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                      《元史·歷志》 序言

  明確四時，制定歷法的工作，從黃帝、堯、舜到夏、商、周三代的賢明君主，沒有不重視它的。有關(guān)材料，都詳備地記載在歷史典籍中了。雖然今天離古代已經(jīng)久遠，那時的算法現(xiàn)在不甚了解，但是它的基本原則和要點，不過是隨時考察、測算、驗證，使計算出來的天象符合實際情況而已。漢朝的劉歆制定《三統(tǒng)歷》，開始創(chuàng)立“積年”和“日法”，作為推算的標(biāo)準。后世沿用這種辦法，直到唐、宋。那些變更歷元，修改算法的，大概有幾十家。這是什么緣故呢？難道他們都認為前人的歷法錯謬而自己想標(biāo)新立異嗎？不是的。原來天體的運行情況參差不齊，而歷法卻要求有一定的穩(wěn)定性，所以，時間久了，不能沒有誤差。既有誤差，就不能不修改。

  元朝初期，承用金朝的《大明歷》。庚辰年（1220年）元太祖（成吉思汗）西征。那年五月望日（公歷1220年6月17日），月食預(yù)報與實際時刻不符；二月和五月的初一（分別為公歷3月7日和6月3日），黃昏時居然有微小的新月出現(xiàn)在西南方。當(dāng)時的中書令耶律楚材認為這是《大明歷》的計算結(jié)果落后于實際天象所造成的。于是他把節(jié)氣和“周天度”的零數(shù)都做了減損，并且調(diào)整了“交終”和“月轉(zhuǎn)”的周期，還將太陽、月亮和五大行星運行的先后和出沒情況都進行了考察，用來校正《大明歷》的錯誤。鑒于庚午年（1210年）元朝軍隊南進伐金，后方基本平定，便以這個庚午年為基礎(chǔ)，推算出上元庚午歲“天正”十一月壬戌初一日子正夜半冬至，那時正值日月合璧，五星聯(lián)珠，“七政”同時會聚于虛宿六度的位置上。他的新歷法就把這一天象作為元太祖受命于天的征兆。又因為從西域到中原距離遙遠，于是又創(chuàng)立了“里差法”來校正根據(jù)西域的位置推算出來的天象時刻，使之符合于中原看到的情況。這樣，即使東西相差一萬里，但預(yù)推的天象和各地人們看到的實況一點也不差。因此，新歷被命名為《西征庚午元歷》。耶律楚材向皇帝上表請求頒布，但是沒有實行。

  至元四年（公元1267年），西域人扎馬魯丁編撰了一部《萬年歷》，進獻給朝廷。元世祖頒布了它，但不久就不再通行。至元十三年（公元1276年）滅了南宋以后，朝廷命令前中書左丞許衡、太子贊善王恂、都水少監(jiān)郭守敬組織人員編制新歷。許衡等人認為，金朝雖然改訂了歷法，但他們只是把宋朝的《紀元歷》稍微作了增補，實際上并沒有通過測量天象來驗證。于是就組織南方和北方的著名歷算家陳鼎臣、鄧元麟、毛鵬翼、劉巨淵、王素、岳鉉、高敬等人參考歷代歷法重新測量日月星辰運行的消長變化，分析了各家數(shù)據(jù)的異同。經(jīng)過反復(fù)斟酌，選取最佳數(shù)據(jù)，作為編制新歷的依據(jù)。到了十七年冬至那一天（十一月二十一日，公元1280年12月14日）新歷終于編成?；实巯略t，給新歷賜名叫作《授時歷》。十八年（1281年）頒行全國使用。二十年（1283），又命太子諭德李謙撰寫《歷議》，闡發(fā)新歷順天求合的微妙，考證前代人為附會的失誤，證明這部新歷確實能夠永久使用下去。因為從古到今，它推算天象的精密度是空前的，此前沒有一家歷法能夠超過它?，F(xiàn)在，許衡、王恂、郭守敬等所撰的《授時歷經(jīng)》和李謙寫的《歷議》都原封不動地保存著，都是可以考稽的，因此把它照錄在這里。只有那部《萬年歷》不再流傳。而《庚午元歷》雖然不曾頒行，但它的原稿還在，因此把它附在《授時歷》的后面，以供后人查考。綜上所述，我們作了這篇《歷志》。

《授時歷議》正文

（一）驗氣

天體運行的軌道，就像一個圓環(huán)，沒有端點。編歷人員一定要選擇陰氣到達極點而陽氣開始發(fā)生的那一刻（冬至）作為起算點。陰陽消長交替的那一刻，憑什么能測量出來呢？我們說，只要堅持測算正午日影的長短變化，那么所求的那一刻就不會從我們身邊溜走。具體作法，就是通過立表測影，來研究節(jié)氣，特別是“二至”（冬至和夏至）的起始時刻。這種作法，由智者創(chuàng)立，而能者繼承。前代的研究者在這方面已經(jīng)十分完備了。如果再能精思密索，心領(lǐng)神會，那么在前人方法的基礎(chǔ)上未必沒有增益。

傳統(tǒng)的作法是：選擇一塊平坦寬廣的地帶，放置一根水平尺（圭），尺上刻有刻度，水平槽里豎立一根“表”，來測量正午的表影長度。這種作法的缺點是：如果表短了，那么尺、寸以下的分、秒、太（3／4）、半（1／2）、少（1／4）這些零數(shù)不容易分辨；表長了，影子的長度也相應(yīng)增大，尖端之處又虛又淡，難以測出實際的影長。前人想就虛淡的影子里考求真實的影長，或者設(shè)置“望筩”，或者設(shè)置小表，或者以木為規(guī)，都是選取通過表端的日光照射圭面的那一點。現(xiàn)在采用銅制的表，高三十六尺，表端設(shè)置兩個銅龍，抬著一條水平的橫梁，從橫梁到表的底面共四十尺，是傳統(tǒng)的八尺表的五倍。圭的表面上刻有尺寸，將舊表的一寸擴大到五寸，這樣毫厘便容易分清了。此外再創(chuàng)造一個“景符”（影符），用來測量實際的影長。它的構(gòu)造是：用寬二寸，長六寸的銅葉，中間穿一個小孔，好像針芥那么大。用方框為底坐，底坐的一端設(shè)為機軸，讓它可以開合；在另一端用一根小棍支撐，讓影符斜靠著，北面高，南面低，在虛影的當(dāng)中往來遷就，使日光穿過小孔僅象一粒米那么大小，在這當(dāng)中，隱約可見橫梁的影子。過去的老辦法，是測量表端的影長，得到的結(jié)果是對應(yīng)于太陽上邊緣的影長；現(xiàn)在用了橫梁，可以實際測得對應(yīng)于日面中心的影長，而且不會發(fā)生絲毫的誤差。

傳統(tǒng)的測量地點是“地中”（今河南登封告城鎮(zhèn)）。在那里，樹立八尺高的表，冬至那天影長一丈三尺有奇；夏至影長一尺五寸?，F(xiàn)在的測量地點在京師（大都，按：即今北京），樹立四十尺高的表，冬至影長七丈九尺八寸有奇，折合八尺表，相當(dāng)于一丈五尺九寸六分；夏至影長一丈一尺七寸有奇，折合八尺表，則為二尺三寸四分。雖然晷影的長短是隨著測量地點的不同而不同，但晷影最長的那天是冬至，最短的那天是夏至，道理是一樣的。問題是冬至和夏至的交節(jié)時刻，考求起來并不容易。若實地測量時，恰逢交節(jié)時刻，那么一年內(nèi)節(jié)氣的正確時刻都可以確定下來。南北朝劉宋時祖沖之曾經(jīng)取冬至前后二十三天和二十四天的晷影，折取它前后對稱的中間日子，定為冬至，并用每日的差數(shù)進行比較，來推定冬至?xí)r刻。到了北宋皇祐年間，周琮等人則取立冬和立夏這兩天的晷影來確定冬至。他認為這兩天離冬至遠些，每日的差數(shù)較多，所以就容易推考冬至的準確時刻。到《紀元歷》以后的各個歷法，測量法更加詳備，但總的來說，還是沒有脫離祖沖之所用的基本法則?，F(xiàn)在的《授時歷》在制定過程中，積日累月地實測正午的晷影，并從冬、夏至前后的近日到遠日，取各個日期晷影相差的數(shù)據(jù)，考量它們的異同。不是只取一天兩天的晷影，而是以取數(shù)多者來決定。于是從金朝《重修大明歷》的冬至?xí)r刻中減去一十九刻二十分，同時用逐年所測的正午晷影的日差分寸來推求定冬至和夏至的時刻。具體實例如下。

（1）推求至元十四年丁丑歲（公元1277年）冬至

這年十一月十四日己亥，晷影長7.94855丈（為方便起見，譯文改用今天的數(shù)字表示法）；至二十一日丙午，晷影長7.9541丈；二十二日丁未，晷影長7.9455丈。以己亥、丁未兩天的影長相減，得0.00305丈，為晷差；再以丙午、丁未兩天的晷影相減，得0.0086丈。又因規(guī)定1日=100刻，故按比例可知，0.00305乘以100，再除以0.0086，得到的商為35刻；再由十四日告終時的夜半到二十二日的夜半，其相距時間為8天，等于800刻，800－35=765,然后765÷2=382.5，由夜半到中午須加入半日，即50刻，得到432.5刻，除以100化為日，得4日，余數(shù)乘以12，再除以100，就得到3.9時，再加0.5，得4.4時；0.4除以12，化為刻，得3刻；以己亥日子初為起算點，加4日4時3刻，得癸卯日辰初三刻，為丁丑年的冬至（相當(dāng)于公元1277年12月14日，授時歷十一月十八日）。這是取冬至前后四天的影長推算的。（《歷議》的原文還敘述了取冬至前后九天的影長以及二十七天的影長來進行推算，這里略去不譯）。

（2）推求至元十五年戊寅歲（公元1278年）夏至

這年五月十九日辛丑，晷影長1.17775丈；二十八日庚戌，影長1.178丈；二十九日辛亥，影長1.18055丈。以辛丑、庚戌兩日之影長相減，余0.00025丈，乘以100，作為被除數(shù)；再以庚戌、辛亥兩日的影長相減，余0.00255為除數(shù)，去除被除數(shù)，得數(shù)為9刻，從相距的九天（合900刻）中減去，余891刻；除以2，再加50刻，然后除以100，得到的4就表示距夏至的天數(shù)。天數(shù)以外的余數(shù)乘以12，再除以100，得到11（時辰）；時辰以外的余數(shù)除以12，化為刻數(shù)，得3刻；以辛丑日的子正為起算點，加4日11時3刻，得乙巳日亥正三刻，為所求的戊寅年的夏至（相當(dāng)于1278年6月14日，授時歷五月二十三日）。

（3）推求至元十五年戊寅歲（公元1278年）冬至

這年十一月十九日戊戌，影長7.83185丈，到閏十一月初九日戊午，影長7.83635丈；初十日己未，影長7.80825丈。用上述同樣方法算得這年十一月戊申日未初三刻為戊寅年的冬至（相當(dāng)于公元1278年12月14日，授時歷十一月二十九日）。

（4）推求至元十六年己卯歲（公元1279年）夏至

這年四月十九日乙未，影長1.23695丈；二十日丙申，影長1.22935丈；到五月十九日乙丑，影長1.2264丈。用上述同樣方法算得五月辛亥日寅正二刻為這年的夏至（相當(dāng)于公元1279年6月15日，授時歷五月五日）。

（5）推求至元十六年己卯歲（公元1279年）冬至

這年十月二十四日戊戌，影長7.674丈；十一月二十五日己巳，影長7.658丈；二十六日庚午，影長7.61425丈。由這些數(shù)據(jù)算得這年十一月初九日癸丑戌初二刻為冬至（相當(dāng)于公元1279年12月14日）。

以上述多年推測到的冬、夏二至的時刻為準，推定至元十八年辛巳歲（公元1281年）開始之前的那個冬至，應(yīng)當(dāng)是至元十七年十一月己未日（即十一月二十一日，相當(dāng)于公元1280年12月14日）夜半后六刻，即丑初一刻。

（二）歲余和歲差

周天度數(shù)和周歲日數(shù)，都是三百六十五。在整數(shù)以外，還有零頭。就大體而言，則為四分之一。從今年的冬至到下年的冬至，經(jīng)歷365天而太陽運行一周，這樣經(jīng)過四個周期，日數(shù)是1461天，四年中多了一天。平均算來，每年是三百六十五又四分之一天，一個“周天”是三百六十五又四分之一度。然而“周天”和“周歲”的零頭，常有不能統(tǒng)一的地方，就是“周天”的度數(shù)常常有余，而“周歲”的日數(shù)常常不足。其中相差極其微小，古代的研究者并沒有覺察出來。直到東漢末年，劉洪才發(fā)現(xiàn)歷法上算得的冬至落后于實際天象，即所謂“冬至后天”。他認為這是由于周歲日數(shù)（一年天數(shù)）的小數(shù)部分數(shù)值太大，于是就制定了《乾象歷》，把一年的365.25日改為365.2462日。到了東晉的虞喜、南朝的何承天、祖沖之，才知道以恒星為參照物的一年，跟以太陽為參照物的一年是兩碼事。二者每年都有一個差數(shù)，即所謂“歲差”，于是就創(chuàng)立了“歲差”的計算法。把一年天數(shù)的小數(shù)部分（歲余）予以減損，而適當(dāng)增加“天周”的度數(shù)?？傊恰皻q余”逐年減小，而“天周”逐年增大。大小相減，就得到“冬至點”每年退行的差數(shù)，還可表示為周天度數(shù)和周歲日數(shù)之差。歲余和天周，二者互為依存，歲差由此而立，“日躔”（太陽視運動）的計算由此而得；一旦損益失當(dāng)，推算的結(jié)果怎能與天象符合呢？

現(xiàn)在，我們從歷代史志中選取南朝劉宋大明壬寅（公元462年）以來，凡測量日影、驗算節(jié)氣得到冬至真實時刻的共有六次，取它們之間相距的累積天數(shù)及時刻，用相距的年數(shù)去除，就得到當(dāng)時所用的“歲余”。再取大明壬寅年（462）到至元戊寅年（公元1278年）的積日時刻，用相距的年數(shù)去除，就得到每年的天數(shù)為365日24分25秒（元制，以日為單位則為365.2425日），比金朝的《大明歷》減少了11秒，定為今天所用的歲余。余下的75秒（即0.0075日），讓它與365.25相加，得到365度25分75秒（即365.2575度），定為“天周”。小數(shù)部分大小相減，得到1分50秒，用它去除周天的度數(shù)，就知道每過66年太陽就西退1度；再用66年去除周天的度數(shù)，正好得到每年西退1分50秒，于是就把這個數(shù)值定為“歲差”。

再考察《書經(jīng)·堯典》中所載的“中星”（每個季節(jié)黃昏出現(xiàn)在子午線上的星），那時每年冬至，太陽位于女宿和虛宿的交界處。又考察過去歷史書上的記載，知道東漢元和二年（公元85年），冬至?xí)r太陽位于斗宿的21度；東晉太元九年（公元384年），太陽退到斗宿的17度；到劉宋元嘉十年（公元433年），太陽位于斗宿14度末；蕭梁大同十年（公元544年），太陽在斗宿12度；隋朝開皇十八年（公元598年），仍然在斗宿12度；但到唐朝開元十二年（公元724年），太陽就退到斗宿9.5度處；現(xiàn)在已退到箕宿10度處。取它們距今天的年數(shù)、以及距今天的度數(shù)來比較，多的經(jīng)過七十余年，少的不下五十年，太陽就退行1度。南宋慶元年間（公元1195—1200年），改用《統(tǒng)天歷》，取《大衍歷》歲差值82年1度及開元所距之差55年1度，折取其平均值，得到67年太陽退行1度的數(shù)據(jù)。這個數(shù)據(jù)沿用到今天，與實際天象對照，還是很精密的。

但是從古到今的歷法，符合今天的，必不能符合古代，符合古代的必不能適用于今天。現(xiàn)在的《授時歷》，用它來考古，就增加歲余而減少歲差；用它推算未來，就增加歲差而減少歲余；上推春秋以來的冬至，往往都能符合；下求將來某年的冬至，可以保證永久不發(fā)生弊端；不光是符合于當(dāng)代而已。將《大衍歷》、《授時歷》等六家歷法對春秋以來冬至的考察結(jié)果及精確程度共四十九例加以對比（對比的數(shù)據(jù)略去不譯），就可以知道《授時歷》符合實況的有三十九例。不符合的十個例子，乃是日度“失行”所造成，不是歷法有問題（按：所謂“日度失行”乃是掩蓋錯誤的遁詞，所謂“失行”的詳細理由這里略去不譯）。所以，跟前代各家歷法作比較，《授時歷》最為精密。就象孟子所說的：“千歲之日至可坐而致也?！?/p>

（三）古今歷法疏密的參校

如上所述，把現(xiàn)在的《授時歷》跟古代歷法相比較，它的精密程度不言自明。向上推，能符合幾百年之前，那么也就能適用于永久的將來，這是前人早就有了定論的。古人所稱道的擅長歷法的人，如南朝劉宋時的何承天，隋朝的劉焯，唐朝的傅仁均、以及僧一行等輩，最為杰出?，F(xiàn)在用他們歷法來推算至元庚辰年（1280年）冬至的“氣應(yīng)”，再跟實況相比較，沒有不出現(xiàn)錯誤的；但拿新編的《授時歷》逆推古代的冬至，每一例都符合實況?？梢娦職v的精度是完全可以信賴的。

宋文帝元嘉十九年壬午歲十一月乙巳日（十一月三日，公元442年12月20日）十一刻冬至，距本朝至元十七年庚辰歲（1280年），計838年。這年十一月，按“氣應(yīng)”推算，應(yīng)當(dāng)是己未日（二十一日，1280年12月14日）六刻冬至，若按《元嘉歷》推算，卻得到辛酉日（二十三），比《授時歷》遲了兩天。但是用《授時歷》去推考元嘉壬午歲（442年）的冬至，得到的結(jié)果正是乙巳日，與《元嘉歷》相同。

隋煬帝大業(yè)三年丁卯歲十一月庚午日（十一月二十五日，公元607年12月19日）五十二刻冬至，距至元十七年庚辰歲（1280年），計673年。用《皇極歷》推算至元十七年的冬至，得到十一月庚申日，比《授時歷》的結(jié)果遲了一天；但按《授時歷》去推考大業(yè)丁卯歲的冬至，結(jié)果是十一月庚午日，與《皇極歷》相符。

唐高祖武德元年戊寅歲十一月戊辰日（十一月二十七日，公元618年12月19日）六十四刻冬至，距至元十七年庚辰歲（1280），計662年。用《戊寅歷》推算，至元十七年十一月庚申日冬至，比《授時歷》遲了一天；但用《授時歷》上推武德戊寅年的冬至，得到十一月戊辰日冬至，與《戊寅歷》的結(jié)果相合。

唐玄宗開元十五年丁卯歲十一月己亥日（十一月初一，公元727年12月18日）七十二刻冬至，距至元十七年庚辰歲（1280），計553年。用《大衍歷》推算至元十七年的冬至，得到十一月己未日（二十一日），日期與《授時歷》結(jié)果相同，但比《授時歷》遲了81刻；而用《授時歷》上推開元丁卯歲的冬至，得到的正是己亥日，只比《大衍歷》提前4刻。

唐穆宗長慶元年辛丑歲十一月壬子日（十一月十九日，公元821年12月17日）七十六刻冬至，距至元十七年庚辰歲（1280），計459年。用《宣明歷》推算至元十七年的冬至，得到的日期是庚申，比《授時歷》遲了一天；但用《授時歷》上推長慶辛丑歲的冬至，得到的正是壬子日，與《宣明歷》的結(jié)果相符。

宋太宗太平興國五年庚辰歲十一月丙午日（十一月初七，公元980年12月16日）六十三刻冬至，距至元十七年庚辰歲（1280），計300年。用《乾元歷》推算至元十七年的冬至，比《授時歷》的結(jié)果遲一天；但用《授時歷》上推太平興國五年的冬至，得到丙午日冬至，結(jié)果與《乾元歷》相同。

宋真宗咸平三年庚子歲十一月辛卯日（十一月十八日，公元1000年12月16日）五十三刻冬至，距至元十七年庚辰歲（1280），計280年。用《儀天歷》推算至元十七年的冬至，得到庚申日，比《授時歷》遲一天；但用《授時歷》上推咸平庚子年的冬至，得到的正是辛卯日。與《儀天歷》相符。

宋徽宗崇寧四年乙酉歲十一月辛丑日（十一月初七，公元1105年12月15日）六十二刻冬至，距至元十七年庚辰歲（1280），計175年。用《紀元歷》推算至元十七年的冬至，得到的日期是己未，跟《授時歷》相同，只比《授時歷》遲19刻；而用《授時歷》上推崇寧乙酉歲的冬至，得到辛丑日冬至，與《紀元歷》結(jié)果基本相同，只比《紀元歷》提前兩刻。

金世宗大定十九年己亥歲十一月己巳日（十一月十五，公元1179年12月15日）六十四刻冬至，距至元十七年庚辰歲（1280），計101年。用《大明歷》推算至元十七年的冬至，得到的日期是己未，比《授時歷》遲19刻；用《授時歷》上推大定己亥歲的冬至，得到己巳日，與《大明歷》結(jié)果相符，但時刻提前9刻。

宋寧宗慶元四年戊午歲十一月己酉日（十一月十六，公元1198年12月15日）十七刻冬至，距至元十七年庚辰歲（1280），計82年。按《統(tǒng)天歷》推算至元十七年的冬至，結(jié)果是己未日，比《授時歷》提前1刻；而按《授時歷》上推慶元戊午年的冬至，得到的結(jié)果是己酉日，與《統(tǒng)天歷》相符。

（四）周天列宿度

列宿附著在天球上，共有二十八個，合稱二十八宿，又稱二十八舍。環(huán)繞天球一周計三百六十五度有奇。不考察太陽運行，就無從校正各宿所占的度數(shù)；不校準各宿“距星”（參考星）的正確位置，那么日月五星的坐標(biāo)也就難以量度。所謂的周天列宿度，就是憑考察太陽運行和校準各宿“距星”的位置而確定的。天球本來呈渾圓形，在距離南北兩極相等的正中，有一條大圓，那就是赤道（天赤道）。日月五星就運行于赤道兩側(cè)。有時在赤道以內(nèi)（赤道北），有時在赤道以外（赤道南）。天球朝左旋轉(zhuǎn)，日月五星向右旋轉(zhuǎn)（按：這是古人面向北天極看到的情況）。前人所謂“歷象日月星辰”指的就是這個現(xiàn)象。然而，二十八宿在赤道上的跨度，歷代所測都不相同。若非它自己微有移動，那一定是前人的觀測不夠精密（按：近代人們發(fā)現(xiàn)恒星有“自行”，古人意識不到這一點）。從前用“窺管”觀測，今天用新制的渾儀來測量?，F(xiàn)將所測的度數(shù)列舉于后（按：原文將漢、唐、宋各代的測量數(shù)據(jù)跟元代的新數(shù)據(jù)列表比較，這里省略，只列出元代的測量結(jié)果。元代規(guī)定1度等于100分，下表用現(xiàn)代阿拉伯?dāng)?shù)字及小數(shù)表示）

（五）日躔

太陽在天球上運行，形象最為顯著。早晨太陽一出來，各個星宿全部隱沒于日光之中。所以古人要測量太陽在星宿間的準確位置，必須從黃昏、黎明或子夜的“中星”著手，從橫的方向推考太陽距中星的度數(shù)，從縱的方向推考它的“去極度”（距天極的度數(shù)）。但問題是黃昏、黎明以及子夜的準確時刻難以測定。時刻一差，那么上述要測的兩個數(shù)據(jù)就不能不出差錯。東晉時代的姜岌首先創(chuàng)立了利用月食的機會測定月亮位置，然后間接確定太陽位置的方法。宋代的《紀元歷》進一步通過觀測并記錄金星位置，推算它距太陽的角度，然后在黃昏后及天明之前實測星度，也間接確定了太陽在列宿間的位置。今天我們利用至元十四年丁丑歲四月癸酉日（四月十四，公元1277年5月18日）發(fā)生的月全食，推得冬至那天太陽位于箕宿十度（以赤道坐標(biāo)計）處，按黃道坐標(biāo)計量，應(yīng)是箕宿九度多一點。我們繼續(xù)從丁丑年正月堅持工作到己卯年（1279年）的年終，在連續(xù)三年以內(nèi)，每天測量月亮在星宿間的位置，以及木星、金星的位置和它們之間的角距，用這些數(shù)據(jù)作為確定太陽位置的參考。除了天陰和其他事故外，共得到134個實例，證明冬至之日太陽的位置確實是在箕宿，正好符合前面利用月食測得的結(jié)果。但是，如果用金朝趙知微所修的《大明歷》去推算上述問題，那么冬至?xí)r太陽的位置還在斗宿的0.3664度，比我們新測得結(jié)果差了0.7664度。

（六）日行盈縮

太陽的運行，有冬、夏等季節(jié)的區(qū)別。這就是說，太陽運行的速度，在冬天和夏天各不相同。普通人只知道太陽每天在黃道上移動一度，一年運行一周，而不知道太陽運行有快有慢，有盈有縮(實際運行超過平均運行稱為“盈”，反之為“縮”)，在預(yù)報時應(yīng)在平均計算的基礎(chǔ)上隨時進行損益修正，而且各個季節(jié)都有不同的修正值。北齊時期的張子信通過對日月交食時刻的長期觀測，發(fā)現(xiàn)太陽運行有個“入氣差”，就是每當(dāng)交節(jié)時，實際的太陽位置跟歷書上預(yù)推的不一致。但他沒有得出正確的修正值。后來趙道嚴也通過測量晷影長短來確定太陽運行的快慢程度，重新設(shè)立盈縮值，對平均值加以修正，用它來準確預(yù)報日月食。到了隋朝，劉焯建立了名為“四序升降”的日行差，根據(jù)不同的季節(jié)對平均值進行損益，后世的歷法家都以他的方法為準則。

大凡陰陽交替，有個累積變化的過程。冬至前后，太陽每天運行1度有余，出于赤道以外（赤道南）24度弱。此后，太陽逐漸向北移動，經(jīng)過88.91天，在春分（平氣）前的三天與天赤道相交，實際運行了91.31度，而運行速度降為每天1度的平均值。此后，太陽運行繼續(xù)減慢，經(jīng)過93.71天，正逢夏至之日，進入赤道內(nèi)（赤道北）24度弱，實際行度共91.31度，而每天運行1度弱，運行速度最慢。此后，太陽逐漸向南移動，經(jīng)過93.71天，正當(dāng)秋分（平氣）后的第三天，再與赤道相交，實際運行91.31度，而運行速度又升為平均值，即每天1度。此后太陽運行繼續(xù)加快，經(jīng)過88.91天，出于赤道以外（赤道南）24度弱，實際行度為91.31度，又回到冬至，每天運行1度有余。照這樣周而復(fù)始，日行有盈有縮，對平均值有損有益，初為益，末為損。從冬至到春分，從春分到夏至，太陽從北方玄武轉(zhuǎn)到西方白虎，再從西方白虎轉(zhuǎn)到南方朱雀，都是日行在“盈‘的階段。在這個階段，計算時注意在盈為益，益極而損，損到積盈都盡而縮。從夏至到秋分，從秋分到冬至，太陽從南方朱雀轉(zhuǎn)到東方蒼龍，再從東方蒼龍轉(zhuǎn)到北方玄武，都是日行在“縮”的階段。在這個階段，計算時注意在縮為益，益極而損，損到積縮都盡而復(fù)盈。在盈初和縮末階段，都是用88.91天而運行一個象限（當(dāng)時一個象限為91.31度，即周天365.2422度的四分之一），在縮出和盈末段，則是93.71天運行一個象限。盈或縮的最大差數(shù)都是2.40度；這是從實測晷影得來的數(shù)據(jù)，拿數(shù)學(xué)方法去推考，結(jié)果和實測是一樣的。

（七）月行遲疾

古代歷法都說月亮每天平均運行的度數(shù)為十三又十九分之七度（13.368度）。西漢耿壽昌認為太陽月亮運行到牽牛和東井，太陽每天行速超過1度，月亮每天行15度；行到婁宿和角宿，又開始平均運動。這是他在赤道上量度的數(shù)據(jù)，于是他認為是赤道使它這樣的。東漢的賈逵也說合朔、上下弦、望、月食時刻之所以預(yù)報不準是因為不知道月亮運行有遲有疾的緣故。李梵和蘇統(tǒng)則以為月亮運行本來就有遲疾，不一定在牽牛、東井、婁宿和角宿之間就發(fā)生遲疾現(xiàn)象，而是由于它在軌道上有遠有近才造成運行的不均勻。漢末劉洪作《乾象歷》，精心思考二十多年，發(fā)現(xiàn)了月行快慢的規(guī)律，把一個周期內(nèi)的實際運行和平均運行加以比較，制定遲疾歷表，列出差率，來規(guī)范加減損益的數(shù)據(jù)。后來制定歷法的人，都以劉洪的辦法為圭臬。到了唐代的一行，更加詳細地研究了月亮在軌道上運行的規(guī)律，把握了月行遲疾的原理。

先儒認為月亮與五星，都是接近太陽就行得快，遠離太陽就行得慢。歷法家總結(jié)算法，把月行遲疾的周期稱為“轉(zhuǎn)周”，又將一個“轉(zhuǎn)周”分為“遲”和“疾”兩個段落，叫做“遲歷”和“疾歷”。每個段落分初限和末限，初為益，末為損。在“疾初”和“遲末”兩段，月亮實際行度多于平均行度；在“遲初”和“疾末”兩段，月亮實際行度少于平均行度。在進入“轉(zhuǎn)周”的開始，月亮每天行度有十四度半強，此后逐漸減少，經(jīng)過七天，減少到跟平均運行的度數(shù)一樣（每天13.368度），這一段稱之為“疾初限”。月亮運行的累積度數(shù)比平均計算的積度多出五度四十二分。此后月行繼續(xù)減慢，再過七日，減少到每天行度為十二度稍強些，以前所多出的積度盡損而無余，這叫“疾末限”。此后月亮進入“遲歷”，運行速度逐漸增加，又經(jīng)過七天，增到和平均速度一樣（13.368度），這一段就叫“遲初限”，月行累積度數(shù)比平均計算的積度少了五度四十二分。此后月行繼續(xù)加快，實行與平行的積差日益減少，又過七日，月亮每天行度為十四度半強，此前所虧少的，都補足而不少，這一段就叫“遲末限”。總之月亮“入轉(zhuǎn)”一周，經(jīng)歷的天數(shù)為二十七日五十五刻四十六分（現(xiàn)代叫“近點月”，合27.5546日），它實際運行的累積度數(shù)和平均運行積度之差最大值是五度四十二分。舊的歷法每日設(shè)置一限，計有二十八限；現(xiàn)在通過進一步實測得知，轉(zhuǎn)分進退隨時不同，因而每日分為十二限，一個轉(zhuǎn)周共有三百三十六限。把它折半，得到半周限；把它分為四部分，每一部分叫“象限”。

（八）白道交周

在與南北兩個天極等距離的正中，橫繞著天球，并且用來計量各宿跨度的，就是天赤道。而出入赤道南北，作為太陽運行軌道的，就叫做“黃道”。至于所謂“白道”，乃是跟黃道相交的月行軌道。古人隨著方位起名，給月行軌道起了八個名稱，加上黃道，合稱“月行九道”。但歸根結(jié)底，實際只有一個“白道”。只是因為它隨著“黃白交點”的移動而不斷地改變位置，于是就主觀地用方位和色彩給各個位置的白道加上不同的名稱。

既然白道出入于黃道兩側(cè)，那么必然有兩個交點。如果“朔”時的太陽正在交點或交點附近，那么太陽必然被月亮所掩而發(fā)生日食；如果“望”時的月亮正在交點或交點附近，那么月亮必然與太陽相沖而發(fā)生月食。然而日月離交點有遠有近，所以交食的“食分”有淺有深，這些都可以按原理推算出來。本文所討論的“白道交周”，就是指白道出入黃道一個周期的日數(shù)。黃道距赤道最大有24度（即今天所說的“黃赤交角”，按元代的度制為24度），而白道出入黃道最大不超6度；它離赤道德角距，最遠不過30度，最近不下18度。白道出于黃道以外（即黃道以南），稱為“陽歷”；入于黃道以內(nèi)（即黃道以北），稱為“陰歷”。陰陽一周，分為四象。月亮向南靠近黃道，正值黃道上的那一點，叫做“正交”，出黃道外六度叫做“半交”；再向北靠近黃道，正值黃道的那一點叫做“中交”，入黃道內(nèi)六度又稱“半交”；這就是“四象”。月行一象，大約用七天。每象行91度，運行四象所用的時間，就是一個“交周”（今天叫做“交點月”）。按“日”計算，這個周期是27日21刻22分24秒（27.212224日）。黃白二道的交點沿著黃道不斷地向西退行，每過一個“交周”，交點退行一又二百分之九十三度（合今1.441度），經(jīng)歷249個交周，退行天球一周弱，就這樣周而復(fù)始地循環(huán)不息。如果“正交”正值春分點，那么“半交”就處于黃道外六度，相當(dāng)于赤道內(nèi)十八度。如果“正交”正值秋分點，那么“半交”仍在黃道外六度，相當(dāng)于赤道外三十度。如果“中交”在春分點，那么“半交”就在黃道內(nèi)六度，相當(dāng)于赤道內(nèi)三十度。如果“中交”在秋分點，那么“半交”仍在黃道內(nèi)六度，相當(dāng)于赤道外十八度。

（九）晝夜刻

日出以后為晝，日沒以后為夜。晝夜一周，共分為一百刻。把這一百刻分為十二辰，每辰為八又三分之一刻。無論南北，各地都是一樣的。晝短夜長，晝長夜短，這是自然界一定的道理。在春分和秋分，太陽出沒時位于天赤道，所以晝夜相等，各為五十刻。從春分到夏至，太陽在天赤道以北，距北天極的度數(shù)逐漸變小，所以夜短而晝長。從秋分到冬至，太陽在天赤道以南，日益遠離北天極，所以晝短而夜長。在“地中”（在河南陽城或岳臺）去測量晝夜的長度，最長不過六十刻，最短不過四十刻?！暗刂小币阅?，夏至?xí)r離開太陽出沒位置的距離遠，其晝長有不到六十刻的；冬至?xí)r離開太陽出沒位置的距離近，其晝短有大于四十刻的?！暗刂小币员?，夏至?xí)r離開太陽出沒位置的距離近，其晝長有大于六十刻的；冬至?xí)r離開太陽出沒位置的距離遠，其晝短有不到四十刻的?，F(xiàn)在京師（元朝的大都，今北京）冬至那天辰初二刻日出，申正二刻日沒，因而晝長三十八刻，夜長六十二刻；夏至那天，寅正二刻日出，戌初二刻日沒，因而晝長六十二刻，夜長三十八刻。這是因為大地有南北，看到的天極也有高低之不同，所以太陽出沒的時刻也有早晚的差別?，F(xiàn)今《授時歷》晝夜時刻的劃分，一律以京師為標(biāo)準，至于各個地方所實測的北天極的高度，都紀載在《天文志》中。

（十）日月交食

一部歷法，是粗略還是精密，完全可以拿它預(yù)報的日食和月食去驗證。但是推算方法達到精密卻是一件難事。這是因為發(fā)生交食的時刻有早有晚，交食的食分有多有少，要使預(yù)報與實況密合，不是偶然就能辦到的。要推算交食時刻，必須考慮到日月運行的遲速緩急；要推算食分的多少，必須考慮到日月離黃白交點的遠近（食限）；如果太陽“入氣”的盈縮、月亮“入轉(zhuǎn)”的遲疾程度算得不準，那么日月合朔的預(yù)報就必然發(fā)生失誤。不是失之于早，就是失之于遲。合朔的時刻算錯了，那么日食的時刻還能報正確嗎？日月在星空背景上都是從西向東運行，太陽走得慢，月亮走得快，月亮從本次合朔之后再次追上太陽，這就叫一個“會合周期”（今稱“朔望月”）。交食發(fā)生時月亮的位置，有時在“陽歷”（黃道以南），有時在“陰歷”（黃道以北）；交食的時間，有時在中午之前，有時在中午之后；再加上方位有東西南北的不同，各地的觀測者看到的實況有高下斜直的差異，這樣，所見食分的多少當(dāng)然就不能一致?，F(xiàn)在的《授時歷》，既然能算準合朔時刻，那么預(yù)報的交食時刻就不會有早晚之差，算準了食限，那么食分的強弱就不會發(fā)生失誤。由此上推古代的日月交食，包括從《詩經(jīng)》、《書經(jīng)》、《春秋》以及三國以來歷史上所載的日食和月食，沒有不符合的。既然《授時歷》所算的這些結(jié)果符合以往的歷史記載，那么它頒布之后必然能施行于永久，而不出現(xiàn)弊病，應(yīng)該是沒有疑義的。

（1）《詩經(jīng)》、《書經(jīng)》所載的兩次日食

《書經(jīng)·胤征》篇：“惟仲康肇位四海。乃季秋月朔，辰弗集于房?！?/p>

今按：《大衍歷》的計算結(jié)果是，仲康即位的第五年，即癸巳年，距至元辛巳年有3408年，那年的九月庚戌朔（相當(dāng)于公元前2128年10月13日），合朔時離入交之日26.5421日進入食限。

《詩經(jīng)·小雅·十月之交》，這是當(dāng)時大夫諷刺周幽王的詩。詩中說：“十月之交，朔日辛卯，日有食之，亦孔之丑?！?/p>

今按：梁朝的太史令虞鄺認為，十月辛卯朔，在周幽王六年乙丑朔?！洞笱軞v》也認為是這樣。拿《授時歷》來推算，這年確實是十月辛卯朔（相當(dāng)于公元前776年9月6日），合朔時離入交之日14.5709日進入食限。

（2）《春秋》所載的三十七次日食

隱公三年辛酉歲，春王二月己巳。日有食之。

西晉杜預(yù)說：“這次日食，經(jīng)書中只記干支，不寫朔字，是史官的失誤?！倍豆騻鳌穮s說：“只記日期不記朔字，是因為日食發(fā)生在月底的晦日?！焙笄氐慕г谛Ｕ洞呵铩啡帐秤涗洉r說：“這年二月己亥是朔日，二月沒有己巳。好像是丟失了一個閏月。三月己巳是朔日，日月離開交點的距離恰恰在食限之內(nèi)?！薄洞笱軞v》的推算結(jié)果與姜岌相同?，F(xiàn)在拿《授時歷》推算，這年的三月己巳是朔日（相當(dāng)于公元前720年2月22日），合朔時刻在白晝，離入交之日26.6631日進入食限。（為避免繁瑣，下面的三十六次日食的驗證情況以表格列出，儒略歷的日期為譯者所加）。

以上所舉的《詩經(jīng)》、《書經(jīng)》所載的日食兩例，以及《春秋》242年間的三十七次日食記錄，用《授時歷》來推算它，唯有魯襄公二十一年十月庚辰朔（公元前552年9月19日）和二十四年八月癸巳朔（公元前549年7月18日）的兩次記錄不入食限。自從有歷法以來，根本沒有在同一地帶連續(xù)兩次朔日都能看到日食的道理。其余的三十五次日食，都發(fā)生在朔日?！洞呵铩吩谟涗浫帐硶r，有時不寫日期，有時雖寫日期但不寫明朔日，《公羊傳》和《谷梁傳》認為日食發(fā)生在月底的晦日，所以才如此。這兩家的說法都是錯誤的；《左傳》的作者認為是史官在記載時發(fā)生的失誤，這種解釋是對的。其中有的記錄有一天到兩天的誤差，這是由于古代歷法粗略，設(shè)置閏月不規(guī)則造成的弊端。后秦的姜岌和唐代的一行對此已有定論?？鬃幼鳌洞呵铩罚皇前串?dāng)時歷法所定的日期記載大事，日食的日期跟春秋大義無關(guān)，所以就不必記得那么詳盡了。

（3）三國以來的日食

前代人考察古時的日食記錄，推算結(jié)果與記錄時刻在同一刻以內(nèi)者為密合；二者相差一刻者為“親”；相差二刻為“次親”；相差三刻為“疏”；相差四刻為“疏遠”。現(xiàn)在用《授時歷》來驗證古代的日食，上自后漢章武元年（公元221年）下至本朝，摘出記錄三十五條。驗證結(jié)果與記錄密合的，占七條；與記錄“親”的占十七條；“次親”的占十條；“疏”的只有一條。這比先前用的《大明歷》要準確得多了。用《大明歷》來驗證，則密合者只有兩例，“親”者十六例，“次親”者八例，“疏”者三例，“疏遠”者六例。而《授時歷》沒有一例是“疏遠”的（《歷議》原文還列出前代月食的四十五條記錄并給出驗證結(jié)果，這里略去不譯，未完待續(xù)）。