口號(hào)“引力就是熵力”的確很吸引人,我看了Verlinde的文章后就知道在一段時(shí)間內(nèi),會(huì)有不少人談?wù)?,也?huì)有不少人跟上。
(先評(píng)論一下Motl在他的博客上用中子干涉實(shí)驗(yàn)否定Verlinde假設(shè)的“論證”。這個(gè)論證假定測(cè)量中子干涉的兩個(gè)狹縫相距一米,所以根據(jù)離全息屏的遠(yuǎn)近,中子通過(guò)不同狹縫時(shí)對(duì)應(yīng)的微觀態(tài)數(shù)相差巨大,這樣干涉不可能發(fā)生。Motl不做研究幾年思維退化得不是一點(diǎn)半點(diǎn)。這個(gè)論證出了兩個(gè)錯(cuò)。第一個(gè)錯(cuò)是微觀態(tài)數(shù)是全息屏上的微觀態(tài)數(shù),不是在全息屏之外的中子狀態(tài)數(shù)。第二,即使一個(gè)系統(tǒng)的宏觀態(tài)可以對(duì)應(yīng)于很多微觀態(tài)(如炙熱的煤球),但系統(tǒng)在固定時(shí)刻總是處于一個(gè)固定的微觀態(tài)中,因?yàn)槲覀兺祽胁庞么至;霓k法不去追求微觀態(tài)。在Verlinde的圖像中,中子只不過(guò)類似聲子,當(dāng)然可以處于一個(gè)固定的微觀態(tài)中。下面回到正文)
Verlinde沒(méi)有給出細(xì)節(jié),只給出一些關(guān)鍵的想法,這樣,很多人就可以自由發(fā)揮了。已經(jīng)出現(xiàn)的文章有不少是自由發(fā)揮的,這當(dāng)然也包括我和王一的文章:
Quantum UV/IR Relations and Holographic Dark Energy from Entropic Force
我本來(lái)打算在Verlinde的框架下討論全息暗能量的,因?yàn)槲椰F(xiàn)在對(duì)這個(gè)模型信心大增(主要是在計(jì)算了Casimir energy之后)。王一來(lái)信,談到一些想法,我們就自然合作了。
我本來(lái)不打算很快寫(xiě)文章的,因?yàn)槲抑牢恼聦?xiě)得越慢越有內(nèi)容(Verlinde本人的文章就寫(xiě)了半年),而且,過(guò)去也出現(xiàn)過(guò)跟風(fēng)的情況,我也批評(píng)過(guò)。這次例外,因?yàn)槲腋杏X(jué)找到了全息暗能量在Verlinde框架下的線索。
何況,我們還推導(dǎo)了Cohen等人的UV/IR關(guān)心,Hogan的測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系。
Cohen等人的UV/IR關(guān)系表述很簡(jiǎn)單。在有引力的情形下,紅外截?cái)嘞拗屏俗贤饨財(cái)?,兩者的關(guān)系是
這個(gè)關(guān)系,在Verlinde的框架下很容易理解??紤]兩個(gè)全息屏,一個(gè)半徑為
,另一個(gè)半徑為,根據(jù)Verlinde的公式其中S是系統(tǒng)的熵,N是全息屏上用來(lái)描述系統(tǒng)的bits數(shù),
推得
現(xiàn)在,假定在i屏上的紫外截?cái)嗍?div id="fbwnfa5u" class='imgcenter'>
所以
為了量綱正確起見(jiàn),我們引進(jìn)了
,這也是系統(tǒng)中唯一與宏觀尺度無(wú)關(guān)的量(原則也許存在第二個(gè)微觀尺度,所以這個(gè)推導(dǎo)不能決定UV/IR關(guān)系中的系數(shù))。為了“推導(dǎo)”全息暗能量,我們必須引入全息屏之外的第二個(gè)屏。原因很簡(jiǎn)單,暗能量對(duì)應(yīng)的Tolman-Komar能量總是負(fù)的,如果只有全息屏,我們必須引入負(fù)溫度!那么,第二個(gè)屏是什么?最自然的就是事件視界了。
另外,一直以來(lái)我比較傾向Banks的說(shuō)法,事件視界應(yīng)該是一個(gè)宇宙學(xué)的前提,因?yàn)樗鼪Q定了系統(tǒng)的大?。ㄗ杂啥葌€(gè)數(shù))。在Verlinde的框架內(nèi),事件視界是全息屏的上限。如果我們想將空間看成宏觀導(dǎo)出概念,那么我們最初是從和事件視界一樣大小的全息屏開(kāi)始的。
我們的文章是昨天出現(xiàn)的,今天又出現(xiàn)了三篇中國(guó)人寫(xiě)的文章,我就不介紹了。反正,這次中國(guó)人又跟在了前面,是好是壞,只有時(shí)間能判斷。
因?yàn)槲易约航槿肓耍揖筒慌ㄜ囆?yīng)了。但是我重復(fù)12日在理論所報(bào)告時(shí)說(shuō)的話,起初,一些文章可能有60%是錯(cuò)誤的。
昨天看到Verlinde自己給的一個(gè)荷蘭語(yǔ)的一個(gè)關(guān)于Erik Verlinde工作的簡(jiǎn)短視頻
今天網(wǎng)上出現(xiàn)了WMAP七年結(jié)果的系列文章,并沒(méi)有什么令人興奮的結(jié)果。我們通常關(guān)心的是這兩篇文章:
Seven-Year Wilkinson Microwave Anisotropy Probe (WMAP) Observations: Cosmological Interpretation
另外,李惕碚老師和劉浩也有一篇值得關(guān)注的文章
Inconsistency between WMAP data and released map
總的說(shuō)來(lái),研究引力和宇宙學(xué)的同學(xué)們又可以忙乎起來(lái)了。
http://xyzhongzhi.blogbus.com/logs/60463186.html
其實(shí)說(shuō)費(fèi)解倒也未必,因?yàn)槲覀儗?duì)引力并非一無(wú)所知。實(shí)際上,我們有廣義相對(duì)論。這個(gè)描寫(xiě)引力的理論從理論結(jié)構(gòu)到實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證無(wú)疑都很成功,近乎完美。
既然如此,我們?nèi)匀徽J(rèn)為引力難于理解,就必然另有原因。我以為這個(gè)原因來(lái)自引力獨(dú)特的個(gè)性。與其它三種相互作用相比,引力顯得非常與眾不同。如果你下意識(shí)地認(rèn)為四種相互作用應(yīng)當(dāng)在某種程度上被統(tǒng)一(亦即可由單一的理論來(lái)解釋),那么這種與眾不同就顯然難以理解了。
引力最突出的特征在于,它作用于所有的物質(zhì)。如果觀察其余三種相互作用,我們就會(huì)發(fā)現(xiàn),每一種相互作用都只對(duì)帶有相應(yīng)“荷”的一類物質(zhì)起作用。比如,只有帶電荷的物質(zhì)間才會(huì)有電磁作用。而引力則不同,它與所有具有能量的物質(zhì)發(fā)生作用。所以或許可以等效地說(shuō),能量就是引力的荷。
既然如此,也許引力與其余三種相互作用確有不同的起源。廣義相對(duì)論將它的起源歸結(jié)于時(shí)空的幾何。這個(gè)觀察來(lái)自等效原理,簡(jiǎn)言之即慣性質(zhì)量和引力質(zhì)量相等。如果確實(shí)如此,那么只需要牛頓定律,你就會(huì)發(fā)現(xiàn),在引力作用下的質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程與它的質(zhì)量無(wú)關(guān),或者說(shuō)與物理的動(dòng)力學(xué)無(wú)關(guān),從而變成了一個(gè)純幾何的方程。等效原理在這里所起的作用十分關(guān)鍵,所以它的正確性自然就很重要。這就是為什么自伽利略扔鐵球以后的幾百年里,人們還在不斷地重復(fù)類似的實(shí)驗(yàn)而只是為了提高精度。的確,等效原理在目前已被驗(yàn)證到了極高的精度,大致在十個(gè)量級(jí)以上。
不過(guò)可惜的是,這些驗(yàn)證都是宏觀的實(shí)驗(yàn)。因?yàn)橐?shí)在太微弱,所以在微觀領(lǐng)域極難被觀察到。事實(shí)上,目前還沒(méi)有實(shí)驗(yàn)?zāi)茉诤撩壮叨纫韵掠^察引力的效應(yīng)。相對(duì)于高能物理中的其他相互作用而言,這個(gè)尺度顯然是非常大的。說(shuō)得嚴(yán)重一些,我們根本沒(méi)有在毫米以下的尺度觀察到引力,所以沒(méi)有任何直接證據(jù)表明等效原理以及廣義相對(duì)論在這個(gè)尺度下仍然成立。
這為理論家讓出了空間。既然引力的微觀規(guī)律完全未知,那么不妨假設(shè)它是衍生的(emerge)。也就是,在微觀領(lǐng)域并不存在什么萬(wàn)有引力——它只是另一種微觀物理在宏觀條件下所顯示的現(xiàn)象。正如壓強(qiáng):你無(wú)法談?wù)撘活w氣體分子的壓強(qiáng)是多少,因?yàn)閴簭?qiáng)是大量氣體顆粒的集體行為。
物理學(xué)家在“衍生”的引力方面做出了各種嘗試?;臃?,一年一度。如果說(shuō)去年的熱點(diǎn)是Horova在一月份提出的“相變”引力(見(jiàn)此前的一篇日志【切除時(shí)間】),則今年的熱點(diǎn)就是Verlinde同樣在一月份提出的“熵力”。
簡(jiǎn)單地聲稱引力是衍生現(xiàn)象自然是沒(méi)有根據(jù)的——我們得有一個(gè)可作為指導(dǎo)性的原則,或假設(shè),方可作此斷言。這就如同聲稱引力是幾何效應(yīng)需要以等效原理為前提。
Einstein的相對(duì)論基于等效原理,而Verlinde提出的“熵力”則基于全息原理。
與等效原理不同的是,全息原理到目前為止不僅沒(méi)有實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證,甚至在理論上也是不完全的。人們并不清楚如何一般而精確地表述它。大體上,這個(gè)原理是說(shuō),一團(tuán)空間內(nèi)的物理可以由其邊界上的過(guò)程所描述。
關(guān)于全息原理,物理學(xué)家的靈感來(lái)源于黑洞。根據(jù)Bekenstein的著名結(jié)果,黑洞有熵,且其大小正比于黑洞視界的面積。如所周知,熵這個(gè)物理量記錄了物質(zhì)所含狀態(tài)數(shù)(或者信息量)的多少。黑洞具有非零的熵,意味著它具有大量的微觀狀態(tài)數(shù)。此熵又正比于視界的面積,這個(gè)事實(shí)暗示我們,黑洞的微觀狀態(tài)都被記錄在了它的邊界上。
由此我們可以推斷出另一個(gè)有趣的事實(shí),即一團(tuán)空間內(nèi)所能包含的最大熵,或者說(shuō),這團(tuán)空間所能記錄的信息量,存在上限。對(duì)于一團(tuán)球形的空間,這個(gè)上限恰好是以其邊界為視界的黑洞的熵。(這個(gè)推導(dǎo)很簡(jiǎn)單,請(qǐng)見(jiàn)此前的一篇日志【不確定性原理的毀滅?】。)瞧,空間所含的信息量由其邊界所控制,可見(jiàn)全息的概念不止出現(xiàn)在黑洞中。
一定體積的空間所包含的信息量有限,這與量子場(chǎng)論直接矛盾。因?yàn)橥ǔ5膱?chǎng)論是一個(gè)定域的理論,它假設(shè)時(shí)空是連續(xù)的,從而可以談?wù)?#8220;點(diǎn)”的概念。在場(chǎng)論中,原則上可以將物理對(duì)象局限于任意小的區(qū)域內(nèi),從而一團(tuán)空間所能承載的信息量原則上可以任意大。
這里之所以出現(xiàn)了矛盾,乃是由于連續(xù)時(shí)空的假設(shè)是一種近似。場(chǎng)論通常所涉及的尺度比時(shí)空漲落的尺度大了許多,因此對(duì)這種漲落并不敏感。這很好理解:比如,我們通??梢哉J(rèn)為固體中的聲波是連續(xù)的彈性波,這是因?yàn)榇藭r(shí)的聲波波長(zhǎng)遠(yuǎn)大于晶格的大小。但是如果振動(dòng)模式的波長(zhǎng)與晶格的尺度相當(dāng),則連續(xù)波的近似就不再成立。在固體物理中,計(jì)算固體比熱的Debye方法就用到了連續(xù)波近似,結(jié)果遇到發(fā)散。發(fā)散的原因是此近似在高頻區(qū)(短波長(zhǎng))不再成立,所以需要截去高頻區(qū)的貢獻(xiàn),以得到一個(gè)有限的結(jié)果。與之完全相同,量子場(chǎng)論中屢屢出現(xiàn)的發(fā)散,也可以被解釋成高能區(qū)(小尺度)下場(chǎng)論的連續(xù)時(shí)空假設(shè)完全失效的結(jié)果。
全息原理與量子場(chǎng)論的矛盾,顯示出引力更為獨(dú)特的個(gè)性。它暗示我們,可能某些大尺度下的引力效應(yīng),也根本無(wú)法用場(chǎng)論描述。此時(shí)需要另一套與場(chǎng)論完全不同的方案,比如弦論?;蛘呤荲erlinde提出的熵力。Verlinde指出,若從全息原理出發(fā),將引力視作一種熵增效應(yīng),則在某些一般的假設(shè)下,可以推導(dǎo)出牛頓第二定律以及萬(wàn)有引力定律。而實(shí)際的推導(dǎo)只需要初中數(shù)學(xué)就夠了。關(guān)于其中細(xì)節(jié),容我下回再敘。
Verlinde的主旨,是希望將全息原理作為更基本的假設(shè),并由它推導(dǎo)出我們已知的引力理論,如牛頓力學(xué)或廣義相對(duì)論。為了解釋這個(gè)想法,Verlinde反復(fù)引用了彈性理論的例子:一百多年前的人們并不知道什么是原子、什么是晶格,但這并不妨礙他們建立關(guān)于固體彈性的宏觀理論。只是當(dāng)人們認(rèn)識(shí)到了原子之后,才可以重新用原子理論的一套方法重新推導(dǎo)出已有的彈性理論。Verlinde認(rèn)為,牛頓力學(xué)或者廣義相對(duì)論恰好相當(dāng)于宏觀的彈性理論,而全息原理就扮演原子理論的角色。
這自然是恰當(dāng)?shù)念惐?。然而引力與彈性理論的不同在于,我們今天還處在“前Planck物理”時(shí)代,因此并無(wú)完整的全息原理可供使用。所以要找到一個(gè)合適的全息假設(shè),我們只能從現(xiàn)有的理論入手,管窺蠡測(cè)地去尋找全息原理的蛛絲馬跡。這雖然困難,卻并非不可能。因?yàn)?,雖然微觀理論深藏于極其微小的Planck尺度,但是那里發(fā)生的一些秘密會(huì)泄漏到我們可見(jiàn)的世界中,這就是黑洞熵。
在經(jīng)典情形,黑洞只有極少的自由度,即質(zhì)量、角動(dòng)量和內(nèi)部對(duì)稱性的荷(例如電荷)。這就是所謂的無(wú)毛定理(No-hair theorem)。然而當(dāng)考慮量子效應(yīng)后,黑洞就有非零的熵,且正比于其表面積。這一點(diǎn)最初似乎由Bekenstein提出。事實(shí)上,如果黑洞熵正比于其表面積,則當(dāng)我們向黑洞中投入一顆質(zhì)點(diǎn)后,黑洞的熵和表面積都會(huì)增加。可是人們當(dāng)時(shí)已經(jīng)知道,當(dāng)質(zhì)點(diǎn)以恰當(dāng)?shù)姆绞奖煌度隟err黑洞時(shí),黑洞的質(zhì)量與表面積并不增加。
Bekenstein注意到[1],這個(gè)結(jié)論基于“質(zhì)點(diǎn)”的假設(shè)。當(dāng)我們考慮了量子力學(xué)后,任何粒子,即使是基本粒子,都有一個(gè)尺度,它或者是粒子的Compton波長(zhǎng),或者是Schwarzschild半徑。當(dāng)這樣一個(gè)半徑不為零的“球狀物”被投入黑洞時(shí),黑洞的半徑確有不為零的增長(zhǎng)。Bekenstein將之視為黑洞熵的增長(zhǎng)。
黑洞有熵,意味著它包含著巨大的微觀自由度。不僅如此,黑洞還有溫度,還有熱輻射。這就是著名的Hawking輻射。當(dāng)然,這也是與經(jīng)典理論直接相悖的結(jié)論:根據(jù)經(jīng)典廣義相對(duì)論,黑洞不僅無(wú)毛,而且一毛不拔。
為了理解這個(gè)結(jié)果,Unruh給出了一個(gè)有趣的解釋[2],現(xiàn)在人們稱之為Unruh效應(yīng)。它說(shuō),在慣性系中的觀察者看來(lái)空無(wú)一物的真空,在加速的非慣性系觀察者看來(lái),卻是一個(gè)有溫度的“熱浴”,這個(gè)加速觀者將看到無(wú)數(shù)的作熱運(yùn)動(dòng)的粒子。簡(jiǎn)單地講:你只要在真空中兜圈子,周圍就會(huì)變熱。你跑得越快,溫度就越高。
這個(gè)有悖直覺(jué)的結(jié)論其實(shí)并不太出乎意料。關(guān)鍵在于,加速觀者與慣性觀者所用的鐘表不同:它們之間并不是簡(jiǎn)單的Lorentz變換,而是一個(gè)非平凡的廣義坐標(biāo)變換。另一方面,我們知道,量子場(chǎng)論中的真空實(shí)際上是指萬(wàn)物的基態(tài):并非一無(wú)所有,而只是悄無(wú)聲息而已。一旦當(dāng)你進(jìn)入到一個(gè)加速的參考系中,由于你所攜帶鐘表變了節(jié)拍,原來(lái)悄無(wú)聲息的基態(tài)就變得喧鬧起來(lái)。這就是熱背景的由來(lái)。
Unruh效應(yīng)雖然是對(duì)平直空間而言,但與Hawking輻射其實(shí)是一件事情。你只需注意到,自由降落的參考系與慣性系無(wú)異:無(wú)論在下墜的電梯還是漂浮在太空中的飛行器,你在其中感受到的物理是一樣的,盡管心情可能完全不同。所以,一個(gè)自由降落進(jìn)黑洞的觀測(cè)者就相當(dāng)于慣性觀察者,他不知道什么是黑洞,當(dāng)他穿過(guò)黑洞邊界時(shí)不會(huì)出現(xiàn)任何異常。自然,他也看不見(jiàn)黑洞輻射。然而在它看來(lái),遠(yuǎn)處的觀察者相對(duì)于它在作加速運(yùn)動(dòng)。而根據(jù)Unruh效用,相對(duì)于慣性系作加速運(yùn)動(dòng)的觀察者必看到熱輻射:這就是Hawking輻射。
好了,以上就是全部的準(zhǔn)備工作。接下來(lái)我們展示Verlinde的推導(dǎo)。[3]
Verlinde說(shuō)引力是熵力,即熵增原理的宏觀效果。比如滲透現(xiàn)象就是一種熵力。在給定的溫度T下,根據(jù)能量守能,熵力F可由熵變ΔS確定為:
因此只要知道了溫度T和熵變ΔS對(duì)位移Δx的依賴,即可求出熵力。
不要忘記全息原理:它說(shuō),信息儲(chǔ)存在界面上。首先考慮局域的情形,我們?nèi)∫恍K屏:
大致上我們可以將此屏視為空間的邊界。這塊屏的左邊是什么我們不清楚,而它的右邊則是我們已知的空間?,F(xiàn)在,在其右端距離一個(gè)Compton波長(zhǎng)左右的位置Δx放置一顆質(zhì)量為m的粒子,全息原理假定,由此粒子貢獻(xiàn)于屏上的熵ΔS為:
這就是熵變對(duì)位移的關(guān)系。至于溫度,我們有Unruh效應(yīng):對(duì)于一個(gè)加速度為a的觀察者,“真空”的溫度由下式給出:
由以上三式,消去熵變ΔS和溫度T,瞧瞧我們得到了什么:
以上是一個(gè)局域的推導(dǎo)。接下來(lái)我們?nèi)∫粔K完整的屏,一張包圍了質(zhì)量M的球面。
根據(jù)全息原理,假定該球面所包圍的微觀自由度N正比于其表面積A。由量綱的考慮補(bǔ)充進(jìn)適當(dāng)?shù)某?shù),就是:
再假設(shè)此球體內(nèi)的能量均分于各微觀自由度,即Boltzmann能量均分:
而該能量E由球面所包含的質(zhì)量給出:
另外,球的表面積A為:
則由以上四式,再加上熵力的定義(1)與全息假設(shè)(2),不難得到:
OK,我們暫停此處,不多解釋。
給出參考文獻(xiàn),供希望知道細(xì)節(jié)的同學(xué)查閱:
[1] J. D. Bekenstein, Phys. Rev. D 7, 2333 (1973)
[2] W. G. Unruh, Phys. Rev. D 14, 870 (1976)
[3] E. Verlinde, arXiv: 1001.0785 (2010)
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