不熟悉實(shí)變函數(shù)的人可以忽略與實(shí)變有關(guān)的細(xì)節(jié)。
講實(shí)變函數(shù)怎么扯上了文化？稍安勿躁，且聽(tīng)我細(xì)說(shuō)分明。
由于我的課程進(jìn)度比別的教師稍微快了一點(diǎn)，所以今天做了一次教學(xué)實(shí)驗(yàn)，想看看“研究型“教學(xué)到底是否可行，效果如何。
“研究型”教學(xué)似乎是個(gè)比較新鮮的詞，網(wǎng)上搜索了一下，是這樣解釋的：“研究型教學(xué)模式是相對(duì)于以單向性知識(shí)傳授為主的教學(xué)型教學(xué)模式提出的，是指融合學(xué)習(xí)與研究為一體的教學(xué)體系。研究型教學(xué)模式應(yīng)含有兩個(gè)基本的內(nèi)容：其一是以研究為本的學(xué)習(xí)模式為基礎(chǔ)的教學(xué)過(guò)程；其二是學(xué)習(xí)過(guò)程與研究實(shí)踐相結(jié)合的課程體系?！北举|(zhì)上講，“研究型”教學(xué)與探究式教學(xué)并無(wú)多大差別，所謂探究式教學(xué)是這樣解釋的：“探究式教學(xué)，又稱(chēng)發(fā)現(xiàn)法、研究法，是指學(xué)生在學(xué)習(xí)概念和原理時(shí)，教師只是給他們一些事例和問(wèn)題，讓學(xué)生自己通過(guò)閱讀、觀察、實(shí)驗(yàn)、思考、討論、聽(tīng)講等途徑去獨(dú)立探究，自行發(fā)現(xiàn)并掌握相應(yīng)的原理和結(jié)論的一種方法。它的指導(dǎo)思想是在教師的指導(dǎo)下，以學(xué)生為主體，讓學(xué)生自覺(jué)地、主動(dòng)地探索，掌握認(rèn)識(shí)和解決問(wèn)題的方法和步驟，研究客觀事物的屬性，發(fā)現(xiàn)事物發(fā)展的起因和事物內(nèi)部的聯(lián)系，從中找出規(guī)律，形成自己的概念。”令人費(fèi)解的是，為什么在探究式教學(xué)之外又提出一個(gè)研究型教學(xué)！雖然在釋義上兩者有所不同，但實(shí)在看不出其本質(zhì)差異在哪里。
言歸正傳，昨天剛剛講授完Lebesgue控制收斂定理，今天上課伊始，我要求學(xué)生將教材合上，不得翻書(shū)，一是想借此了解一下學(xué)生課外到底有沒(méi)有預(yù)習(xí)，二是檢驗(yàn)一下學(xué)生的探究能力到底如何，所謂的研究型或探究式教學(xué)是否可行。
我讓大家拿出一張紙、一支筆，然后告訴大家：“請(qǐng)大家回顧一下控制收斂定理的證明，分析一下控制函數(shù)在證明中發(fā)揮了什么作用？這個(gè)控制函數(shù)是不是必須的？”
時(shí)間在悄無(wú)聲息中流淌了二十分鐘，總算有個(gè)同學(xué)自告奮勇上來(lái)給出了證明。當(dāng)我要求同學(xué)們針對(duì)這個(gè)證明進(jìn)行分析從而尋找控制函數(shù)在證明中發(fā)揮了什么作用時(shí)，全堂茫然。于是我進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生分析整個(gè)的證明思路，控制收斂定理證明的基本思路是將積分域（集合）分解成兩個(gè)部分，在測(cè)度較大的集合上，函數(shù)序列一致收斂（葉果洛夫定理保證），在這個(gè)子集上，積分與極限自然可以交換順序。在測(cè)度充分小的集合上，函數(shù)序列的積分被控制函數(shù)的積分所控制，此時(shí)，函數(shù)序列的積分值會(huì)不會(huì)隨著n的變化產(chǎn)生大的變化？這個(gè)時(shí)候?qū)W生才知道，由控制函數(shù)積分的絕對(duì)連續(xù)性可以看出函數(shù)序列積分的絕對(duì)連續(xù)性具有一致性，終于明白只要函數(shù)序列積分的絕對(duì)連續(xù)性是一致的，不一定需要一個(gè)可積的控制函數(shù)，于是發(fā)現(xiàn)了一個(gè)新的概念：“積分等度絕對(duì)連續(xù)函數(shù)簇”。在這個(gè)分析過(guò)程中只有幾個(gè)學(xué)生勉強(qiáng)能參與，大多數(shù)學(xué)生仍然一頭霧水。從這個(gè)實(shí)驗(yàn)可以看出，學(xué)生沒(méi)有養(yǎng)成課前預(yù)習(xí)、課后復(fù)習(xí)的習(xí)慣，將學(xué)習(xí)幾乎全部寄托在課堂上，課后滿(mǎn)足于完成作業(yè)。
接著，將控制函數(shù)用函數(shù)序列積分的等度絕對(duì)連續(xù)性取而代之，但暫且加上極限函數(shù)的可積性從而分解難度。由于有Lenbegue控制收斂定理的證明在先，完成這個(gè)證明并不困難。
從溫習(xí)控制收斂定理的證明到建立積分等度絕對(duì)連續(xù)函數(shù)簇的概念直至假定極限函數(shù)可積的前提下完成積分與極限交換順序定理的證明整整花費(fèi)了兩節(jié)課的時(shí)間。這還僅僅完成了Vitali定理的部分證明，真正困難的是放棄極限函數(shù)可積性假定，當(dāng)函數(shù)序列具有積分等度絕對(duì)連續(xù)性時(shí)如何證明極限函數(shù)的可積性。學(xué)生在沒(méi)有預(yù)習(xí)的情況下完全靠自主探究是很難搞清楚的，恐怕再有兩節(jié)課也解決不了這個(gè)問(wèn)題。
這個(gè)實(shí)驗(yàn)說(shuō)明了什么？它證明了兩點(diǎn)：1、研究型教學(xué)帶來(lái)的效果是講授型課堂教學(xué)所無(wú)法相比的，事實(shí)上，由于整個(gè)過(guò)程都需要學(xué)生獨(dú)立思考，學(xué)生的注意力高度集中，對(duì)概念與理論的理解自然比講授為主的教學(xué)深刻得多，而且一些概念的建立、定理的發(fā)現(xiàn)與證明都是學(xué)生獨(dú)立思考發(fā)現(xiàn)的。2、“研究型”學(xué)習(xí)雖然是個(gè)行之有效的教學(xué)方法，但注定是個(gè)不具備可操作性的理念，以Vitali定理為例，如果是老師啟發(fā)式引導(dǎo)為主，最多一節(jié)課就可以完成概念的建立與所有的證明，按照上述方式展開(kāi)教學(xué)，根本無(wú)法完成既定的教學(xué)內(nèi)容。即使是在中學(xué)，也不適合全程采取這樣的教學(xué)方式。
假定學(xué)生具有很高的學(xué)習(xí)積極性與主觀能動(dòng)性，學(xué)生在課前已經(jīng)做了充分準(zhǔn)備，甚至把書(shū)上的概念與定理都搞清楚了，研究型學(xué)習(xí)是否可行？這就給教師提出了一個(gè)高難度問(wèn)題：“課堂上該設(shè)計(jì)什么樣的問(wèn)題？”依然以Vitali定理為例，假設(shè)學(xué)生課前已經(jīng)清楚了積分等度絕對(duì)連續(xù)函數(shù)簇的概念，也把Vitali定理及其證明搞清楚了，課堂上教師還能干什么？這時(shí)我也許會(huì)設(shè)計(jì)下面的問(wèn)題：
1、在Lebegue控制收斂定理中，為什么需要那個(gè)控制函數(shù)？它在定理的證明過(guò)程中充當(dāng)了什么角色？
2、控制函數(shù)是不是必要的？如果去掉控制性條件，結(jié)論還能不能成立？如何保證結(jié)論仍然成立？
3、為什么要尋找控制函數(shù)的替代物？你能比較控制收斂定理與Vitali定理孰優(yōu)孰劣嗎？
如果學(xué)生對(duì)控制收斂定理與Vitali定理融會(huì)貫通了，第一與第二個(gè)問(wèn)題的回答并不困難，但未必能判定第三個(gè)問(wèn)題，因?yàn)檫@涉及到對(duì)數(shù)學(xué)結(jié)果的評(píng)判與審美。
什么樣的結(jié)果是一個(gè)好的結(jié)果？學(xué)生很少具備這樣的判斷能力，教師有沒(méi)有這樣的能力？恐怕因人而異。例如，微積分中有一個(gè)關(guān)于函數(shù)黎曼可積的判別條件：“假設(shè)f是區(qū)間[a,b]上的函數(shù)，則f在[a,b]上黎曼可積的充要條件是當(dāng)δ（Δ）→0時(shí)，S^{bar}（Δ）-S_{bar}(Δ)→0，其中S^{bar}（Δ），S_{bar}(Δ)分別是對(duì)應(yīng)于分割Δ的大和與小和”。這個(gè)結(jié)果好不好？如果好，好在哪里？如果不好？不好在哪里？有多少人能做出判斷？事實(shí)上，可積性問(wèn)題直到在實(shí)變函數(shù)中才能徹底得到解決。在控制收斂定理之后緊接著研究的一個(gè)問(wèn)題就是函數(shù)的黎曼可積性，這時(shí)又有一個(gè)充要性判別條件：“區(qū)間[a,b]上的函數(shù)f黎曼可積的充要條件是這個(gè)函數(shù)的間斷點(diǎn)集是個(gè)零測(cè)集?！北容^一下兩個(gè)充要條件，哪個(gè)更美？有經(jīng)驗(yàn)的教師一定清楚，微積分教材中的判別條件將函數(shù)內(nèi)在的特征掩蓋住了，而實(shí)分析中的判別條件反映的恰恰是函數(shù)自身的內(nèi)在特征。
文化是目前教育研究中炙手可熱的詞匯，什么叫文化？它與課堂教學(xué)是什么關(guān)系？具體到數(shù)學(xué)文化，它的內(nèi)涵是什么？也許迄今為止我們尚未真正搞清楚。
知識(shí)與文化有關(guān)，但兩者有本質(zhì)不同，知識(shí)是死的，文化則是活的，換言之，知識(shí)只有與人相結(jié)合才能產(chǎn)生文化。具體到課堂教學(xué)，如果教師的課堂教學(xué)僅僅停留在就知識(shí)論知識(shí)，沒(méi)有對(duì)知識(shí)的獨(dú)立見(jiàn)解，也沒(méi)有對(duì)知識(shí)的主客觀評(píng)判，那么，他的教學(xué)就僅僅停留在傳授知識(shí)的層面上。如果教師的課堂教學(xué)具有對(duì)概念、原理的深入剖析，而且這種剖析蘊(yùn)含著自己對(duì)知識(shí)的獨(dú)到見(jiàn)解，這種見(jiàn)解也許基于對(duì)歷史的了解，也許基于自身的研究積累，那么他的教學(xué)就有了文化內(nèi)涵。這就是課堂教學(xué)中知識(shí)與文化的差別。那種把文化教育定義成開(kāi)設(shè)一些文化素質(zhì)課實(shí)在是對(duì)文化狹義的理解。知識(shí)與文化是什么關(guān)系？簡(jiǎn)而言之，知識(shí)是人類(lèi)智慧與文化的結(jié)晶，但知識(shí)不等于文化，同樣的知識(shí)在不同的人眼里顯示的是不同的影像，這種不同正是由文化決定的，也可以說(shuō)是由素養(yǎng)決定的。
回到“研究型”教學(xué)，我們應(yīng)該認(rèn)真思考一個(gè)問(wèn)題，“研究型”教學(xué)成功的基礎(chǔ)是什么？有三個(gè)要素缺一不可：1、學(xué)生的主觀能動(dòng)性；2、教師對(duì)問(wèn)題的掌控能力；3、足夠的時(shí)間。我們的教育現(xiàn)狀滿(mǎn)足這樣的要素嗎？“問(wèn)題”是課堂的核心是每個(gè)人都常常掛在嘴邊的，很多課堂包括教材也貌似在不斷提出問(wèn)題，然而，當(dāng)我們仔細(xì)推敲這些問(wèn)題的時(shí)候，會(huì)發(fā)現(xiàn)很多問(wèn)題其實(shí)都是些偽問(wèn)題或無(wú)效問(wèn)題，與概念、定理的建立與發(fā)現(xiàn)毫不相干，相關(guān)的例子不勝枚舉。
假定教師具有足夠駕馭課堂的能力，學(xué)生也具有足夠的主觀能動(dòng)性，時(shí)間允許嗎？沒(méi)有深入一線(xiàn)進(jìn)行實(shí)際操練，憑空想象的招式是經(jīng)不住實(shí)踐檢驗(yàn)的。我始終認(rèn)為，所謂師生之間的互動(dòng)并非形式上的互動(dòng)，更重要的是思想的互動(dòng)，學(xué)生的思路能緊緊跟著教師的思路，這無(wú)疑也是互動(dòng)的一種形式，啟發(fā)式、探究式教學(xué)的內(nèi)涵恐怕并不僅僅體現(xiàn)在學(xué)生形式上的參與。教師的課堂教學(xué)可以多種形式并舉，例如，某些環(huán)節(jié)、某些章節(jié)可以采用所謂的“研究型”教學(xué)，但這種形式不宜過(guò)多，否則難以完成既定的教學(xué)目標(biāo)。通過(guò)“研究型”教學(xué)讓學(xué)生懂得如何發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、分析問(wèn)題及解決問(wèn)題就可以了，教學(xué)的大部分時(shí)間應(yīng)該著眼于對(duì)知識(shí)的理解與融會(huì)貫通。
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