摘要：數(shù)學是探討數(shù)與形運動規(guī)律的學科。數(shù)學教學法是研究數(shù)學教學規(guī)律的。馬克思主義哲學是研究數(shù)學、自然科學、社會科學和思維科學的科學。數(shù)學教育工作者如何將哲學與數(shù)學緊密聯(lián)系起來，使之相互通融非常關鍵。
關鍵詞：數(shù)學 哲學 辨證統(tǒng)一 關系 淵源
1 引言
數(shù)學是探討數(shù)與形運動規(guī)律的學科，數(shù)學教學法是研究數(shù)學規(guī)律的，即研究在教學過程中如何最有效地向學生傳授數(shù)學知識、發(fā)展學生思維、培養(yǎng)學生能力和個性的學科。這些都是研究數(shù)學和數(shù)學教學過程中的特殊規(guī)律的科學，而馬克思主義哲學是研究數(shù)學、自然科學、社會科學和思維科學的最一般、最普遍規(guī)律的科學。馬克思主義哲學來源于實踐，同時又對實踐具有重要的指導意義。它來自于具體學科的最普遍規(guī)律、方法的高度抽象和概括，同時又對具體學科有著重要的指導作用。
因此，數(shù)學教育工作者只有將馬克思主義哲學的唯物辯證法思想、認識論思想貫徹于認識數(shù)學、研究數(shù)學及數(shù)學教學的過程中，以馬克思主義哲學思想為武器，用馬克思主義哲學的觀點去分析、解剖數(shù)學內容和數(shù)學的教學過程，用馬克思主義哲學的思想去統(tǒng)帥數(shù)學的思想和方法，才能透徹明了地看待數(shù)學問題的思路，清晰、辯證地講解數(shù)學演澤的邏輯過程，才能掌握好數(shù)學的思想和精神。這就需要研究數(shù)學與哲學的聯(lián)系，將馬克思主義哲學與數(shù)學有機的辯證的結合在一起，用馬克思主義哲學指導數(shù)學學習和數(shù)學教學。
2 數(shù)學與哲學的關系
2.1數(shù)學對哲學的作用
2.1.1通過數(shù)學科學，更容易理解哲學基本規(guī)律。
美國數(shù)學家羅濱遜給出了實數(shù)的非標準模型，為無限大、無限小提供了嚴格的理論依據，為微積分增添了直觀的因素，從而創(chuàng)立了新的微積分理論——非標準分析。
在非標準分析中，構建非標準實數(shù)軸并引入單子概念，使非標準實數(shù)軸成為一個層次結構空間。在該空間中，單子外部表現(xiàn)為不同數(shù)量層次之間質的差異；單子內部是無窮小量，其間只是量的差異，其比值是有限數(shù)量，其運算性質是同單子外普通實數(shù)是一樣的，可重新作為微分運算的出發(fā)點。因而非標準分析的建立就為闡明質量互變規(guī)律在“無限”領域的具體表現(xiàn)提供了一個適宜的數(shù)學模型。而在這之前，人們在討論質量互變規(guī)律中的量時，還沒有涉及到無限數(shù)量的變化發(fā)生質變的情形，因而非標準分析的創(chuàng)立豐富了質量互變規(guī)律的內容。
法國數(shù)學家托姆，在考察自然界、社會領域大量存在不連續(xù)現(xiàn)象的基礎上，運用微分映射的奇點理論，為這類客觀現(xiàn)象建立了數(shù)學模型，用以預測和控制該類客觀對象，這就是突變論的產生。
突變論提供的模型表明，在一定條件下，質變可以通過飛躍的形式來實現(xiàn)，也可以通過漸變的方式來實現(xiàn)。在給定的條件下，只要改變控制因素，一個飛躍過程可以轉化為漸變；反過來，一個漸變過程也可以轉化為飛躍。突變模型還表明，在奇點 (質變點)領域事物狀態(tài)的變化，不僅具有多種可能性，而且有它的隨機性。
2．1.2 數(shù)學的發(fā)展促進了邏輯的模式一合情推理的發(fā)現(xiàn)
美籍匈牙利數(shù)學家波利亞在數(shù)學領域里觀察分析眾多典型事例基礎上，經過比較綜合，概括出合情推理的這一發(fā)現(xiàn)模式。
波利亞把科學推理分成論證推理和合情推理兩種。論證推理是一種必然推理，有邏輯所制定和闡明的嚴格標準，每一步推理步驟都須經的住邏輯規(guī)則檢驗。合情推理則是一種或然推理，它由一些猜想構成的，因而它的標準是不固定的。事實上，人類的認識都是經過合情推理才得到，而論證推理的主要作用在于肯定或解釋我們所得到的知識。波利亞給出了三種合情推理類型：漸弱證明式、漸弱啟發(fā)式、以及啟發(fā)式。
無數(shù)事實證明，合情推理模型具有很大的普遍適應性，是科學發(fā)現(xiàn)邏輯的一般模式。
2．1.3 數(shù)學發(fā)展使得科學思想方法產生重大變革
數(shù)學中某一重大成果及某一重要思想方法的取得，有時會為科學思想方法帶來巨大活力，引起科學思想方法的重要變革。美國控制論專家扎德于1965年創(chuàng)立的模糊數(shù)學就是典型事例。
模糊數(shù)學是以模糊性事物和現(xiàn)象為研究對象的，模糊集合論與經典集合論之間的根本區(qū)別在于兩者賴以存在的基本概念集合的意義不同。在經典集合中，一個元素是否屬于一個集合，只有兩種可能，屬于或不屬于，二者必居其一，其特征函數(shù)的邏輯基礎是二值邏輯，它是對事物 “非此即彼”的定量描述；模糊集合是把特征函數(shù)推廣到隸屬函數(shù)，把僅能取0與1兩個值推廣到可以取 [0，1]的任何實數(shù)值，其邏輯基礎是多值邏輯，它是對事物 “亦此亦彼”狀態(tài)的定量描述。模糊集合是與經典集合密切相關的。
當隸屬函數(shù)的值只含0，1兩個數(shù)的集合時，這時的隸屬函數(shù)就是經典集合中的特征函數(shù)，此時的集合就是通常的經典集合。當把經典集合的特征函數(shù)視為隸屬函數(shù)時，則經典集合也可看作是模糊集合。經典集合是特殊的模糊集合，而模糊集合是經典集合的推廣。
模糊理論已不斷豐富，應用范圍不斷擴充，就基礎理論而言，已經涉及到諸如模糊數(shù)、模糊關系、模糊圖、模糊概率、模糊判斷、模糊邏輯、模糊識別以及模糊控制等；就應用領域來說，已滲透到物理學、化學、生物學、醫(yī)學、氣象學、地質學、社會科學、人文科學、系統(tǒng)論、控制論、信息論與人工智能等。可見，模糊數(shù)學給整個科學帶來巨大的方法論啟迪，它是科學思想史上的一次重大轉折。而今，認識和利用模糊數(shù)學已經成為觀察世界、分析客觀事物的一個重要基本方法。
2.2哲學對數(shù)學的作用
2.2.1 哲學為數(shù)學發(fā)展起到了指導作用
在人類的科學手段、科學方法尚未達到真切認識事物的時候，哲學往往有很強的前瞻作用，這種認識往往會指導人類去準確定位客觀事物，對科學的發(fā)展方向能夠正確把握。
哲學作為人類認識世界的先導，其首先應當關注的是科學的未知領域，其往往對科學的發(fā)展有預言性定論。在一門學科發(fā)展的萌芽階段，其粗淺認識經常以哲學的形式出現(xiàn)。這方面的例子舉不勝舉。
哲學家談論原子在物理學家研究原子之前，哲學家談論元素在化學家研究元素之前，哲學家談論無限與連續(xù)性在數(shù)學家說明無限與連續(xù)性之前。
希爾伯特曾直言不諱，他關于無限的形式主義思想來自康德的哲學觀念。羅素從分析哲學的基本立場出發(fā)，堅持邏輯即數(shù)學的青年時代，數(shù)學即邏輯的壯年時代的觀點。從這個意義上來講，哲學實際上就是數(shù)學發(fā)展前進路上的方向盤。
數(shù)學作為空間形式和數(shù)量關系的科學，其研究的是客觀世界的運動規(guī)律，因而其必然是唯物的。數(shù)學對象是人類抽象思維的結果，無法脫離感性事物而獨立存在。數(shù)學是形式的，但決不是形式主義的。數(shù)學的抽象形式離不開現(xiàn)實世界，在內容上仍與現(xiàn)實有著密切的關系，抽象的數(shù)學內容在現(xiàn)實世界中都能找到原型。如平面幾何的全等，就是反映了把兩個現(xiàn)實對象相互貼附在一起的實際操作過程；微積分的概念，反映了自然界無限接近的結果。不過，數(shù)學形式對客觀現(xiàn)實而言，具有相對獨立性。數(shù)學理論住／往僅通過內部因素交匯融合、震蕩提煉，就會涌現(xiàn)出簡明深刻、和諧統(tǒng)一的理論。但是，我們應當充分認識到，這僅僅是暫時的形式脫離內容。這種居高臨下的發(fā)展態(tài)勢，往往有助于人類進一步理解認識其他學科。只有形式而無內容的事物是世界上沒有的，數(shù)學的形式必須結合內容才會獲得旺盛的生命。那種在數(shù)學工作中人為的推廣、盲目的抽象，往往會形成無足輕重的支流末節(jié)，不久就會在數(shù)學大地上干涸消失。雄才大略的希爾伯特數(shù)學規(guī)劃的破產就是不爭的事實。因此，數(shù)學研究必須以客觀事物及其發(fā)展規(guī)律的客觀實在性為前提，通過科學實踐完成所要解決的課題。
辯證唯物主義克服了古代樸素唯物主義的缺點和唯心主義的局限性，是科學的世界觀和方法論。半個世紀以來，數(shù)學的發(fā)展呈現(xiàn)兩個態(tài)勢，即高度分化又高度綜合。分化越深人，綜合就越需要，這是辨證統(tǒng)一的。在數(shù)學研究中自覺地運用辯證唯物主義哲學做指導，就可能避免或減少片面性、局限性，否則數(shù)學的發(fā)展就可能會誤人歧途，停滯不前。數(shù)學發(fā)展史上有很多這樣的實例，如古希臘寧愿使用 “嚴格但相對貧瘠的窮竭法”而不采用根基松懈但很有效的 “原子法”，正是由于深受柏拉圖唯心主義的影響。
非歐幾里德幾何學誕生時，這一偉大的發(fā)現(xiàn)之所以不能立即被人接受，就連高斯這樣偉大的數(shù)學家也不敢發(fā)表看法，正是由于康德哲學在作怪。
因此，哲學對數(shù)學發(fā)展的影響是深遠的，正確的哲學思想無疑會極大促進數(shù)學發(fā)展，反之，錯誤的哲學思想會阻礙數(shù)學的發(fā)展。
2.2．2 哲學作為方法論，為數(shù)學提供有用的認識工具和探索工具
從實無窮小一潛無窮小一實無限與潛無限交叉，無窮小方法走過了漫長的曲折道路。實無窮小方法是一種靜態(tài)的思想方法，潛無窮小方法是一種動態(tài)的思想方法，兩者是辨證統(tǒng)一的。當人們認識充分到無窮小量方法和無限可分方法并非絕對對立，它們不僅具有內在聯(lián)系，而且是相輔相成的，在一定條件下，還可以相互轉化、相互借用的辨證統(tǒng)一后，無窮小方法在就有了突破性進展，因此就有了微積分的誕生的前提。
近代數(shù)學公理化進展中最重要且最有效的成果之一，就是明確地認識到數(shù)學的基本概念并不必須具體化，沖破了教條主義哲學的束縛。
再如：借用模型研究原型的功能特征及其內在規(guī)律的數(shù)學模型方法，在當今已成為解決科學技術及人腦思維等問題的最重要的一種常用方法。它的主要特征是高度的抽象化和形式化。那么，如何揭示和把握這種抽象形式結構的規(guī)律性呢?是運用數(shù)學變換方法。它的思想基礎是辯證法：任何事物都不是孤立、靜止和一成不變的，而是在不斷的發(fā)展變化。因此作為一個數(shù)學系統(tǒng)和數(shù)學結構，其組成要素之間的相互依存和相互聯(lián)系的形式是可變的。數(shù)學家們也正是利用這種可變的規(guī)律性，強化自身在解決數(shù)學問題中的應變能力，不斷提高自己解決數(shù)學問題的思維能力和技能、技巧。
3 數(shù)學與哲學的淵源
3.1歷史上很多知名的數(shù)學家也是有影響的哲學家
他們既研究數(shù)學也研究哲學。比如：古希臘的泰勒斯(公元前624一前547)，他是著名的哲學家，希臘幾何學的鼻祖，也是天文學家。
古希臘的畢達哥拉斯(約公元前580一前497)，他是古希臘數(shù)學家、天文學家、哲學家，還是音樂理論家。他發(fā)現(xiàn)了勾股定理。他的哲學基礎是“萬物皆數(shù)”。
法國的笛卡兒(1596—1650)，他是數(shù)學家、哲學家、物理學家，角析幾何的奠基人之一。他于17世紀上半葉劃時代地在數(shù)學中引進了變量概念和運動的觀點，被恩格斯贊譽為是 數(shù)“學的轉折點”，它導致了微積分的誕生，進而推動了自然科學的發(fā)展。<幾何學)雖是這位著名的哲學家的惟一一篇數(shù)學著作，然而它的歷史價值卻使笛卡兒的名字在數(shù)學史卷上寫下了重重的一筆。
法國的萊布尼茨(1646—1716)，他是德國的數(shù)學家、哲學家、科學家。他獨立創(chuàng)建了微積分，并發(fā)明了優(yōu)越的微積分符號。他在哲學上是客觀唯心主義者，“單子論”是他的著名哲學觀點。
3.2歷史上很多哲學家及其哲學思想影響著數(shù)學的發(fā)展
馬克思(1818—1891)和恩格斯(1820—1895)不僅創(chuàng)立了馬克思主義哲學，對數(shù)學研究和發(fā)展起到了巨大的指導和推動作用，而且他們也直接研究過數(shù)學。在辯證法的研究中，他們對變量進入數(shù)學給了高度評價，同時直接考察了無窮小量。這可見于馬克思的<數(shù)學手稿>、因格斯的<自然辯證法>以及他們的其它著作和通信中。對于實無窮小的建立，他們的思想無疑是富有啟發(fā)性的。但由于<數(shù)學手稿>長期沒有發(fā)表，人們對馬克思和恩格斯在這方面的工作所知甚微。
哲學家亞里士多德(前384一前322)，他也是邏輯學的創(chuàng)始人，為幾何學奠定了鞏固的基礎。他的公理化思想促進了幾何學的誕生和發(fā)展。哲學家柏拉圖(前428一前348)對嚴密定義和邏輯證明的堅持，促進了數(shù)學的科學化。哲學家赫拉克利特提出的樸素的辨證法的思想促進了數(shù)學的發(fā)展。
3.3數(shù)學史上的三次“數(shù)學危機"都與哲學有關
哲學家芝諾于公元前5世紀提出了幾個著名的悖論，加之無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)，使人們對于數(shù)學能否成為一 門科學產生懷疑，這就是第一次 “數(shù)學危機”；由于初期的微積分邏輯上的缺陷，圍繞微積分基礎開始了大論戰(zhàn)。英國的唯心主義者大主教貝克萊對微積分的攻擊最為激烈，數(shù)學家、哲學家和神學家都紛紛介入，引起了第二次 “數(shù)學危機”；哲學家羅素在集合論中發(fā)現(xiàn)的“羅素悖論”，震動了整個數(shù)學界，引起了數(shù)學界、哲學界激烈的爭論，史稱第三次 “數(shù)學危機”。
這三次“數(shù)學危機”，都和哲學家及其哲學思想相聯(lián)系，伴隨著哲學家之問激烈的論戰(zhàn)，反映了尖銳的哲學思想的斗爭。歷史表明，“危機”大大促進了數(shù)學基礎的奠定工作，數(shù)學在攻擊的洗禮中進一步并不斷地完善和發(fā)展。同時說明，在新學科產生的時候，總是唯心主義者首先加以反對，而實踐又總是證明，利用新理論暫時的邏輯上的困難所制造的 “危機”，雖然可能暫時阻礙理論的發(fā)展，但必然隨著新理論的基礎的完善而消失?？茖W就是在這種不斷戰(zhàn)勝各種唯心論和形而上學的過程中發(fā)展和完善的。
故數(shù)學和哲學事相互促進，共同發(fā)展的。數(shù)學和哲學都產生于生產勞動的實踐，它們都是隨著社會的進步，科學的日益發(fā)展而發(fā)展。哲學的觀點決定了數(shù)學的思想，哲學思想指導著數(shù)學的發(fā)展。在數(shù)學中處處體現(xiàn)了唯物辨證法的思想的光輝，處處閃爍著人類思維進步的理論結晶。數(shù)學的每一成果，都是 自然現(xiàn)象理性的概括。數(shù)學的每項重大成就，都在證實并豐富和發(fā)展馬克思主義哲學理論。所以，數(shù)學和哲學有著不可分割的內在聯(lián)系。哲學以博大的胸懷容納了數(shù)學的理論，數(shù)學以廣泛而深奧的知識豐富了哲學寶庫。要想學好數(shù)學，教好數(shù)學，必須具有哲學的理性思維的頭腦，必須掌握哲學科學的認識方法，這無論對于數(shù)學理論工作者，還是對于數(shù)學教學工作者來說都具有十分重要的意義。
作為數(shù)學理論和數(shù)學教學工作者，應發(fā)而且必需研究數(shù)學與哲學的聯(lián)系，用哲學的觀點來看待數(shù)學，這不僅是認識數(shù)學的需要，而且也是研究數(shù)學，發(fā)展數(shù)學，保持數(shù)學之樹常青的需要。數(shù)學與哲學之間的聯(lián)盟與結合必將產生重大的影響。一切數(shù)學工作者應當看到這一結合的深遠意義。作為數(shù)學教師，無論是自身進修提高，還是進行數(shù)學教學活動，無論是要提高自己的數(shù)學水平，還是要提高自己的教學能力，都必須深刻了解數(shù)學與哲學的聯(lián)系，只有這樣才有可能掌握好數(shù)學思想方法，才能按照數(shù)學認識的規(guī)律科學地進行數(shù)學教學，才能達到數(shù)學教學大綱的要求，寓辨證唯物主義思想教育于數(shù)學學科教育之中，培養(yǎng)學生樹立馬克思主義的觀點、方法。
參考文獻
董毅.淺論數(shù)學與哲學的緊密聯(lián)系【J】. 合肥教育學院學報,2002(2)
魯又文．數(shù)學古今談[M]．天津：天津科學技術出版社
解恩澤，徐本順．數(shù)學思想方法[M]．濟南：山東教育出版社，1989．
蔣建林，王永健. 談數(shù)學教育與馬克思主義哲學的關系【J】. 南京航空航天大學學報,2006.
