橢圓
二. 本周教學(xué)重難點(diǎn)：
掌握橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和橢圓的簡單幾何性質(zhì)，了解橢圓的參數(shù)方程，了解橢圓的初步應(yīng)用。
【典型例題】
[例1] 已知A、B是橢圓上的點(diǎn)，
是右焦點(diǎn)且
，AB的中點(diǎn)N到左準(zhǔn)線的距離等于
，求此橢圓方程。
解：如圖，設(shè)為左焦點(diǎn)，連結(jié)
、
，則根據(jù)橢圓定義有
再設(shè)A、B、N三點(diǎn)到左準(zhǔn)線距離分別為、、
由梯形中位線定理，有
而已知 ∴
∴ 得離心率
∵ ，
∴
∴ ，則橢圓方程為
[例2] 設(shè)橢圓的兩焦點(diǎn)為、，若在橢圓上存在一點(diǎn)P，使，求橢圓的離心率的取值范圍。
解：方法一：如圖所示，設(shè)、、
則，，
∵ ∴
∴
即
據(jù)題意，知P點(diǎn)在橢圓上，但不在x軸上
∴ ∴
于是，即
∴
方法二：設(shè)
∵ ∴
又O為的中點(diǎn) ∴
∴
即 ∴
∵ ∴ ∴
方法三：∵ ∴
∴ P點(diǎn)在以為直徑的圓上，又P點(diǎn)在橢圓上
∴ 圓與橢圓有公共點(diǎn)
由圖知，
即 ∴
∴
[例3] 已知A、B、D三點(diǎn)不在一條直線上，且，，，
，
（1）求E點(diǎn)的軌跡方程；
（2）過A作直線交以A、B為焦點(diǎn)的橢圓于M、N兩點(diǎn)，線段MN的中點(diǎn)到y軸的距離為，且直線MN與E點(diǎn)的軌跡相切，求橢圓的方程。
解：（1）∵ ∴ E為BD中點(diǎn)，設(shè)E（x，y），則
∵ ∴ ，即
又 ∵ A、B、D三點(diǎn)不共線 ∴
故E點(diǎn)的軌跡方程為
（2）依題設(shè)，直線MN與圓相切，設(shè)切點(diǎn)為Q，坐標(biāo)原點(diǎn)為O，則為直角三角形。
∵ ∴ ∴
根據(jù)對(duì)稱性，不妨設(shè)，則直線的方程為
∵ 線段MN的中點(diǎn)到y軸的距離為 ∴ 中點(diǎn)坐標(biāo)為（）
∴ 由
整理后得
∴
∴ 又 ∵ ∴
故所求橢圓方程為
[例4] 已知常數(shù)，在矩形ABCD中，AB=4，BC=，O為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E、F、G分別在BC、CD、DA上移動(dòng)，且，P為GE和OF的交點(diǎn)，如圖，問是否存在兩個(gè)定點(diǎn)，使P到這兩點(diǎn)的距離的和為定值？若存在，求出這兩點(diǎn)的坐標(biāo)及此定值；若不存在，請(qǐng)說明理由。
解：按題意有
設(shè)
由此有
直線OF的方程為 ①
直線GE的方程為 ②
從①②消去參數(shù)，得點(diǎn)P（x，y）坐標(biāo)滿足方程
整理得
當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P的軌跡為圓弧，所以不存在符合題意的兩點(diǎn)
當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P的軌跡為橢圓的一部分，點(diǎn)P到該橢圓焦點(diǎn)的距離的和為定長
當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P到橢圓兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為定值
當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P到橢圓兩個(gè)焦點(diǎn)（0，），（0，）的距離之和為定值。
[例5] 如圖在直角梯形ABCD中，AD=3，AB=4，BC=，曲線DE上任一點(diǎn)到A、B兩點(diǎn)距離之和都相等。
（1）適當(dāng)建立坐標(biāo)系，求曲線DE的方程；
（2）過C點(diǎn)能否作一條與曲線DE相交且以C為中點(diǎn)的弦？如果不能，請(qǐng)說明理由，如果能，請(qǐng)求出弦所在直線的方程。
解：（1）取AB的中點(diǎn)O為原點(diǎn)，以AB所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系，由題意曲線DE為一段橢圓弧，得， ∴
∴ 曲線DE的方程為
（2）方法一：C點(diǎn)坐標(biāo)為C（）
設(shè)存在直線與曲線ED交于點(diǎn)M（），N（），
∴
∴ ， ∴
∴ 直線的方程為 即
將直線方程代入曲線DE的方程，得
解得，M（），N（）（M，N在曲線上）
∴ 存在直線，其方程為
方法二：取曲線DE與y軸的交點(diǎn)M（0，）和與x軸的交點(diǎn)N（4，0），顯然C（2，）為M，N的中點(diǎn)，所以弦MN即為所求，其所在直線方程為，即
[例6] 已知橢圓（）與直線相交于A，B兩點(diǎn)，橢圓離心率為。
（1）當(dāng)橢圓的右準(zhǔn)線為時(shí)，求AB的長度及AB中點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)，并且時(shí)，求橢圓長軸長的取值范圍。
解：（1）設(shè)A（）B（）
由已知得，，解得
∴ 橢圓方程為
由 ∴ ∴ ，
∴
由得AB中點(diǎn)橫坐標(biāo)為，代入直線方程得AB中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，即AB中點(diǎn)坐標(biāo)為（）
（2）由
消去y得
∴ 即（*）
此時(shí)，①
由，得
又 ∴ ②
將①代入②：
由得代入上式
整理得
由已知得 ∴ 滿足（*）條件 ∴
[例7] 如圖，已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)F1、F2在x軸上，長軸A1A2的長為4，左準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為M，。
（1）求橢圓的方程；
（2）點(diǎn)P在直線上運(yùn)動(dòng)，求的最大值。
解：（1）設(shè)橢圓方程為
半焦距為，則，
由題意得 ∴ ∴
（2）設(shè)P（），，則直線的斜率
則直線的斜率 ∵
∴ 為銳角 ∴
當(dāng)，即時(shí)，取到最大值
此時(shí)最大 ∴ 的最大值為
【模擬試題】
一. 選擇題
1. 已知橢圓的焦點(diǎn)是F1、F2，P是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，如果延長到Q ，使得
，那么動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡是（ ）
A. 圓 B. 橢圓 C. 雙曲線的一支 D. 拋物線
2. 若方程表示準(zhǔn)線平行于x軸的橢圓，則m的范圍是（ ）
A. B. m C. 且 D. 且
3. 已知，，動(dòng)點(diǎn)P滿足（且為常數(shù)），則P點(diǎn)的軌跡是（ ）
A. 以F1、F2為焦點(diǎn)的橢圓
B. 線段
C. 不存在
D. 以上情況均有可能
4. 曲線與曲線（）的（ ）
A. 焦點(diǎn)相同
B. 離心率相同
C. 長軸與實(shí)軸相等
D. 以上說法都不對(duì)
5. 橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1、F2，過F1作垂直于x軸的直線與橢圓相交，一個(gè)交點(diǎn)為P，則等于（ ）
A. B. C. D. 4
6. 已知橢圓的面積為?，F(xiàn)有一個(gè)橢圓，其中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為（4，0），且長軸長與短軸長的差為2，則該橢圓的面積為（ ）
A. B. C. D.
7. 設(shè)P（x，y）是曲線上的點(diǎn)，F1（）、F2（4，0），則（ ）
A. B.
C. D.
8. 點(diǎn)P（）在橢圓的左準(zhǔn)線上，過點(diǎn)P且方向?yàn)?/span>的光線經(jīng)直線反射后通過橢圓的左焦點(diǎn)，則此橢圓的離心率為（ ）
A. B. C. D.
二. 解答題：
1. 已知P是橢圓上一點(diǎn)，F（2，0）、A（），求的最小值，并求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)。
2. 在直線：上任取一點(diǎn)M，過M作以、為焦點(diǎn)的橢圓，當(dāng)M在什么位置時(shí)，所作橢圓長軸最短？并求此時(shí)橢圓方程。
3.（1）求右焦點(diǎn)坐標(biāo)是（2，0），且經(jīng)過點(diǎn)（）的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）已知橢圓C的方程是。設(shè)斜率為的直線，交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，AB的中點(diǎn)為M。證明當(dāng)直線平行移動(dòng)時(shí)，動(dòng)點(diǎn)M在一條過原點(diǎn)的定直線上。
【試題答案】
一.
1. A
解析：由第一定義，得為定值。∵ ，∴ 為定值，即為定值。故選A。
2. D
解析：由條件得 解之，得 故選D。
3. A
解析：∵
而
∴ 由橢圓的定義可知?jiǎng)狱c(diǎn)P的軌跡是以F1、F2為焦點(diǎn)的橢圓。故選A
4. A
解析：由題設(shè)知曲線為焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，其焦距為8，曲線（）為焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線，，即焦距也為8，故選A。
5. C
解析：設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為F1，左焦點(diǎn)為F2，過F1且垂直于x軸的直線與橢圓在第一象限的交點(diǎn)為P
設(shè)P（），代入，得 ∴ ，
由，得
6. D
解析：由橢圓的定義，得，則，得到
所以，所以選D。
7. C
解：曲線整理為表示由橢圓的頂點(diǎn)組成的菱形，由數(shù)形結(jié)合知
8. A
解析：P關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為
由題意知的方向向量為（2，5） ∴ ∴
又P在準(zhǔn)線上 ∴ ∴ ∴ 故選A
二.
1. 解：由橢圓方程，可知，
由橢圓定義（是P點(diǎn)到橢圓右準(zhǔn)線的距離）
∴ ，故
過點(diǎn)A作AH⊥，垂足為H，則易知AH即為所求
此時(shí)，
2. 解：關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為F（），連結(jié)交于點(diǎn)M，此點(diǎn)即為所求。
直線的方程為，即
解方程組得
故點(diǎn)M的坐標(biāo)為（）此時(shí)橢圓長軸長
所以，因?yàn)?/span>，所以，故橢圓方程為
3. 解：（1）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，
∴ ，即橢圓的方程為
∵ 點(diǎn)（）在橢圓上 ∴
解得或（舍）
由此得，即橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為
（2）證明：設(shè)直線的方程為，與橢圓C的交點(diǎn)A（）、B（）
則有 解之，得
∵ ∴ 即
則
∴ AB中點(diǎn)M的坐標(biāo)為
∴ 線段AB的中點(diǎn)M在過原點(diǎn)的直線上
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