幾何:直角三角形
[學(xué)習(xí)目標(biāo)]
代數(shù):
了解平方根、算術(shù)平方根、立方根的概念,會(huì)用數(shù)學(xué)符號(hào)表示;
了解開(kāi)方與乘方互為逆運(yùn)算,會(huì)求某非負(fù)數(shù)的平方根、算術(shù)平方根、立方根;了解無(wú)理數(shù)與實(shí)數(shù)的概念,會(huì)求簡(jiǎn)單的二次根式的乘除法運(yùn)算及進(jìn)行簡(jiǎn)單的分母有理化。
幾何:
理解掌握勾股定理及逆定理。
二. 重點(diǎn)、難點(diǎn):
重點(diǎn):
代數(shù):平方根、算術(shù)平方根、立方根的求解,無(wú)理數(shù)的概念,二次根式的乘除法運(yùn)算。
幾何:勾股定理及逆定理。
難點(diǎn):
代數(shù):平方根、算術(shù)平方根的求解,無(wú)理數(shù)的概念,二次根式乘除法的運(yùn)算。
幾何:勾股定理及逆定理的應(yīng)用。
[知識(shí)結(jié)構(gòu)]
【典型例題】
例1. 填空:
(1)64的平方根___________
(2)16的算術(shù)平方根___________
(3)的立方根___________
(4)125的立方根___________
(5)的立方根___________
(6)的平方根___________
(7)若,則有___________
(8)的倒數(shù)___________
解:(1)±8;(2)4;(3);(4)5;
(5);(6);(7);(8)。
例2. 指出下列哪些數(shù)是有理數(shù),哪些是無(wú)理數(shù)?
,0.373773777……
解:有理數(shù):
無(wú)理數(shù):
例3. 當(dāng)x為何實(shí)數(shù)時(shí),下列各式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義?
(1) (2) (3)
(4) (5)
(6) (7)
解:(1);(2);(3)且
(4)x為任何數(shù);(5);
(6);(7)x為任意數(shù)。
例4. 化簡(jiǎn)計(jì)算:
(1);(2);(3);
(4);(5)(m為正整數(shù));
(6);(7)
(8);(9);
(10)
解:(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
例5. 如圖,已知∠C=90°,AC=3,BC=4,BD=12,AD=13,求:四邊形。
解:在中,
在△ABD中,
發(fā)現(xiàn)
∴∠ABD=90°
【模擬試題】(答題時(shí)間:90分鐘)
一. 選擇題:在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的(每小題3分,共30分)
1. 3的平方根是( )
A. B. C. 9 D. ±9
2. 在△ABC中,有一個(gè)角為直角的一半,另一個(gè)角為平角的,那么△ABC是( )
A. 銳角三角形 B. 等腰三角形
C. 鈍角三角形 D. 直角三角形
3. 下列各式變形正確的是( )
A. B.
C. D.
4. 國(guó)旗是一個(gè)國(guó)家的象征,觀察下面的國(guó)旗,是軸對(duì)稱(chēng)圖形的有( )
A. 1個(gè) B. 2個(gè) C. 3個(gè) D. 4個(gè)
5. 下列多項(xiàng)式能因式分解的是( )
A. B.
C. D.
6. 下面說(shuō)法中正確的是( )
A. 無(wú)理數(shù)包括正無(wú)理數(shù)、零和負(fù)無(wú)理數(shù)
B. 無(wú)理數(shù)是用根號(hào)表示的數(shù)
C. 無(wú)理數(shù)是有理數(shù)開(kāi)方開(kāi)不盡的平方根
D. 無(wú)理數(shù)是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)
7. 下列各組線段中,不能構(gòu)成直角三角形的是( )
A. 5,12,13 B.
C. 4,7,5 D.
8. 已知,則x滿(mǎn)足( )
A. B. C. D. 且
9. 如圖,在△ABC中,下列推理錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)有( )
(1)∵AB=AC,∠1=∠2
∴AD⊥BC,BD=DC
(2)∵AB=AC,AD⊥BC
∴∠1=∠2,BD=DC
(3)∵AB=AC,BD=DC
∴∠1=∠2,AD⊥BC
(4)∵BD=DC,AD=AD
∴AD⊥BC,AB=AC
A. 0個(gè) B. 1個(gè) C. 2個(gè) D. 3個(gè)
10. 如圖,點(diǎn)E在△ABC外部,點(diǎn)D在BC邊上,DE交AC于點(diǎn)F,若∠1=∠2=∠3,AC=AE,則( )
A. △ABD≌△AFD B. △AFE≌△ADC
C. △AFE≌△DFC D. △ABC≌△ADE
二. 填空題:把答案填在題中的橫線上(11~15題每小題2分,16題4分,共14分。)
11. 在△ABC中,AB=5,BC=7,則第三邊CA長(zhǎng)的取值范圍是____________。
12. 在公式中,所有字母都表示正數(shù),已知,則____________。
13. 若是完全平方式,則m的值為____________。
14. 已知時(shí),分式無(wú)意義,時(shí),此分式的值為零,則___________。
15. 如圖,已知△ABC中,∠B=90°,∠C=15°,DE垂直平分AC交BC于點(diǎn)E,若EC=8,則BE的長(zhǎng)為____________。
16. 如圖,已知OA=a,P是射線ON上一動(dòng)點(diǎn)(即點(diǎn)P可在ON上運(yùn)動(dòng)),∠AON=60°。填空:
(1)當(dāng)OP=_________時(shí),△AOP為等邊三角形;
(2)當(dāng)OP=_________時(shí),△AOP為直角三角形。
三. 化簡(jiǎn)計(jì)算:(每小題3分,共9分)
17.
18.
19. 分母有理化
四. 作圖題:(本題4分)
20. 某小區(qū)有一塊三條馬路圍成的三角形綠地(如圖),準(zhǔn)備在其中建一個(gè)小亭,供游人小憩。使小亭中心到三條馬路的距離相等,試用尺規(guī)畫(huà)出小亭的中心位置(不寫(xiě)作法,保留做圖痕跡,寫(xiě)出結(jié)論)。
五. 計(jì)算題:(每小題5分,共15分)
21.
22. 先化簡(jiǎn),再選一個(gè)你喜歡的數(shù)代入求值。
23. 已知:如圖,CF⊥AB于點(diǎn)F,∠A=46°,∠B∶∠C=3∶2,求∠EDC的度數(shù)。
六. 解下列方程:(每小題5分,共10分)
24.
25. (x是未知數(shù),且)
七. 填空并證明:(本題5分)
26. 如圖,在△ABC中,P、Q分別是BC、AC上的點(diǎn),作PR⊥AB,PS⊥AC,垂足分別是點(diǎn)R、S。若AQ=PQ,PR=PS,下面三個(gè)結(jié)論:
(1)AS=AR;(2)QP∥AR;(3)△BRP≌△CSP。
正確的是__________________,并證明你的結(jié)論。
八. 列方程解應(yīng)用題:(本題6分)
27. 某自來(lái)水公司水費(fèi)計(jì)算辦法如下:若每戶(hù)每月用水不超過(guò),則每立方米收費(fèi)2.9元,若每戶(hù)每月用水超過(guò),則超出部分每立方米收取較高的費(fèi)用。1月份,張家用水量是李家用水量的,張家當(dāng)月水費(fèi)是34.5元,李家當(dāng)月水費(fèi)是54.5元。超出的部分每立方米收費(fèi)多少元?
九. (本題7分)
28. 已知:如圖,△ABC是直角三角形,∠BAC=90°,AD⊥BC于點(diǎn)D,∠ACB的平分線交AD于點(diǎn)F,交AB于點(diǎn)E,FG∥BC交AB于點(diǎn)G。
(1)觀察△AEF,若按邊分類(lèi),它是哪一類(lèi)三角形?并證明你的結(jié)論?
(2)若AE=3,AB=8,求EG的長(zhǎng)。
【試題答案】
一. 選擇題。
1. A 2. A 3. D 4. B 5. D
6. D 7. C 8. B 9. B 10. D
二. 填空題。
11.
12.
13. 7或
14. 6
15.
16. (1);(2)或
三. 化簡(jiǎn)計(jì)算。
17. 解:原式
18. 解:原式
19. 解:原式
四. 作圖題。
20. 答:點(diǎn)P為兩個(gè)角的角平分線的交點(diǎn),因?yàn)槿切稳龡l角平分線的交點(diǎn)到三邊距離相等。
五. 計(jì)算題。
21. 解:原式
22. 解:原式
即原式
∵且
∴選取0,2以外的數(shù)均可
令,則
23. 解:在Rt△BCF中,∠B+∠C=90°(直角三角形兩銳角互余)
又∠B∶∠C=3∶2
在△ABD中,
∠ADC=∠A+∠B(三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和)
=46°+54°
=100°
∴∠EDC=100°
六. 解下列方程。
24. 解:
方程兩邊同乘以,得:
即
檢驗(yàn):當(dāng)時(shí),
是原方程的根
25. 解:
移項(xiàng),得:
即
七. 填空并證明:
26. 正確的是:(1)(2)
(1)證明:連結(jié)AP
∵PR⊥AB,PS⊥AC,PR=PS
∴∠1=∠2(角平分線的判定定理)
在Rt△APR和Rt△APS中
∴AR=AS(全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等)
(2)在△APQ中,AQ=PQ
∴∠2=∠3(等邊對(duì)等角)
又∠1=∠2
∴∠1=∠3(等量代換)
∴QP∥AR(內(nèi)錯(cuò)角相等,兩直線平行)
八. 列方程解應(yīng)用題:
27. 解:設(shè)超出的部分每立方米收費(fèi)x元
如果每月用水,則水費(fèi)應(yīng)為(元)
而
則張家、李家用水都超過(guò)了
張家用水量為:
李家用水量為:
則有
兩邊同乘以3x解方程,得:
檢驗(yàn):當(dāng)時(shí),
∴是原方程的根
答:超出的部分每立方米收費(fèi)4元。
九.
28. 解:(1)△AEF為等腰三角形
證明:在Rt△ADC中,∠3+∠ACD=90°(直角三角形兩銳角互余)
同理,在Rt△ABC中,∠B+∠ACB=90°
∴∠B=∠3(等量代換)
在△BCE中,∠AEF=∠2+∠B(三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和)
在△ACF中,∠AFE=∠1+∠3(同上)
=∠1+∠B
又∠1=∠2(角平分線定義)
∴∠AEF=∠AFE(等量代換)
∴AE=AF(等角對(duì)等邊)
∴△AEF為等腰三角形
(2)∵BC⊥AD,FG∥BC
∴FG⊥AD
∴∠AFG=90°
過(guò)點(diǎn)E作EH⊥BC于H
則AE=HE(角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等)
又AE=AF,∴EH=AF
∵FG∥BC,∴∠B=∠4
在Rt△AFG和Rt△EHB中
∴AG=EB(全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等)
又AE=3,AB=8
∴EB=5
∴AG=5
即EG=2
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