教學目標：
1. 能夠?qū)懗鰧嶋H問題中反比例關系的函數(shù)解析式，從而解決實際問題。
2. 用描點法畫出反比例函數(shù)的圖象，當時，雙曲線的兩支在一、三象限；當
時，雙曲線的兩支在二、四象限，雙曲線是關于原點的對稱圖形，這一點在作圖時很重要。
3. 用一元方程求解反比例函數(shù)的解析式，學習中與正比例函數(shù)相類比。
4. 掌握反比例函數(shù)增減性，時，y隨x的增大而減小，時，y隨x的增大而增大。
5. 熟練反比例函數(shù)有關的面積問題。
二. 重點、難點
重點：反比例函數(shù)的定義、圖象性質(zhì)。
難點：反比例函數(shù)增減性的理解。
【典型例題】
例1. 下列各題中，哪些是反比例函數(shù)關系。
（1）三角形的面積S一定時，它的底a與這個底邊上的高h的關系；
（2）多邊形的內(nèi)角和與邊數(shù)的關系；
（3）正三角形的面積與邊長之間的關系；
（4）直角三角形中兩銳角間的關系；
（5）正多邊形每一個中心角的度數(shù)與正多邊形的邊數(shù)的關系；
（6）有一個角為的直角三角形的斜邊與一直角邊的關系。
解：成反比例關系的是（1）、（5）
點撥：若判斷困難時，應一一寫出函數(shù)關系式來進行求解。
例2. 在同一坐標系中，畫出和
的圖象，并求出交點坐標。
點悟：的圖象是雙曲線，兩支分別在一、三象限，在每一個象限內(nèi)，y隨x的增大而減小。并且每一支都向兩方無限接近x、y軸。而的圖象是過原點的直線。
解：
，
雙曲線與直線相交于（2，4），（）兩點。
點撥：本題求解使用了“數(shù)形結(jié)合”的思想。
例3. 當n取什么值時，是反比例函數(shù)？它的圖象在第幾象限內(nèi)？在每個象限內(nèi)，y隨x增大而增大或是減??？
點悟：根據(jù)反比例函數(shù)的定義：，可知是反比例函數(shù)，必須且只需且
解：是反比例函數(shù)，則
即
故當時，表示反比例函數(shù)
雙曲線兩支分別在二、四象限內(nèi)，并且y隨x的增大而增大。
點撥：判斷一個函數(shù)是否是反比例函數(shù)，惟一的標準就是看它是否符合定義。
例4. 若點（3，4）是反比例函數(shù)圖象上一點，則此函數(shù)圖象必經(jīng)過點（ ）
A. （2，6） B. （2，－6）
C. （4，－3） D. （3，－4）
（2002年武漢）
點悟：將點（3，4）代入函數(shù)式求出m的值。
解：將點（3，4）代入已知反比例函數(shù)解析式，得
即，
將A點坐標代入滿足上式，故選A。
點撥：本題中求的值的整體思想是巧妙解題的關鍵。
例5. a取哪些值時，是反比例函數(shù)？求函數(shù)解析式？
解：
解得，
當時，
當時，
當時，函數(shù)是反比例函數(shù)，其解析式為
點撥：反比例函數(shù)可寫成，在具體解題時應注意這種表達形式，應特別注意對這一條件的討論。
例6. 若函數(shù)是反比例函數(shù)，求其函數(shù)解析式。
解：由題意，得
得
故所求解析式為
點撥：在確定函數(shù)解析式時，不僅要對指數(shù)進行討論，而且要注意對x的系數(shù)的條件的討論，二者缺一不可。
例7. （1）已知，而與成反比例，與成正比例，并且時，；時，，求y與x的函數(shù)關系式；
（2）直線：與平行且過點（3，4），求的解析式。
解：（1）與成反比例，與成正比例
，
把，及，代入
得
（2）與平行
又過點（3，4）
，
直線的解析式為
點撥：這是一道綜合題，應注意綜合應用有關知識來解之。
例8. 一定質(zhì)量的二氧化碳，當它的體積時，它的密度
（1）求與V的函數(shù)關系式；
（2）求當時二氧化碳的密度。
解：（1）由物理知識可知，質(zhì)量m，體積V，密度之間的關系為。由，，得
（2）將代入上式，得
點撥：這是課本上的一道習題，它具有典型性，其意義在于此題與物理知識、化學知識形成了很好的結(jié)合，且V的取值可變化。
例9. 在以坐標軸為漸近線的雙曲線上，有一點P（m，n），它的坐標是方程的兩個根，求雙曲線的函數(shù)解析式。
點悟：因為反比例函數(shù)的圖象是以坐標軸為漸近線的雙曲線。所以，不妨設所求的函數(shù)解析式為。然后把雙曲線上一點的坐標代入，即可求出k的值。
解：由方程解得
，
P點坐標為（）或（）
設雙曲線的函數(shù)解析式為，則
將，代入，得
將，代入，得
故所求函數(shù)解析式為
點撥：只需知道曲線上一點即可確定k。
例10. 如圖，的銳角頂點是直線與雙曲線在第一象限的交點，且
（1）求m的值
（2）求的值
解：（1）設A點坐標為（a，b）（，）
則，
，
又A在雙曲線上
，即，
（2）點A是直線與雙曲線的交點
或
A（）
由直線知C（－6，0）
，，
點撥：三角形面積和反比例函數(shù)的關系，常用來求某些未知元素（如本例中的m）
【模擬試題】（答題時間：40分鐘）
一. 選擇題
1. 函數(shù)是反比例函數(shù)，則m的值是（ ）
A. 或 B.
C. D.
2. 下列函數(shù)中，是反比例函數(shù)的是（ ）
A. B.
C. D.
3. 函數(shù)與（）的圖象的交點個數(shù)是（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 不確定
4. 函數(shù)與的圖象可能是（ ）
A B C D
5. 若y與x成正比，y與z的倒數(shù)成反比，則z是x的（ ）
A. 正比例函數(shù) B. 反比例函數(shù)
C. 二次函數(shù) D. z隨x增大而增大
6. 下列函數(shù)中y既不是x的正比例函數(shù)，也不是反比例函數(shù)的是（ ）
A. B.
C. D.
二. 填空題
7. 一般地，函數(shù)__________是反比例函數(shù)，其圖象是__________，當時，圖象兩支在__________象限內(nèi)。
8. 已知反比例函數(shù)，當時，_________
9. 反比例函數(shù)的函數(shù)值為4時，自變量x的值是_________
10. 反比例函數(shù)的圖象過點（－3，5），則它的解析式為_________
11. 若函數(shù)與的圖象有一個交點是（，2），則另一個交點坐標是_________
三. 解答題
12. 直線過x軸上的點A（，0），且與雙曲線相交于B、C兩點，已知B點坐標為（，4），求直線和雙曲線的解析式。
13. 已知一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象的一個交點為P（a，b），且P到原點的距離是10，求a、b的值及反比例函數(shù)的解析式。
14. 已知函數(shù)是一次函數(shù)，它的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于一點，交點的橫坐標是，求反比例函數(shù)的解析式。
【試題答案】
一. 1. B 2. B 3. A 4. A 5. A 6. C
二. 7. ，；雙曲線；二、四
8. 9. 10. 11. （，）
三. 12. 由題意知點A（，0），點B（，4）在直線上，由此得
點B（，4）在雙曲線上
，
雙曲線解析式為
13. 由題設，得
，
，或，
14. 由已知條件
使
代入
因圖象交于一點，
即
【勵志故事】
愚鈍的力量
大科學家愛因斯坦曾做過一個實驗：他從村子里找了兩個人，一個愚鈍且軟弱，一個聰明且強壯。愛因斯坦找了一塊兩英畝左右的空地，給他倆同樣的工具，讓他們在其間比賽挖井，看誰最先挖到水。
愚鈍的人接到工具后，二話沒說，便脫掉上衣干起來。聰明的人稍作選擇也大干起來。兩個小時過去了，兩人均挖了兩米深，但均未見到水。聰明的人斷定選擇錯了，覺得在原處繼續(xù)挖下去是愚蠢的，便另選了塊地方重挖。愚鈍的人仍在原地吃力地挖著，又兩個小時過去了，愚鈍的人只挖了一米，而聰明的人又挖了兩米深。愚鈍的人仍在原地吃力地挖著，而聰明的人又開始懷疑自己的選擇，就又選了一塊地方重挖。又兩個小時過去了，愚鈍的人挖了半米，而聰明的人又挖了兩米，但兩人均未見到水。這時聰明人泄氣了，斷定此地無水，他放棄了挖掘，離去了。而愚鈍的人此時體力不支了，但他還是在原地挖，在他剛把一锨土掘出時，奇跡出現(xiàn)了，只見一股清水汩汩而出。
比賽結(jié)果，這個愚鈍的人獲勝。愛因斯坦后來對學生說，看來智商稍高、條件優(yōu)越、聰明強壯者不一定會得到成功，成功有時需要一種近乎愚鈍的力量??！
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