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導(dǎo)數(shù)綜合

 

二. 內(nèi)容講解

由于導(dǎo)數(shù)為我們解決所學(xué)過的有關(guān)函數(shù)問題提供了一般性的方法，所以利用導(dǎo)數(shù)方法研究函數(shù)的性質(zhì)及解決實(shí)際問題成為高考的熱點(diǎn)之一，這部分的具體要求是：

1. 理解導(dǎo)數(shù)概念及其幾何意義；掌握

（

）的公式；會求多項式函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。

2. 會用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線方程；理解極大值、極小值、最大值、最小值的概念，并會用導(dǎo)數(shù)求多項式函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，極大值、極小值及閉區(qū)間上的最大值和最小值。

 

【典型例題】

[例1] 設(shè)

在點(diǎn)

處可導(dǎo)，

為常數(shù)，則

等于（    ）

A.

     B.

    C.

     D. 0

解：

    =

    =

    =

=

   故應(yīng)選（B）

注：本題旨在鞏固對函數(shù)在某一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的定義的理解與掌握。

 

[例2] 已知點(diǎn)

為曲線

上的一點(diǎn)，曲線在A點(diǎn)處的切線方程為

，曲線斜率為1的切線有幾條？它們之間的距離是多少？

解：由

，則

，由切線斜率為1，則

，即

此時

，令

，解得

或

，故已知曲線斜率為1的切線有兩條。

由A點(diǎn)在曲線上，則

，過點(diǎn)A的切線方程為

，即

，故

。當(dāng)

時，

，故相應(yīng)的點(diǎn)為

，切線方程為：

，即

。

故兩直線間的距離為：

=

 

[例3] 設(shè)拋物線C₁：

與拋物線

：

在它們一個交點(diǎn)處的切線互相垂直。

    （1）求a ，b 之間的關(guān)系；

（2）若

，

，求

的最大值。

解：（1）對C­₁：

；對C₂：

，設(shè)曲線C₁與C₂的一個交點(diǎn)為

，由兩曲線在交點(diǎn)處的切線互相垂直，則

，即

① ，又（

在兩曲線上，故有：

，

則

即

②

由①、②可消去

，可得

（2）由

，且

，則

當(dāng)且僅當(dāng)

時，等號成立，即當(dāng)且僅當(dāng)

時，

的最大值為

。

 

[例4] 已知拋物線C₁：

和C₂：

，如果直線

同時是C₁和C₂的切線，稱

是C_1­和C_2­的公切線，公切線上兩個切點(diǎn)之間的線段稱為公切線段。

（1）

取什么值時，C₁和C₂有且僅有一條公切線？寫出此公切線的方程；

（2）若C₁和C₂有兩條公切線，證明相應(yīng)的兩條公切線段互相平分。

（1）解：函數(shù)

的導(dǎo)數(shù)為

，曲線C₁在點(diǎn)P（

）的切線方程為：

即

①

函數(shù)

的導(dǎo)數(shù)為

，曲線C₂在點(diǎn)Q（

）的切線方程為

即

②

如果直線

是過P和Q的公切線，則①和②式都是

的方程，所以

消去

，得方程

令

得

，解得

此時點(diǎn)P與Q重合，即當(dāng)

時，C₁與C₂有且僅有一條公切線，由①得公切線方程為

。

（2）證明：由（1）知，當(dāng)

時，C₁和C₂有兩條公切線，設(shè)一條公切線上切點(diǎn)為P₁（

），Q（

），其中點(diǎn)P在曲線C_1­上，點(diǎn)Q在曲線C­₂上，則由

故線段PQ中點(diǎn)為（

），同理，另一條公切線

的中點(diǎn)坐標(biāo)也是（

）得證。

 

[例5] 已知函數(shù)

，其中

，

為參數(shù)，且

（1）當(dāng)

時，判斷

是否有極值；

（2）要使函數(shù)

的極小值大于零，求參數(shù)

的取值范圍；

（3）若對（2）中所求的取值范圍內(nèi)的任意參數(shù)

，函數(shù)

在區(qū)間（

）內(nèi)都是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)

的取值范圍。

解：

（1）當(dāng)

時，

，則函數(shù)

在（

）上是增函數(shù)，故無極值。

（2）

，令

，得

由

及（1），只考慮

的情況

當(dāng)

變化時，

的符號及

的變化情況如下表：

因此，函數(shù)

在

處取得極小值

，且

要使

，必有

可得

，所以

（3） 由（2）知，函數(shù)

在區(qū)間（

）與（

）內(nèi)都是增函數(shù)，由題設(shè)，函數(shù)

在（

）內(nèi)是增函數(shù)，則

須滿足不等式組

或

由（2），參數(shù)

，

，要使不等式

關(guān)于

恒成立，必有

綜上，解得

或

，所以

的取值范圍是

注：本題為2006高考文科試題，主要考查運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及極值，解不等式等基本知識，考查綜合分析和解決問題的能力。

 

【模擬試題】

1. 拋物線

在點(diǎn)P（

）處的切線的傾斜角是（    ）

A. arctan2             B. arctan（－2）          C. arctan

           D.

2. 與直線

平行的切線

的切線方程是（     ）

A.

                          B.

        

C.

                            D.

或

3. 某物體運(yùn)動規(guī)律是

，則在t=        時的瞬時速度為0。

4. 已知

，若

，則x=         。

5. 平行于直線

且與曲線

相切的直線方程是   

                。

  6. 垂直于直線

且與曲線

相切的直線方程是         

               。

7. 已知A、B是拋物線

上橫作標(biāo)分別為

的兩點(diǎn)，求拋物線的平行于割線AB的切線方程                   。

8. 若拋物線

的切線與直線

的夾角為

，求切點(diǎn)坐標(biāo)。

 

 

 

【試題答案】

1. D           2. D        3. 2         4. 0或2        

5.

或

6.

7.

8. （

）或（

）

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