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瞧,黑洞!

——Einstein場方程的Schwarzschild


按:本來準(zhǔn)備繼續(xù)“冒充”幾天文科......不想天不遂人愿,好吧,寫篇“應(yīng)制博文”,屬于“私人定制”......


引子

  霍金他老人家“火”了之后,俺們一干小角色便經(jīng)常遇到這樣的問題:

   黑洞到底是什么?

  凡此類問題,我一般大筆一揮,給個(gè)方程或解析式:

 

然后指著x=0處,正色曰:瞧,“黑洞”?。。?/span>

  初中時(shí),我們就已經(jīng)知道反比例函數(shù)在x=0處(反函數(shù)存在,則為y=0)"無意義"(中學(xué)數(shù)學(xué)好像一直是這么表述的)。我們把這個(gè)"無意義"位置被稱為“奇點(diǎn)”(singularity)。如果這個(gè)函數(shù)關(guān)系表征的是物理世界中某個(gè)規(guī)律,則奇點(diǎn)意味著函數(shù)描述的物理規(guī)律在這個(gè)位置失效了。

   黑洞,就是這么個(gè)奇點(diǎn)——愛因斯坦引力場方程的奇點(diǎn)!

   ......


black starblacl hole

   在牛頓萬有引力定律定律的基礎(chǔ)上,英國的約翰·米歇爾(J.Michell)和“法國牛頓”拉普拉斯(P.Laplace)分別于1783年1795年討論了下面這種物理情境:

   對某一大質(zhì)量天體,質(zhì)量為M,半徑為R,其表面的逃逸速度,即該天體的第二宇宙速度v(也就是在天體表面發(fā)射小質(zhì)量物體m脫離M引力束縛所需要的最小發(fā)射速度),根據(jù)能量守恒有


當(dāng)v=c,即這個(gè)天體表面逃逸速度為真空光速時(shí),


R=rg定義為質(zhì)量為M天體的牛頓引力半徑

   如果某天體表面的逃逸速度v大于c,則表明天體(恒星)發(fā)出的光無法逃逸。米歇爾和拉普拉斯把這類看不見的天體稱為“黑星”(也叫“暗星”,black star。

  1915年,愛因斯坦在狹義相對論(1905)和馬赫等效原理的基礎(chǔ)上建立了廣義相對論,其中最重要的成果就是建立了全新的引力理論——愛因斯坦引力場方程


這個(gè)方程深刻地刻畫了相對運(yùn)動(dòng)、質(zhì)量分布、引力與時(shí)空結(jié)構(gòu)之間的關(guān)系,其中

度規(guī)張量,用以描述時(shí)空結(jié)構(gòu)。

   什么是度規(guī)呢?

   狹義相對論建立后,我們不再孤立地看待時(shí)間和空間,而是把它們結(jié)合到一起視為時(shí)空(space-time or time-space)。對一個(gè)給定時(shí)空(必須是數(shù)學(xué)意義上的度量空間)中兩個(gè)相鄰事件間的時(shí)空線元的平方就是這個(gè)時(shí)空的度規(guī),它包含了這個(gè)時(shí)空的結(jié)構(gòu)信息。比如狹義相對論框架下,不考慮質(zhì)量分布及引力作用的閔可夫斯基時(shí)空中,其度規(guī)為(也可以表示為張量形式,為簡便從略)


如果是牛頓力學(xué)(經(jīng)典力學(xué))的三維歐氏空間,去掉第四維時(shí)間線元(icdt)即可。

   1916年,德國天文學(xué)家、物理學(xué)家卡爾·史瓦西(K.Schwarzschild,其子馬丁也是杰出的天文、物理學(xué)家)在靜態(tài)球?qū)ΨQ質(zhì)量分布的條件下給出了愛因斯坦引力場方程的一個(gè)嚴(yán)格解——原則上,不同的條件就有不同的解,至于解不解得出來,就看造化咯

   引力場方程的史瓦西解確定了一個(gè)時(shí)空的史瓦西度規(guī),在球坐標(biāo)下,它可以表示為


當(dāng)

時(shí),即距離球體足夠遠(yuǎn)(物理世界不存在無窮大?。r(shí),上述史瓦西度規(guī)退化為狹義相對論中(平直閔可夫斯基時(shí)空)的閔可夫斯基度規(guī)(球坐標(biāo))。

   廣義相對論定量得討論了質(zhì)量分布導(dǎo)致的時(shí)空翹曲(表現(xiàn)為引力),有興趣的朋友可以參見博文http://blog.sciencenet.cn/blog-217073-816148.html

   史瓦西度規(guī)中

分別表示時(shí)間和空間在徑向上的翹曲程度,存在兩個(gè)奇點(diǎn):


其中rs 稱為史瓦西半徑,以rs為半徑的球面定義為視界(horizon)——瞧,黑洞(black hole),史瓦西黑洞?。。?/strong>

  請注意black starblack hole在表述上的差別,雖然都是“黑的”,只有hole刻畫了一種時(shí)空中的凹陷!

  視界被認(rèn)為是黑洞的邊界,是一種單向膜。經(jīng)典黑洞不滿足霍金黑洞量子力學(xué)描述的黑洞)而言,視界是“只進(jìn)不出”的,視界外的物質(zhì)和能量輻射可以進(jìn)入,而內(nèi)部的物質(zhì)和能量輻射不能出來。

   有趣的是,史瓦西半徑與非相對論的牛頓引力半徑在數(shù)學(xué)上等價(jià)(你不得不佩服“牛哥”與“公爵”有意或無意的“洞見”),但在物理意義上,有天壤之別:經(jīng)典力學(xué)中沒有光速極限的限制,黑洞內(nèi)的光子可以運(yùn)動(dòng)到視界外再被“拉回來”。而狹義與廣義相對論中存在光速極限,黑洞內(nèi)的光子最多(在視界上發(fā)射)只能在視界上運(yùn)動(dòng)

   史瓦西黑洞模型是靜態(tài)的,還有一種考慮了旋轉(zhuǎn)(角動(dòng)量)的克爾黑洞。克爾黑洞的視界半徑為


J為黑洞角動(dòng)量,容易看出(學(xué)一下拉普拉斯大人的風(fēng)格):當(dāng)J=0時(shí),克爾黑洞的視界半徑等于史瓦西半徑,克爾黑洞退化為史瓦西黑洞。還有考慮了角動(dòng)量和電荷的克爾—紐曼黑洞,就不在這里贅述咯......


霍金,你憑什么牛?

  在史瓦西度規(guī)的兩個(gè)奇點(diǎn)中:

  (1)r=0 處,有無窮大的潮汐力(即固有引力理論失效了),是真實(shí)的物理奇點(diǎn);

   (2)視界或史瓦西半徑處,潮汐力有限(固有引力理論仍然有效),不是一個(gè)真實(shí)的物理奇點(diǎn)。

  1965年到1970年間,彭羅斯(R.Penrose)和霍金(S. Hawking)證明:天體在坍縮成黑洞的過程中必然會(huì)出現(xiàn)(鄰域內(nèi))密度和時(shí)空曲率無窮大的奇點(diǎn)。

  那么,宇宙中會(huì)不會(huì)出現(xiàn)不被視界(非真實(shí)奇點(diǎn))包圍的裸露奇點(diǎn)(真實(shí)奇點(diǎn))呢?

  為解決這個(gè)問題,彭羅斯提出了宇宙監(jiān)督猜想(cosmic censorship conjuecture):一個(gè)物體在完全引力坍縮時(shí),不會(huì)產(chǎn)生裸奇點(diǎn),宇宙中不存在只有奇點(diǎn)沒有視界的黑洞!

  史瓦西黑洞模型是一個(gè)靜態(tài)的“死黑洞”,為了描述黑洞自身的演化與輻射機(jī)制(要不然我們怎么找到它?),霍金與人合作建立了超越經(jīng)典黑洞模型的黑洞熱力學(xué)(演化)與黑洞量子力學(xué)(輻射)......這些內(nèi)容,本文就不討論啦。


   總而言之,言而總之:給我一個(gè)方程,我還你一個(gè)"黑洞"......


 



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