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公元前四世紀(jì)，古希臘的算術(shù)在巴比倫和埃及的基礎(chǔ)上，有了很大的發(fā)展，他們用石子、沙子記數(shù)和計算。在這一時期，對“形數(shù)”的研究達(dá)到了一個高峰。

在眾多的學(xué)派中，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派對“形數(shù)”的研究最為突出，該項研究強烈地反映了他們將數(shù)作為幾何思維元素的精神，有效地印證了“凡物皆數(shù)”的觀點。

那什么是形數(shù)呢？即有形狀的數(shù)。畢達(dá)哥拉斯學(xué)派研究數(shù)的概念時，喜歡把數(shù)描繪成沙灘上的小石子，小石子能夠擺成不同的幾何圖形，于是就產(chǎn)生了一系列的形數(shù)。

1、三角形數(shù)

畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)，當(dāng)小石子的數(shù)目是1、3、6、10、…等數(shù)時，小石子都能擺成正三角形，他把這些數(shù)叫做“三角形數(shù)”。如圖一1、2所示：                                         

不難看出，前四個三角形數(shù)都是一些連續(xù)自然數(shù)的和，記每一個三角形數(shù)為

  （i=1、2、3、…、n）則：

=1

=1+2=3

=1+2+3=6

=1+2+3+4=10

……………

=1+2+3+…+100=5050

……………

就這樣，畢達(dá)哥拉斯借助生動的直觀的幾何圖形，很快就發(fā)現(xiàn)了自然數(shù)的一個規(guī)律：從1開始的連續(xù)自然數(shù)的和都是三角形數(shù)。如果用字母n表示最后一個加數(shù)，那么1+2+3+…+n的和即是一個三角形數(shù)，而且正好是第n個三角形數(shù)。 

∴

=1+2+3+…+n=    (n∈

)

[例1]：如圖二，前3個圖形的點的個數(shù)分別是多少？第n個圖形的點的個數(shù)是多少？

解：①問，前三個圖形的點的個數(shù)分別是3、6、10。

②問，因為3、6、10、15…等數(shù)恰好構(gòu)成三角形數(shù)，記第n個圖的點為

，則

=1+2+3+…+(n+1)=

(n+1)=

[例2]：古希臘數(shù)學(xué)家把數(shù)1、3、6、10、15、21…，叫做三角形數(shù)，它有一定的規(guī)律性，則第24個三角形數(shù)與第22個三角形的差為        

解：

=1+2+…+24           =1+2+…+22

∴

—

=23+24=47     故應(yīng)填：47

2、正方形數(shù)

 畢達(dá)哥拉斯還發(fā)現(xiàn)，當(dāng)小石子的數(shù)目是1、4、9、16、…等數(shù)時，小石子都能擺成正方形，他把這些數(shù)叫“正方形數(shù)”。如圖三1、2所示：

分別記各圖所示的小石子個數(shù)為

(i=1、2、…、n)不難發(fā)現(xiàn)：a₁=1=1²

=1+3=4=

=1+3+5=9=

=1+3+5+7=16=

……………

=1+3+5+…+(2n-1)=n=

畢達(dá)哥拉斯，通過直觀圖形把奇數(shù)和圖形結(jié)合起來，得到一個定理：從1開始，任何連續(xù)的奇數(shù)之和是完全平方數(shù)。畢達(dá)哥拉斯，還給出了一個定理：兩個相鄰三角形數(shù)之和是正方形數(shù)，

即    

（n+1）+

(n+2)=

[例1]：如圖四：計算1+3+5+7+9+11+13+15的值

解：觀察圖知道1、1+3、

1+3+5構(gòu)成正方形數(shù)

……

1=

     1+3=    1+3+5=    

∴

=1=    

=1+3=

=1+3+5=

……………

=1+3+5+…+(2n-1)=

∴

=1+3+5+…+15==64

3、長方形數(shù)

當(dāng)小石子的數(shù)目是偶數(shù)2、6、12、20等數(shù)時，小石子都能擺成長方形，畢達(dá)哥拉斯把這些數(shù)叫做長方形數(shù)（或矩形數(shù)）。如圖五

分別把每一個長方形數(shù)記作：

(i=1、2、3、…、n)

=2

=2+4=6

=2+4+6=12

=2+4+6+8=20

……………

=2+4+6+8+…+2n = =n(n+1)

即，由序列：N=2+4+6+8+…+2n=n(n+1)   (n∈

)給出的數(shù)叫長方形數(shù)。每個長方形數(shù)都等于某三角形數(shù)的2倍。

4、五邊形數(shù)

當(dāng)小石子的數(shù)目是1、5、12、22、…等數(shù)時，小石子都能擺成正五邊形，畢達(dá)哥拉斯把這些數(shù)叫做“五邊形數(shù)”如圖六所示：

分別把每一個五邊形數(shù)記作：

(i=1、2、…、n)

=1        

=1+4=5

=1+4+7=12

=1+4+7+10=22

……………

=1+4+7+…+(3n-2)=n=

5、六邊形數(shù)

當(dāng)石子數(shù)目為1、6、15、28等數(shù)時，小石子都能擺成六邊形，畢達(dá)哥拉斯把這些數(shù)叫做“六邊形數(shù)”如圖七所示：

分別把每個六邊形記作

(i=1、2、3、…、n)

=1

=1+5=6

=1+5+9=15

=1+5+9+13=28

……………

=1+5+9+13+…+(4n-3)=n=2-n

根據(jù)這些規(guī)律，人們就可以寫出很多很多的形數(shù)，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的學(xué)者還通過這一過程，將這種數(shù)形結(jié)合的思想推廣到三維空間去構(gòu)造多面體數(shù)。

[練習(xí)] 1、Ⅰ如圖八所示，前三圖中各有多少個三角形？

Ⅱ你能否找出其中的規(guī)律，用式子表示第n個圖中有多少個三角形？

 [答案]：前三圖中各有3、6、10個三角形。

       ∵3、6、10等數(shù)恰好構(gòu)成三角形數(shù)，把每一個圖形的三角形數(shù)記為

(i=1、2、3、…、n)，則

=1+2=3

=1+2+3=6

=1+2+3+4=10

……………

=1+2+3+…+（n+1）=

[練習(xí)] 2、把正方體擺成如圖九所示的形狀，從上向下數(shù)第一層1，個第二層3個，…，按這個規(guī)律擺放，第五層的正方體個數(shù)是：（  ）

A、10    B、12   C、15    D、20

[答案]：經(jīng)觀察：

第一層：

=1，

第二層：

=3，

第三層：

=6 ，

第四層：

=10                                

由此可知，1、3、6、10屬三角形數(shù)，

則第五層：

=1+2+3+4+5=15

故選C

[練習(xí)]3、如圖十所示，若以點O為端點的射線有n條，則共組成多少個角？

[答案]：當(dāng)有1條射線時：有角3=1+2個

當(dāng)有2條射線時：有角6=1+2+3個

當(dāng)有3條射線時：有角10=1+2+3+4個

當(dāng)有4條射線時：有角15=1+2+3+4+5個

∵3、6、10、15…恰好構(gòu)成三角形數(shù)。

∴當(dāng)有n條射線時：有角1+2+3+…+（n+1）=

（n+1）=

個

[練習(xí)]4、某班共有學(xué)生m人，在春節(jié)期間，每個同學(xué)都與其他同學(xué)通電話一次來互致新春的祝福，求該班m個同學(xué)共通話多少次？

[答案]：2人通話       1次

       3人通話       3=1+2次

4人通話       6=1+2+3次

5人通話      10=1+2+3+4次

∵1、3、6、10、…恰好構(gòu)成三角形數(shù)。

∴當(dāng)有m個學(xué)生時：通話1+2+3+…+（m-1）=

=次

[練習(xí)]5、n條直線兩兩相交最多有多少個交點？

[答案]：如圖十一所示：

∵1、3、6、10、…恰好構(gòu)成三角形數(shù)。

∴n條直線兩兩相交最多交點N=1+2+3+…+（n-1）=

個。[練習(xí)]6、已知

∥

、

∥

、

∥

、……、

∥

,那么圖十二中共有多少對平行線?

[答案]：由題意可知，

∥

∥

∥…∥

∥

當(dāng)有2條平行線時，有平行線的對數(shù)為

=1

當(dāng)有3條平行線時，有平行線的對數(shù)為

=1+2

當(dāng)有4條平行線時，有平行線的對數(shù)為

=1+2+3

…………………………………………………………

當(dāng)有n條平行線時，有平行線的對數(shù)為

=1+2+3+…+（n-1）=

[練習(xí)]7、試求n邊形的對角線的條數(shù)？

[答案]：四邊形對角線條數(shù)記

=2

五邊形對角線條數(shù)記

=2+3=5

六邊形對角線條數(shù)記

=2+3+4=9

七邊形對角線條數(shù)記

=2+3+4+5=14

2、5、9、14、…等數(shù)加1可得三角形數(shù)，所以n邊形對角線條數(shù)記

=2+3+4+…+（n-2）=

=

  （n≥3）

[練習(xí)]8、用牙簽按圖十三方式搭圖。

問第n個圖形有多少根牙簽？

[答案]：每一個圖牙簽根數(shù)記為

（i=1、2、3、…、n）則：

=3=3×1

=9=3×3=3×（1+2）

=18=3×6=3×（1+2+3）

……………

=3×（1+2+3+…+n）=3

=