特色之一："工具箱系統(tǒng)"(Toolbox)。在Matlab5.3 中大約有幾十
個工具箱，其中包括通信，信號系統(tǒng)分析、離散信號分析、優(yōu)化、偏微分方程、小波變
換、地圖、財經(jīng)、電力系統(tǒng)、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，數(shù)值計算等等。工具箱中每一個函數(shù)都是采用
了該領(lǐng)域中最先進(jìn)的高效算法，無數(shù)這樣的函數(shù)文本文件組成了Matlab這個巨無霸，由
此可見，Matlab對于解決工程問題是極其具有優(yōu)越性的。是我們電子系學(xué)生的最愛。上
面介紹了Matlab的主要特色之一：工具箱。下面來談?wù)勊牧硪粋€特色，就是與其他語
言和編譯器之間的接口。這個問題一直是關(guān)于Matlab的最熱門的話題。原因很簡單，1.
Matlab如此全面高效的算法和功能都是建立在Matlab提供的平臺上才能運(yùn)行，這樣限制
了這些程序的使用范圍，即如果想應(yīng)用這些程序，你首先必需在你的計算機(jī)上安裝一個
多達(dá)幾百兆的Matlab，給使用帶來了不便。另外，由于Matlab采用的是逐行解釋的方式
來執(zhí)行代碼，因此運(yùn)行速度比編譯為exe 的二進(jìn)制文件要慢，因此，利用編譯器，把m文
件變?yōu)槎M(jìn)制的exe或dll文件，會大大縮短計算時間. 盡管Matlab是一個完善的系統(tǒng)，
但畢竟術(shù)業(yè)有專攻，各種語言的可視化編程環(huán)境(如VC，C++Builder，Delphi等)在用戶
界面設(shè)計和其他系統(tǒng)功能方面具有Matlab不能比擬的快捷和高效，因此，如何把Matlab
強(qiáng)大的數(shù)值計算功能與可視編程集成環(huán)境IDE結(jié)合起來，開發(fā)用戶操作方便、計算功能完
備、運(yùn)行快捷的應(yīng)用程序便成為程序開發(fā)者的最大愿望。Matlab中包含了大量的矩陣運(yùn)
算、數(shù)值運(yùn)算函數(shù)、圖形操作函數(shù)、用戶圖形界面函數(shù)等等，用他可以象C語言一樣書寫
函數(shù)流程，而且開發(fā)WIN圖形界面的用戶程序。Matlab強(qiáng)大的功能、方便的操作給它贏得
了世界上最流行的數(shù)學(xué)軟件的桂冠。難怪在網(wǎng)上大家奔走相告"出國前一定要把Matlab學(xué)
好"。
四． 其他數(shù)學(xué)軟件簡介（也算開開眼界盡管基本上不用（除了第一個外））：
1． Matcom：Matcom是MathTools開發(fā)的一個m文件解釋器（即將Matlab中的編程語
言解
釋為C語言），不僅可以把m文件編譯為可以獨(dú)立執(zhí)行的exe或dll文件，而且可以自動產(chǎn)
生C源代碼，供其他高級語言編譯器使用。Matcom所實現(xiàn)的在C語言中直接書寫類似于ma
tlab語句的功能，帶來了以下幾個明顯的優(yōu)點(diǎn)：一，是利用Matcom編制的程序可以在任
何不安裝 Matlab系統(tǒng)的計算機(jī)上運(yùn)行; 二是運(yùn)行速度比m文件快了數(shù)倍；三是實現(xiàn)了Ma
tlab強(qiáng)大的計算功能與各種C編譯器界面設(shè)計 的完美組合。我現(xiàn)在最喜歡用的就是在vc
上作界面來方便用戶操作，用Matcom庫實現(xiàn)算法計算，這樣相得益彰，用這種方法編成
的程序，操作方便簡潔，計算圖形功能強(qiáng)大，速度快。
2． Mathmatica：最令人著迷的是它的完美的符號運(yùn)算功能。所謂符號運(yùn)算是指它
所處
理的對象不僅僅是常見的數(shù)字（如12或3.14），而是一些帶有代數(shù)符號的表達(dá)式，我們
在代數(shù)中曾經(jīng)學(xué)過運(yùn)用代數(shù)的運(yùn)算規(guī)則，對一個含有符號的表達(dá)式進(jìn)行恒等變換，一個
函數(shù)就是一種規(guī)則或者說映射，比如定義如下一個規(guī)則，我們就可以運(yùn)用這法則將下式
變換。而Mathematica正是具有這種類似人類思維的功能，它能不斷學(xué)會并記憶各種變化
規(guī)則，并把這些各式各樣的變化應(yīng)用到各種表達(dá)式上，無論形式多么復(fù)雜，總能得到我
們想得到的帶有代數(shù)符號的結(jié)果。而在C語言或其他編程語言中，對于一個符號，必須先
聲明，然后賦值才能使用。因此它所表達(dá)的含意是有限的，而Mathematica完全拋開了這
種限制，一個符號可以表示任意對象，沒有類型限制，真正實現(xiàn)了"代數(shù)"中的"代"字。
Mathematica象一個不知疲倦的公式推導(dǎo)家，它能在一秒鐘之內(nèi)將一個復(fù)雜的函數(shù)關(guān)系復(fù)
合上萬次，它能在各種復(fù)雜表達(dá)式形式中找到最簡單的。Mathematica對于大一、大二的
同學(xué)可能是一個福音，對于大家在高等數(shù)學(xué)、線性代數(shù)中常碰到的對表達(dá)式求極限、微
分、定積分、不定積分、級數(shù)、向量代數(shù)等內(nèi)容在Mathematica都有內(nèi)部函數(shù)來直接計算
結(jié)果。當(dāng)然，希望大家還是自己動手練一練公式推導(dǎo)的基本功，把Mathematica當(dāng)作一個
檢驗工具是無可厚非。Mathematica4.0中， 系統(tǒng)函數(shù)涵蓋了微積分、線性代數(shù)、概率、
幾何、圖論、組合數(shù)學(xué)、數(shù)論數(shù)學(xué)、特殊函數(shù)等絕大多數(shù)常用數(shù)學(xué)分支。
3． Mathcad 8.0，Maple 5： 著名的符號運(yùn)算數(shù)學(xué)軟件，與Mathematica 類似，內(nèi)
存管
理較好，SAS 6.12 統(tǒng)計學(xué)專業(yè)軟件，壓縮文件100多M（最權(quán)威的統(tǒng)計軟件）。
4． 其他：SPSS 8.0 社會科學(xué)統(tǒng)計軟件包；Lindo/Lingo 50線性、非線性規(guī)劃軟件
；A
nsys 5.4 權(quán)威的有限元法（FEM）計算軟件，安裝文件約200~300M ；Algo 有限元法軟
件包；Statistics 統(tǒng)計軟件 ；Datafit 數(shù)值擬合專業(yè)軟件 ；Origin 6.0 微軟的數(shù)據(jù)
分析繪圖軟件，可以與Excel數(shù)據(jù)庫通訊；Netlib 網(wǎng)絡(luò)并行計算庫 ；Isoft 電磁仿真軟
件 ；Auto 非線性動力系統(tǒng)計算軟件 ；Flexpde 2.10 求解偏微分方程的數(shù)值軟件；Te
cplot 8.0流速與值線流體力學(xué) ；RATS 數(shù)值分析軟件。
一、是數(shù)學(xué)建模競賽
數(shù)學(xué)建模競賽就是這樣。它名曰數(shù)學(xué)，當(dāng)然要用到數(shù)學(xué)知識，但卻與以往所說的那種數(shù)
學(xué)競賽(那種純數(shù)學(xué)競賽)不同。它要用到計算機(jī)，甚至離不開計算機(jī)，但卻不是純粹的
計算機(jī)競賽，它涉及物理，化學(xué)，生物，電子，農(nóng)業(yè)，管理等各學(xué)科，各領(lǐng)域的知識，
但也不是這些學(xué)科領(lǐng)域里的純知識競賽。它涉及各學(xué)科，各領(lǐng)域，但又不受任何一個具
體的學(xué)科，領(lǐng)域的局限。它要用到各方面的綜合的知識，但還不限此。選手們不只是要
有各方面的知識，還要有駕域這些知識，應(yīng)用這些知識處理實際問題的能力。知識是無
止境的，你還必須有善于獲得新的知識的能力?？傊?，數(shù)學(xué)建模競賽，即要比賽各方面
的綜合知識，也比賽各方面的綜合能力。它的特點(diǎn)就是綜合，它的優(yōu)點(diǎn)也是綜合。在這
個意義上看，它與任何一個學(xué)科領(lǐng)域內(nèi)的知識競賽都不相同的特點(diǎn)就是不純，它的優(yōu)點(diǎn)
也就是不純，綜合就是不純。純數(shù)學(xué)競賽，如中學(xué)生的國際數(shù)學(xué)奧林匹克競賽，或美國
大學(xué)生的普特南數(shù)學(xué)競賽，已經(jīng)有很長的歷史，也為大家所熟悉。特別是近若干年來我
國選手在國際數(shù)學(xué)奧林匹克競賽中年年取得好成績，更使這項競賽在我國有很高的知名
度，在全國各地的質(zhì)量教高的中學(xué)中廣泛開展。純數(shù)學(xué)競賽主要考核選手對數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知
識的掌握情況邏輯推理及證明的能力和技巧思維是否敏捷，計算能力的強(qiáng)弱等。試題都
是純數(shù)學(xué)問題，考試方式是閉卷考試。參賽學(xué)生在規(guī)定的時間(一般每次為三小時)內(nèi)獨(dú)
立做題，不準(zhǔn)交頭接耳相互討論，不準(zhǔn)看任何書籍和參考資料，不準(zhǔn)用計算機(jī)(器) ?？?br>題都有標(biāo)準(zhǔn)答案。當(dāng)然，選手的解答方法可以與標(biāo)準(zhǔn)答案不同，但其解答方法的正確與
否也是絕對的，特別是計算題的得數(shù)一定要與標(biāo)準(zhǔn)答案相同?？荚嚱Y(jié)果，對每個選手的
答案給出分?jǐn)?shù)，按分?jǐn)?shù)高低來判定優(yōu)劣。 盡管也要對參賽的團(tuán)體(代表一個國家，地區(qū)
或?qū)W校)計算團(tuán)體總分，但這個團(tuán)體總分也是將每個團(tuán)體的選手得分加起來得到的，在比
賽過程中同一團(tuán)體的選手們絕對不能互相幫助。因此，這樣的競賽從本質(zhì)上說是個人賽
而不相幫助。因此，這樣的競賽從本質(zhì)上說是個人賽而不是團(tuán)體賽。團(tuán)體要獲勝主要靠
每名選手個自的水平高低而不存在互相配合的問題(當(dāng)然在訓(xùn)練過程中可以互相幫助)。
這樣的競賽，對于吸引青年人熱愛數(shù)學(xué)從而走上數(shù)學(xué)研究的道路，對于培養(yǎng)數(shù)學(xué)家和數(shù)
學(xué)專門人才，起了很大的作用。
隨著社會的發(fā)展，數(shù)學(xué)在社會各領(lǐng)域中的應(yīng)用越來越廣泛，作用越來越大，不但運(yùn)用于
自然科學(xué)各個領(lǐng)域，各學(xué)科，而且滲透到經(jīng)濟(jì)，軍事，管理以至于社會科學(xué)和社會活動
的各個領(lǐng)域。但是，社會對數(shù)學(xué)的需求并不只是需要在各部門中從事實際工作的人善于
運(yùn)用數(shù)學(xué)知識及數(shù)學(xué)大思維放法來解決他們每天面臨的大量的實際問題，取得經(jīng)濟(jì)效益
和社會效益。他們不是為了應(yīng)用數(shù)學(xué)知識而尋找實際問題(就象在學(xué)校里做數(shù)學(xué)應(yīng)用題)
，而是為了解決實際問題而需要用到數(shù)學(xué)。而且不止是要用到數(shù)學(xué)，很可能還要用到別
的學(xué)科，領(lǐng)域的知識，要用到工作經(jīng)驗和常識。特別是在現(xiàn)代社會，要真正解決一個實
際問題幾乎都離不開計算機(jī)。可以這樣說，在實際工作中遇到的問題，完全純粹的只用
現(xiàn)成的數(shù)學(xué)知識就能解決的問題幾乎是沒有的。你所能遇到的都是數(shù)學(xué)和其他東西混雜
在一起的問題，不是"干凈的"數(shù)學(xué)，而是"臟"的數(shù)學(xué)。其中的數(shù)學(xué)奧妙不是明擺在那里
等著你去解決，而是暗藏在深處等著你去發(fā)現(xiàn)。也就是說，你要對復(fù)雜的問題進(jìn)行分析
，發(fā)現(xiàn)其中的可用數(shù)學(xué)語來描述的關(guān)系或規(guī)律，把這個實際問題化成一個數(shù)學(xué)問題，這
就稱為數(shù)學(xué)模型，建立數(shù)學(xué)模型的這個過程就稱為數(shù)學(xué)建模。模型這個詞對我們來說并
不陌生，它可以說是對某種事物的一種仿制品。比如飛機(jī)模型，就是模仿飛機(jī)造出來的
。既然是仿造，就不是真的，只能是"假冒"，但不能是"偽劣"，必須真實地反映所模仿
的對象的某一方面的屬性。如果只是模仿飛機(jī)的模樣，這樣的飛機(jī)模型只要看起像飛機(jī)
就行了，可以擺在展覽館供人參觀，照相，但不能飛。如果要模仿飛機(jī)的飛行原理，就
得造一個能飛起來的飛機(jī)模型，比如航空模型比賽的作品，它在空氣中的飛行原理與飛
機(jī)有相同之處。但當(dāng)然不像飛機(jī)那樣靠燒燃料來飛行，外觀上也不必那么像飛機(jī)，可見
，模型所模仿的都只是真實事物的某一方面的屬性。而數(shù)學(xué)模型，就是用數(shù)學(xué)語言(可能
包括數(shù)學(xué)公式)去描述和模仿實際問題中的數(shù)量關(guān)系，空間形式等。這種模仿當(dāng)然是近似
的，但又要盡可能的逼真。實際問題中的許多因素，在建立數(shù)學(xué)模型時你不可能，也沒
有必要把它們毫無遺漏地全部加以考慮，只能考慮其中的最主要的因素，舍棄其中的次
要因素，數(shù)學(xué)模型建立起來后，實際問題化成數(shù)學(xué)問題，就可以用數(shù)學(xué)工具，數(shù)學(xué)方法
去解答。如果有現(xiàn)成的數(shù)學(xué)工具當(dāng)然好。如果沒有現(xiàn)成的數(shù)學(xué)工具，就促使數(shù)學(xué)家們(也
包括建立數(shù)學(xué)模型的人)尋找和發(fā)展出新的數(shù)學(xué)工具去解決它，這又推動了數(shù)學(xué)本身的發(fā)
展。例如，開普勒由行星運(yùn)動的觀測數(shù)據(jù)總結(jié)出開普勒三定理(這就是行星運(yùn)行的數(shù)學(xué)模
型)，牛頓試圖用自己發(fā)現(xiàn)的力學(xué)定理去解釋它，但當(dāng)時的數(shù)學(xué)工具是不夠用的，這使了
微積分的發(fā)明。求解數(shù)學(xué)模型，除了用到數(shù)學(xué)推理以外，通常還要處理大量數(shù)據(jù)，進(jìn)行
大量計算。這在電子計算機(jī)發(fā)明之前是很難實現(xiàn)的。因此，很多數(shù)學(xué)模型，盡管從數(shù)學(xué)
理論上解決了，但由于計算量太大而沒法得到有用的結(jié)果，還是只有束之高閣。而計算
機(jī)的出現(xiàn)和迅速發(fā)展，給用數(shù)學(xué)模型解決實際問題打開了廣闊的道路。而在現(xiàn)在，要真
正解決一個實際問題，離了計算機(jī)幾乎是不行的。數(shù)學(xué)模型建立起來了，也用數(shù)學(xué)方法
或數(shù)據(jù)方法求出了解答，是不是就萬事大吉了呢?不是。既然數(shù)學(xué)模型只能近似地反映實
際問題中的關(guān)系和規(guī)律，到底反應(yīng)的好不好，還需要接受檢驗。如果數(shù)學(xué)模型建立的不
好，如果沒有正確地描述所給的實際問題，數(shù)學(xué)解答再正確也是沒有用的。因此，在得
出數(shù)學(xué)解答之后還要讓所得的結(jié)論接受實際的考察，看它是否合理，是否可行。如果不
符合實際，還應(yīng)設(shè)法找出原因，修改原來的模型，重新求解和檢驗，直到比較合理可行
，才算是得到一個解答，可以先付諸實施，但是，十全十美的答案是沒有的，已得到的
答案一定還有改進(jìn)的余地，還可以根據(jù)實際情況，或者繼續(xù)研究和改進(jìn);或者暫停告一段
落，待將來有新的情況和要求后再作該進(jìn)。
上面所說的建立數(shù)學(xué)模型來解決問題的過程，是各行各業(yè)各個領(lǐng)域大量需要的，也是我
們的學(xué)生在走上工作單位后常常要做的工作。做這樣的事情，所需要的遠(yuǎn)不只是數(shù)學(xué)知
識和解數(shù)學(xué)題的能力，而需要多方面的綜合能力。社會對具備這種能力的人的需求，比
對數(shù)學(xué)專門人才的需求要多的多。因此，在學(xué)校里就應(yīng)當(dāng)努力陪養(yǎng)和提高學(xué)生在這方面
的能力。當(dāng)然有多種形式來達(dá)到這個目的。比如開設(shè)數(shù)學(xué)模型方面的課程;讓學(xué)生多接觸
實際工作，得到鍛煉，獲得知識及其他各方面的能力)去參與解決問題的全過程。這些實
際問題并不限于某一方面，可以涉及非常廣泛的，并不固定的范圍。這樣來促進(jìn)應(yīng)用人
才的培養(yǎng)。
二、數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)
1． 數(shù)學(xué)模型的定義
現(xiàn)在數(shù)學(xué)模型還沒有一個統(tǒng)一的準(zhǔn)確的定義，因為站在不同: 的角度可以有不同的定義
。不過我們可以給出如下定義。: "數(shù)學(xué)模型是關(guān)于部分現(xiàn)實世界和為一種特殊目的而作
的一個抽象的、簡化的結(jié)構(gòu)。" : 具體來說，數(shù)學(xué)模型就是為了某種目的，用字母、數(shù)
學(xué)及其它:數(shù)學(xué)符號建立起來的等式或不等式以及圖表、圖象、框圖等描述客觀事物的特
征及其內(nèi)在聯(lián)系的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)表達(dá)式。
2．建立數(shù)學(xué)模型的方法和步驟
第一、 模型準(zhǔn)備 (問題的提出與分析)
首先要了解問題的實際背景，明確建模目的，搜集必需的各種信息，盡量弄清對象的特
征。
第二、 模型假設(shè)與符號說明
根據(jù)對象的特征和建模目的，對問題進(jìn)行必要的、合理的簡化，用精確的語言作出假設(shè)
，是建模至關(guān)重要的一步。如果對問題的所有因素一概考慮，無疑是一種有勇氣但方法
欠佳的行為，: 所以高超的建模者能充分發(fā)揮想象力、洞察力和判斷力 ，善于辨別主次
，而且為了使處理方法簡單，應(yīng)盡量使問題線性化、均勻化。
第三、 模型的建立與求解
通過對問題的分析和模型假設(shè)后建立數(shù)學(xué)模型（模型運(yùn)用數(shù)學(xué)符號和數(shù)學(xué)語言來描述）
，并過設(shè)計算法、運(yùn)用計算機(jī)實現(xiàn)等途徑（根據(jù)模型的特征和要求確定）求解模型！此
過程是整：個數(shù)模過程的最重要部分，需慎重對待！
第四、 型的檢驗
即通過問題所提供的數(shù)據(jù)或相對于實際生活中的情況對模型的合理性、準(zhǔn)確性等進(jìn)行判
別模型的優(yōu)劣！可通過計算機(jī)模擬等手段來完成！
第五、 模型的完善與推廣
此步驟可根據(jù)建模時具體情況而定！
關(guān)于建模的步驟并不一定必須按照以上幾步進(jìn)行，有興趣的同仁可參考建模的相關(guān)書籍
。
三、數(shù)學(xué)建模參考資料：
1、《數(shù)學(xué)模型基礎(chǔ)》 王樹禾 中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社 1996
2、《數(shù)學(xué)模型》 譚永基，俞文 復(fù)旦大學(xué)出版社 1997
3、《數(shù)學(xué)建模競賽教程》 李尚志 江蘇教育出版社 1996
這些書均可在圖書館借到或在九章書店買到。其他方面的書也很多，有足夠時間可以去
翻翻。全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽的有關(guān)信息，可在Internet上中國工業(yè)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)
會 （CSIAM）的主頁內(nèi)瀏覽，網(wǎng)址為：
http://www.csiam.edu.cn/。數(shù)學(xué)建模比賽每年
的9月下旬舉行，每年6月份報名，三人組成一個參賽隊。欲參加比賽的同學(xué)應(yīng)該到數(shù)學(xué)
系旁聽數(shù)學(xué)模型課或者選修公共選修課"數(shù)學(xué)模型"。
《吉米多維奇數(shù)學(xué)分析習(xí)題集》
本書只適合超級大牛同學(xué)做。圖書館有借和海淀圖書城的九章數(shù)學(xué)書店有售。
《數(shù)學(xué)分析中的典型問題與方法》
裴禮文著，高教出版社。本書可謂寶典級的圣書。適合一般牛的同學(xué)。圖書館不多，九
章書店有售。
《大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽試題解析選編》
第二版，李心燦等編，高教出版社。凡是科協(xié)課外小組的同學(xué)要求人手一本。里面收集
了北京市大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽的歷年真題，比較好，對于水平中等及中等以上的同學(xué)均有意
義。九章數(shù)學(xué)書店有售。
《高等數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)題解與指導(dǎo)》
陳文燈著，上下兩本，北京理工大學(xué)出版社：該書講解十分詳盡，對于各類水平的同學(xué)
均有很大的幫助。嘔血推薦！?。【耪聲暧惺?。
《數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南》
理工類，陳文燈等著。該書高數(shù)內(nèi)容與上本書基本一致。但該書還有線性代數(shù)，概率論
等部分，非常全面。圖書館有借。各大書店均有售。適合所有水平的同學(xué)。
《高等數(shù)學(xué)解題過程的分析和研究》
錢昌本著。該書主要介紹高等數(shù)學(xué)的思維方法。例題很有啟發(fā)性。圖書館有借。九章書
店有售。
從常微分方程開始，數(shù)學(xué)課就變成沒底的東西，每一個標(biāo)題做下去都是數(shù)學(xué)研究里面龐
大的一塊。對于一門基本課程應(yīng)該講些什么也始終討論不斷。下面開始說參考書，毫無
疑問，我們還是得從我們強(qiáng)大的北方鄰國說起。
《常微分方程講義》
彼得羅夫斯基。在20世紀(jì)數(shù)學(xué)史上，這位前莫斯科大學(xué)校長占據(jù)著一個非常特殊的地位
。從學(xué)術(shù)上說，他在偏微那一塊有非常好的工作，五十年代谷先生去蘇聯(lián)讀學(xué)位的時候
還參加過他主持的討論班。他從三十年代末開始就轉(zhuǎn)向行政工作。在他早年的學(xué)生里面
有許多后來蘇聯(lián)的高官，所以他就利用和這些昔日學(xué)生的關(guān)系為蘇聯(lián)數(shù)學(xué)界構(gòu)筑了一個
保護(hù)傘，他這本書在相當(dāng)長的時期里是標(biāo)準(zhǔn)教材。
《常微分方程》
龐特里亞金。龐特里亞金院士十四歲時因化學(xué)實驗事故雙目失明，在母親的鼓勵和幫助
下，他以驚人的毅力走上了數(shù)學(xué)道路，別的不說，光看看他給后人留下的"連續(xù)群"，"最
佳過程的數(shù)學(xué)理論"，你就不得不對他佩服得五體投地，有六體也投 下來了。他的這本
課本就是李迅經(jīng)先生他們翻譯的。此書影響過很多我們的老師輩的人物。
下面轉(zhuǎn)到歐美方面，
《Theory of Ordinary Differnetial Equations》
Coddington & Levinson。這本書自五十年代出版以來就一直被奉為經(jīng)典。說老實話這書
里東西太多，自己看著辦吧。
《Differential Equations ，Linear Algebra and Dynamical Systems》
Hirsh & Smale(中譯本"微分方程，線性代數(shù)和動力系統(tǒng)")。這兩位重量級人物寫的書其
實一點(diǎn)都不難念，非常易懂。所涉及的內(nèi)容也是非?；?，重要的。關(guān)于作者嘛，可以
提一句，Smale現(xiàn)在在香港城市大學(xué)，身價是三年1000萬港幣。我想稱他為在中國領(lǐng)土上
工作的最重要的數(shù)學(xué)家應(yīng)該沒有什么疑問。
《常微分方程》
Arnol'd。必須承認(rèn)，我對Arnol'd是相當(dāng)崇拜的。作為Kolmogorov的學(xué)生，他們兩就占
了KAM里的兩個字母。他寫的書，特別是一些教材以極富啟發(fā)性而著稱。實際上，他的習(xí)
慣就是用他自己的觀點(diǎn)把相應(yīng)的材料全部重新處理一遍。從和他的幾個學(xué)生的交往中我
也發(fā)現(xiàn)他教學(xué)生的本事也非常大。特別是他的學(xué)生之間非常喜歡討論，可能是受他言傳
身教的作用吧。
《常微分方程教程》
丁同仁，李承治。這絕對是中國人寫的最好的常微課本，內(nèi)容翔實，觀點(diǎn)也比較高。再
說一句，就是真的對解方程感興趣的話不妨去看看。
《常微分方程手冊》
卡姆克(Kamke)。那里面的方程多得不可勝數(shù)，對于變系數(shù)常微分方程，有一類很重要的
就是和物理里常用的特殊函數(shù)有關(guān)的。對于這些方程，現(xiàn)在絕對是物理系的學(xué)生比數(shù)學(xué)
系的學(xué)生更熟悉。我的疑問是不是真有必要象現(xiàn)在物理系的"數(shù)學(xué)物理方法"課里那樣要
學(xué)生全部完全記在心里。事實上，我很懷疑，不學(xué)點(diǎn)泛函的觀點(diǎn)如何理解這些特殊函數(shù)
系的"完備性"現(xiàn)象。
《數(shù)學(xué)物理方法》
第一卷，Courant-Hilbert。可以說達(dá)到古典處理方法的頂峰了，但是看起來 并不是很
容易的。我的理解是學(xué)點(diǎn)泛函的觀點(diǎn)，可以獲得一些統(tǒng)一的處理方法，可能比一個函數(shù)
一個方法學(xué)起來更容易一些。
《特殊函數(shù)概論》
王竹溪，郭敦仁。它的存在使人懷疑是不是可以只對特殊函數(shù)的性質(zhì)了解一些框架性的
東西，具體的細(xì)節(jié)要用的時候去查書。要知道，查這本書并不是什么丟人的事情，看看
揚(yáng)振寧先生為該書英文版寫的序言吧："(70年代末)…我的老師王竹溪先生送了我一本剛
出版的'特殊函數(shù)概論'...從此這本書就一直在我的書架上，...經(jīng)常在里面尋找我需要
的結(jié)論..."連他老先生都如此，何況我們？
以上很多只適合數(shù)學(xué)超級大牛看。對于我們電子系同學(xué)而言，學(xué)第7本書就行了。能明白
微分方程的定性理論就可以了。因為有很多微分方程是沒有解析解的。而且只有學(xué)過定
性理論才可以學(xué)習(xí)自動控制原理。
有的地方管這叫"近世代數(shù)"，反正近不近各人自己看著辦吧!從歷史上說，可以認(rèn)為嚴(yán)肅
的討論是從伽羅華開始的，他在決斗前夜寫下的那封著名的信件(里面有"你可以公開向
Jacobi或者Gauss提出請求，不是就這些結(jié)果的正確性，而是重要性，給出意見...."，
現(xiàn)藏法國國家圖書館)。在后來的發(fā)展過程中，代數(shù)結(jié)構(gòu)話的語言逐步滲透到數(shù)學(xué)的各個
角落。到今天這已經(jīng)是一門無處不在的分支了。
《代數(shù)學(xué)引論》
丁石孫，聶靈沼。這本書的特點(diǎn)和北大的那本高等代數(shù)一樣，就是沒什么自己的特色，
原因是這本書從體例到習(xí)題在很大程度上參考了N.Jacobson "Basic Algebra I，II" J
acobson在代數(shù)領(lǐng)域也屬于權(quán)威，是華先生同時代的人。這本書從觀點(diǎn)上說是相當(dāng)現(xiàn)代化
的，比同作者的那本。N. Jacobson "Lectures on Abstract Algebra"(GTM.30，31，3
2) (中譯本:抽象代數(shù)學(xué)，共三卷，)要改進(jìn)不少。從習(xí)題的角度上說，可以看徐誠浩"抽
象代數(shù)--方法導(dǎo)引"。
可以羅列的參考書還有很多：S.Lang "Algebra" Lang寫書以清晰著稱，他的這本書還得
過AMS發(fā)的Steel優(yōu)秀圖書獎；莫宗堅 "代數(shù)學(xué)(上，下)" 北大數(shù)學(xué)叢書里面的一本，感
覺不錯。數(shù)學(xué)系一些同學(xué)對此書推崇倍至。熊全淹"近世代數(shù)" 這本書的好壞不敢評論，
不過這本書有個很大的特點(diǎn)，就是作者收集了很多小文章，比如許多American Mathema
tical Monthly 上的短文。依他開列的參考文獻(xiàn)到系資料室去找，可以看到很多有趣的
東西。其它的就是比較專門的東西了。比如群論，就有影響過無數(shù)學(xué)者的庫洛什"群論"
注意這本書第二版和第三版中譯本的封面一模一樣?；蛘叨螌W(xué)復(fù)先生的導(dǎo)師Robinson寫
的Robinson "A course in the theory of Groups"(GTM 80)再有象(群，代數(shù))表示論，
環(huán)論，模論等等，都有專著，對于Galois理論，有一本.E.Artin "伽羅華理論"非常薄，
講得很精彩，絕對是本傳世佳作。
對電子系同學(xué)而言，抽象代數(shù)在通信中的編碼理論里有很多應(yīng)用。如果有這個基礎(chǔ)，學(xué)
習(xí)信息論與編碼將游刃有余。
《數(shù)學(xué)物理方程--方法導(dǎo)引》
陳恕行，秦鐵虎。是一本非常好的講習(xí)題的書。里面的習(xí)題如果能夠全部做一遍的話，
應(yīng)付考試是綽綽有余了
《數(shù)學(xué)物理方法"(I，II)》
R. Courant， D. Hilbert。可以說是毫無疑問的經(jīng)典。按照一些老師的說法，不管橢圓
，雙曲，拋物里面的哪一塊這本書里面的相應(yīng)章節(jié)都是經(jīng)典，問題就是這書放在一起你
是沒辦法當(dāng)教材來學(xué)的，所以只能有空翻翻啦....
《數(shù)學(xué)物理方程》
谷超豪，李大潛，譚永基(?)，沈緯熙，秦鐵虎，(上海科技)。這本書在這樣一個水平上
(指不引進(jìn)廣義函數(shù)， 弱解等泛函里面的概念)是相當(dāng)不錯的。注意那些經(jīng)典方程的推導(dǎo)
里面多少有一些近似的過程，這其實從某種意義上反應(yīng)了所對應(yīng)的微分算子的某些性質(zhì)
的穩(wěn)定性。比如，對于經(jīng)典的波動方程，3維及以上的奇數(shù)維成立惠更斯(Huygens)原理
(這可以看作 經(jīng)典物理的時空里面空間維數(shù)必須是奇數(shù)的一個證據(jù))，你在其它一些書(
或者說以后)可以看到，差不多二階雙曲方程里面只有波動方程有這樣的性質(zhì)--但是別忘
了，高維波動方程的推導(dǎo)里面是有近似的，這說明什么一階偏微分方程似乎是安排在常
微的最后教的。
《實變函數(shù)論》
那湯松。在下冊里面還有關(guān)于超限歸納法的描述。
《實分析中的反例》
汪林。這是本非常非常好的書，在以后的幾章里面我們也都要引用這本書。作者是程民
德先生的弟子。要記住的是，這不僅僅是一本講例子的書!
《實變函數(shù)》
周民強(qiáng)(第二版) 這本書寫得不錯，總的說來最大的好處恐怕就是習(xí)題很多，而且都是能
做的習(xí)題。
泛函分析對電子系同學(xué)而言只要找?guī)妆竞芑A(chǔ)的書（特別是注明為工科學(xué)生寫的，不要
實變函數(shù)和測度論基礎(chǔ)的），理解范數(shù)，希爾伯特空間等概念即可。
高等代數(shù)可以認(rèn)為處理的是有限維線性空間的理論。如果嚴(yán)格一點(diǎn)，關(guān)于線性空間的理
論該叫線性代數(shù)，再加上一點(diǎn)多項式理論(就是可以完完全全算做代數(shù)的內(nèi)容的)就叫高
等代數(shù)了。這門課在西方的對應(yīng)一般叫Linear Algebra，就是蘇聯(lián)人喜歡用高等這個詞
，你可以在外國教材中心里面找到一本Kurosh(庫落什)的Higher Algebra。從這門課的
內(nèi)容上說，是可以有很多種講法的。線性空間的重點(diǎn)自然是線性變換，那么如果在定義
空間和像空間里面取定一組基的話，就有一個矩陣的表示。因此這門課的確是可以建立
在矩陣論上的。而且如果要和數(shù)值搭界的話還必須這么做。
《矩陣論》
甘特瑪赫爾。我覺得這恐怕是這方面最權(quán)威的一本著作了。其中譯者是柯召先生。在這
套分兩冊的書里面，講到了很多不納入通常課本的內(nèi)容。舉個例子，大家知道矩陣有Jo
rdan 標(biāo)準(zhǔn)型，但是化一個矩陣到它的Jordan標(biāo)準(zhǔn)型的變換矩陣該怎么求？請看"矩陣論
"。
《線性代數(shù)和矩陣論》
許以超。這本書寫得很不錯的，習(xí)題也不錯。必須指出，這里面其實對于空間的觀念很
重視。對電子學(xué)系的中等水平以上同學(xué)來講這本書很不錯的。
《高等數(shù)學(xué)引論》
華羅庚。華先生做數(shù)學(xué)研究的特點(diǎn)是其初等直觀的方法別具一格，在矩陣?yán)碚摲矫嫠?br>有很好的工作。甘特瑪赫爾的書里面你只能找到兩個中國人的名字，一個是樊畿先生，
另一個就是華先生?？赡苁撬谝淮伟严率鲇^點(diǎn)引進(jìn)中國的數(shù)學(xué)教材的:n階行列式是n個
n維線性空間的笛卡爾積上唯一一個把一組標(biāo)準(zhǔn)基映到1的反對稱線性函數(shù)。這就是和多
線性代數(shù)或者說張量分析的觀點(diǎn)很接近了。
《高等代數(shù)"(上，下)》
丘維聲。相當(dāng)不錯。特點(diǎn)是很全，雖然在矩陣那個方向沒有上面提到的幾本書將得深，
但是在空間理論，具體的說一些幾何化的思想上講得還是非常清楚的。多項式理論那塊
也講了不少。
《Problems in Combinatorics》
Lovasz。這是本相當(dāng)好的習(xí)題集，作者Lovasz是唯一一個得過wolf獎的組合學(xué)家。唯一
的可能有麻煩的地方這本書的塊頭大了點(diǎn)，不過千萬不要被嚇倒!
《組合學(xué)引論》
I.Tomescu。首先，這是本很好的書，不管上不上這門課都值得一讀。其次，這本書的習(xí)
題不是很好做的，特別是沒有答案。(嚴(yán)肅的說，當(dāng)你看到許多習(xí)題后面都標(biāo)有人物，年
代，就該知道這些結(jié)果不是那么平凡的了)
《Problem in graph theory and combinatorics》
I.Tomescu。這本書有比較詳細(xì)的提示和解答，里面的題目也非常好。
《Graph Theory and Applications》
Bondy，Murty(中譯本:圖論及其應(yīng)用，科學(xué)出版社)。這本書內(nèi)容翔實，寫得很容易讀，
而且有許多難度適當(dāng)?shù)牧?xí)題，注意這些習(xí)題不僅在書后有簡短的提示，而且在圖書館里
面有一本習(xí)題解答。很適合電子系的同學(xué)閱讀。
《Graph Theory"(圖論)》
Harary(哈拉里)。這本書里面的習(xí)題基本上都是從人家的論文里面直接找來的，所以有
相當(dāng)難度，雖說那里給出了非常詳細(xì)的文獻(xiàn)來源，但是有些還是很不好找的。這本書其
實已經(jīng)有點(diǎn)專著的味道了。
《組合學(xué)引論》
C.L.Liu(劉炯朗)。這書是魏萬迪翻的，就是印刷質(zhì)量差了點(diǎn)。其它都還好，在北美的評
價也不錯。很適合電子系同學(xué)閱讀。
對電子系同學(xué)而言，組合數(shù)學(xué)與圖論不光在計算機(jī)算法編制上有應(yīng)用，在通信網(wǎng)中也有
很多應(yīng)用。
《Numerical Recipes》系列全套
包括《Numerical Recipes In C》，《Numerical Recipes In Fortran77》，《Numeri
cal Recipes In Fortran90》。這是經(jīng)典中的經(jīng)典，是劍橋，哈佛等一流大學(xué)教授合寫
的。嘔血推薦。圖書館有Numerical Recipes In C的中譯本，不過特別厚。對電子系同
學(xué)來講，基本的數(shù)值計算方法只要理解基本原理即可，無需自己動手編制，有很多成熟
的軟件包編制的非常好，而且在實際工作中查手冊找到方法，然后用諸如matlab之類軟
件包編制即可。
