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熵力
 

熵力


定義
 

Erik Verlinde的定義:
  小質(zhì)量物體朝著大質(zhì)量物體運(yùn)動(dòng)的傾向與熱力學(xué)運(yùn)動(dòng)非常類似。這種效應(yīng)可以看作是有一股凈力將兩個(gè)質(zhì)量體拉到一起。物理學(xué)家把這種力量叫做熵力。
  李淼的解說(shuō):
  我們先看一下一個(gè)氣體,氣體由分子或原子組成。每個(gè)分子本身并不帶有壓強(qiáng),但是,對(duì)于包含這個(gè)氣體的墻壁來(lái)說(shuō),每當(dāng)一個(gè)分子撞到墻上反彈,墻壁感受到一個(gè)沖量,當(dāng)我們將所有分子給予墻壁的沖量加起來(lái),就產(chǎn)生了壓強(qiáng)。所以,壓強(qiáng)是一種宏觀量。壓強(qiáng)也是一種熵力。當(dāng)我們緩慢地移動(dòng)墻壁時(shí)(例如燃燒室的活塞),氣體的熵會(huì)改變,根據(jù)能量守恒原理,熵的改變率乘以溫度,就是壓強(qiáng)了,熵力就是熵改變引起的力。通常,力的方向與熵增大的方向一致。因?yàn)槠胀ǖ臍怏w的體積越大,熵越大,所以壓強(qiáng)是一種傾向于增大體積的力。
  在統(tǒng)計(jì)物理中,我們有時(shí)并不需要具體存在的墻壁就能定義壓強(qiáng)。我們可以想象一個(gè)平面,分子不停地通過(guò)這個(gè)平面,壓強(qiáng)是分子通過(guò)平面時(shí)帶走的動(dòng)量。從這個(gè)定義來(lái)看,壓強(qiáng)的確與分子之間的微觀力毫無(wú)聯(lián)系,是純粹的宏觀力,純粹的熵力。
  熵力另一個(gè)具體的例子是彈性力。一根彈簧的力,就是熵力,胡克定律就是熵力的體現(xiàn)。一個(gè)更好的例子是高分子的彈性力,假定組成高分子的單體與單體之間不存在任何力,那么高分子的彈性力完全由熵的改成引起,高分子的彈性力趨向于使得高分子蜷曲,因?yàn)轵榍母叻肿拥撵馗蟆?
  這樣,我們就可以定義熵力了。熵力不是主要由物體的微觀組分之間的力引起的,而是由物體的熵的改成引起的。

Verlinde的熵力是什么
 
  這里就需要用到全息原理了。在Verlinde看來(lái),描述一個(gè)空間最初的系統(tǒng)不是這個(gè)空間以及存在于這個(gè)空間中的物體,而是包圍這個(gè)空間的曲面。在這個(gè)曲面上,有一個(gè)微觀系統(tǒng),局部處于平衡態(tài),所以曲面的每個(gè)局部都有一些自由度以及被這些自由度攜帶的熵。當(dāng)一個(gè)試驗(yàn)粒子在外部接近這個(gè)曲面時(shí),曲面上的自由度受到這個(gè)試驗(yàn)粒子的影響從而熵起了變化。當(dāng)這個(gè)粒子完全融入曲面時(shí),我們認(rèn)為這個(gè)粒子本身也可以由曲面上的自由度描述了。學(xué)過(guò)一些熱力學(xué)或統(tǒng)計(jì)物理的人知道,當(dāng)一個(gè)系統(tǒng)的能量增大時(shí),熵通常也增大,所以粒子融入曲面后曲面上的熵增大了。通過(guò)能量守恒我們得知,熵增對(duì)應(yīng)的熵力是吸引力,即粒子總被曲面包圍的空間部分吸引。我們看到,熱力學(xué)的后果就是萬(wàn)有引力!Verlinde向我們展示,牛頓的萬(wàn)有引力公式以及愛(ài)因斯坦理論都可以通過(guò)統(tǒng)計(jì)物理加全息原理推導(dǎo)出來(lái)。

熵力:萬(wàn)有引力的新方向

  Verlinde利用全息原則研究一個(gè)小質(zhì)量物體與一個(gè)質(zhì)量稍大的物體相隔一定距離時(shí)到底會(huì)發(fā)生什么情況,例如一顆恒星或一顆行星。把質(zhì)量小的物體移開(kāi)一點(diǎn),他說(shuō),意味著改變了信息內(nèi)容,或兩個(gè)質(zhì)量體間的假想全息表面的熵(平均信息量)。這種信息變化與系統(tǒng)的能量變化有關(guān)。然后,利用統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)研究小質(zhì)量物體所有可能的運(yùn)動(dòng)和相關(guān)能量變化,Verlinde認(rèn)為,小質(zhì)量物體朝著大質(zhì)量物體運(yùn)動(dòng)的傾向與熱力學(xué)運(yùn)動(dòng)非常類似。這種效應(yīng)可以看作是有一股凈力將兩個(gè)質(zhì)量體拉到一起。物理學(xué)家把這種力量叫做熵力,因?yàn)樗a(chǎn)生于信息內(nèi)容變化最多的時(shí)刻。這種說(shuō)法仍然沒(méi)有直接提到萬(wàn)有引力。但是,加上全息表面信息內(nèi)容的基本公式,它的能源含量和愛(ài)因斯坦的質(zhì)能方程直接推導(dǎo)出了牛頓的萬(wàn)有引力定律。相對(duì)論版本只是前進(jìn)了幾小步,但是更容易溯源。這一理論似乎同樣適用于蘋(píng)果和行星。 “如果重溫一遍牛頓定律會(huì)發(fā)現(xiàn)這是一個(gè)非常幸運(yùn)的巧合。”Verlinde說(shuō),“相對(duì)論概論顯示,它比那些只在乎方程式對(duì)錯(cuò)的問(wèn)題要深?yuàn)W得多。”
  Verlinde的想法已獲得了一些物理學(xué)家的好評(píng)。阿姆斯特丹大學(xué)的著名數(shù)學(xué)物理學(xué)家羅貝特•捷格拉夫贊賞了Verlinde的理念。他說(shuō):“令人吃驚的是,之間從來(lái)沒(méi)有人提出這一想法,它看上去很簡(jiǎn)單,但是非常說(shuō)服力的。”評(píng)審團(tuán)仍在尋求其他的解釋。有人認(rèn)為,韋爾蘭德在他的方程式中使用了循環(huán)論證法,“出發(fā)點(diǎn)”就是萬(wàn)有引力。另外一些人則對(duì)這種方法幾乎完全拋棄了數(shù)學(xué)表示疑慮,因?yàn)樗睦碚摶A(chǔ)只是一些非常籠統(tǒng)的空間、時(shí)間和信息的概念。馬薩諸塞州沃爾瑟姆布蘭代斯大學(xué)的斯坦利•德塞爾說(shuō)韋爾蘭德的工作前景光明,但它是“一個(gè)爆炸性事件,要徹底了解它的來(lái)龍去脈需要很多時(shí)間,而且這個(gè)理論對(duì)牛頓、胡克和愛(ài)因斯坦制訂的金科玉律提出了質(zhì)疑和挑戰(zhàn)。”
  Verlinde強(qiáng)調(diào),這只是第一篇關(guān)于該項(xiàng)目的論文。 “它甚至算不上一種理論,只是提出了一個(gè)新的范例或框架的建議,”他說(shuō),“艱巨的工作還在后面。”
 
 
 
 

熵力

口號(hào)“引力就是熵力”的確很吸引人,我看了Verlinde的文章后就知道在一段時(shí)間內(nèi),會(huì)有不少人談?wù)?,也?huì)有不少人跟上。

(先評(píng)論一下Motl在他的博客上用中子干涉實(shí)驗(yàn)否定Verlinde假設(shè)的“論證”。這個(gè)論證假定測(cè)量中子干涉的兩個(gè)狹縫相距一米,所以根據(jù)離全息屏的遠(yuǎn)近,中子通過(guò)不同狹縫時(shí)對(duì)應(yīng)的微觀態(tài)數(shù)相差巨大,這樣干涉不可能發(fā)生。Motl不做研究幾年思維退化得不是一點(diǎn)半點(diǎn)。這個(gè)論證出了兩個(gè)錯(cuò)。第一個(gè)錯(cuò)是微觀態(tài)數(shù)是全息屏上的微觀態(tài)數(shù),不是在全息屏之外的中子狀態(tài)數(shù)。第二,即使一個(gè)系統(tǒng)的宏觀態(tài)可以對(duì)應(yīng)于很多微觀態(tài)(如炙熱的煤球),但系統(tǒng)在固定時(shí)刻總是處于一個(gè)固定的微觀態(tài)中,因?yàn)槲覀兺祽胁庞么至;霓k法不去追求微觀態(tài)。在Verlinde的圖像中,中子只不過(guò)類似聲子,當(dāng)然可以處于一個(gè)固定的微觀態(tài)中。下面回到正文)

Verlinde沒(méi)有給出細(xì)節(jié),只給出一些關(guān)鍵的想法,這樣,很多人就可以自由發(fā)揮了。已經(jīng)出現(xiàn)的文章有不少是自由發(fā)揮的,這當(dāng)然也包括我和王一的文章:

Quantum UV/IR Relations and Holographic Dark Energy from Entropic Force

我本來(lái)打算在Verlinde的框架下討論全息暗能量的,因?yàn)槲椰F(xiàn)在對(duì)這個(gè)模型信心大增(主要是在計(jì)算了Casimir energy之后)。王一來(lái)信,談到一些想法,我們就自然合作了。

我本來(lái)不打算很快寫(xiě)文章的,因?yàn)槲抑牢恼聦?xiě)得越慢越有內(nèi)容(Verlinde本人的文章就寫(xiě)了半年),而且,過(guò)去也出現(xiàn)過(guò)跟風(fēng)的情況,我也批評(píng)過(guò)。這次例外,因?yàn)槲腋杏X(jué)找到了全息暗能量在Verlinde框架下的線索。

何況,我們還推導(dǎo)了Cohen等人的UV/IR關(guān)心,Hogan的測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系。

Cohen等人的UV/IR關(guān)系表述很簡(jiǎn)單。在有引力的情形下,紅外截?cái)嘞拗屏俗贤饨財(cái)?,兩者的關(guān)系是

這個(gè)關(guān)系,在Verlinde的框架下很容易理解??紤]兩個(gè)全息屏,一個(gè)半徑為

,另一個(gè)半徑為
,根據(jù)Verlinde的公式

其中S是系統(tǒng)的熵,N是全息屏上用來(lái)描述系統(tǒng)的bits數(shù),

推得

現(xiàn)在,假定在i屏上的紫外截?cái)嗍?div id="fbwnfa5u" class='imgcenter'>

,紫外截?cái)嗟暮x是我們只考慮最小的面積元
,這個(gè)面積元內(nèi)有一個(gè)bit,所以有
。由上式推得

所以

為了量綱正確起見(jiàn),我們引進(jìn)了

,這也是系統(tǒng)中唯一與宏觀尺度無(wú)關(guān)的量(原則也許存在第二個(gè)微觀尺度,所以這個(gè)推導(dǎo)不能決定UV/IR關(guān)系中的系數(shù))。

為了“推導(dǎo)”全息暗能量,我們必須引入全息屏之外的第二個(gè)屏。原因很簡(jiǎn)單,暗能量對(duì)應(yīng)的Tolman-Komar能量總是負(fù)的,如果只有全息屏,我們必須引入負(fù)溫度!那么,第二個(gè)屏是什么?最自然的就是事件視界了。

另外,一直以來(lái)我比較傾向Banks的說(shuō)法,事件視界應(yīng)該是一個(gè)宇宙學(xué)的前提,因?yàn)樗鼪Q定了系統(tǒng)的大?。ㄗ杂啥葌€(gè)數(shù))。在Verlinde的框架內(nèi),事件視界是全息屏的上限。如果我們想將空間看成宏觀導(dǎo)出概念,那么我們最初是從和事件視界一樣大小的全息屏開(kāi)始的。

我們的文章是昨天出現(xiàn)的,今天又出現(xiàn)了三篇中國(guó)人寫(xiě)的文章,我就不介紹了。反正,這次中國(guó)人又跟在了前面,是好是壞,只有時(shí)間能判斷。

因?yàn)槲易约航槿肓耍揖筒慌ㄜ囆?yīng)了。但是我重復(fù)12日在理論所報(bào)告時(shí)說(shuō)的話,起初,一些文章可能有60%是錯(cuò)誤的。

昨天看到Verlinde自己給的一個(gè)荷蘭語(yǔ)的一個(gè)關(guān)于Erik Verlinde工作的簡(jiǎn)短視頻

今天網(wǎng)上出現(xiàn)了WMAP七年結(jié)果的系列文章,并沒(méi)有什么令人興奮的結(jié)果。我們通常關(guān)心的是這兩篇文章:

Seven-Year Wilkinson Microwave Anisotropy Probe (WMAP) Observations: Cosmological Interpretation

Seven-Year Wilkinson Microwave Anisotropy Probe (WMAP) Observations: Are There Cosmic Microwave Background Anomalies?

另外,李惕碚老師和劉浩也有一篇值得關(guān)注的文章

Inconsistency between WMAP data and released map

總的說(shuō)來(lái),研究引力和宇宙學(xué)的同學(xué)們又可以忙乎起來(lái)了。

 
 
 
 
全息引力
- [且來(lái)悟理]

http://xyzhongzhi.blogbus.com/logs/60463186.html


自然界有四種基本相互作用。這是現(xiàn)代物理中慣常的說(shuō)法。在這四種相互作用中,引力(gravity)無(wú)疑是最早為人所知的一種。牛頓的萬(wàn)有引力定律在今天已成為人所共知的規(guī)律。然而在目前看來(lái),引力也是四種基本相互作用中最令人費(fèi)解的一種。

其實(shí)說(shuō)費(fèi)解倒也未必,因?yàn)槲覀儗?duì)引力并非一無(wú)所知。實(shí)際上,我們有廣義相對(duì)論。這個(gè)描寫(xiě)引力的理論從理論結(jié)構(gòu)到實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證無(wú)疑都很成功,近乎完美。

既然如此,我們?nèi)匀徽J(rèn)為引力難于理解,就必然另有原因。我以為這個(gè)原因來(lái)自引力獨(dú)特的個(gè)性。與其它三種相互作用相比,引力顯得非常與眾不同。如果你下意識(shí)地認(rèn)為四種相互作用應(yīng)當(dāng)在某種程度上被統(tǒng)一(亦即可由單一的理論來(lái)解釋),那么這種與眾不同就顯然難以理解了。

引力最突出的特征在于,它作用于所有的物質(zhì)。如果觀察其余三種相互作用,我們就會(huì)發(fā)現(xiàn),每一種相互作用都只對(duì)帶有相應(yīng)“荷”的一類物質(zhì)起作用。比如,只有帶電荷的物質(zhì)間才會(huì)有電磁作用。而引力則不同,它與所有具有能量的物質(zhì)發(fā)生作用。所以或許可以等效地說(shuō),能量就是引力的荷。

既然如此,也許引力與其余三種相互作用確有不同的起源。廣義相對(duì)論將它的起源歸結(jié)于時(shí)空的幾何。這個(gè)觀察來(lái)自等效原理,簡(jiǎn)言之即慣性質(zhì)量和引力質(zhì)量相等。如果確實(shí)如此,那么只需要牛頓定律,你就會(huì)發(fā)現(xiàn),在引力作用下的質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程與它的質(zhì)量無(wú)關(guān),或者說(shuō)與物理的動(dòng)力學(xué)無(wú)關(guān),從而變成了一個(gè)純幾何的方程。等效原理在這里所起的作用十分關(guān)鍵,所以它的正確性自然就很重要。這就是為什么自伽利略扔鐵球以后的幾百年里,人們還在不斷地重復(fù)類似的實(shí)驗(yàn)而只是為了提高精度。的確,等效原理在目前已被驗(yàn)證到了極高的精度,大致在十個(gè)量級(jí)以上。

不過(guò)可惜的是,這些驗(yàn)證都是宏觀的實(shí)驗(yàn)。因?yàn)橐?shí)在太微弱,所以在微觀領(lǐng)域極難被觀察到。事實(shí)上,目前還沒(méi)有實(shí)驗(yàn)?zāi)茉诤撩壮叨纫韵掠^察引力的效應(yīng)。相對(duì)于高能物理中的其他相互作用而言,這個(gè)尺度顯然是非常大的。說(shuō)得嚴(yán)重一些,我們根本沒(méi)有在毫米以下的尺度觀察到引力,所以沒(méi)有任何直接證據(jù)表明等效原理以及廣義相對(duì)論在這個(gè)尺度下仍然成立。

這為理論家讓出了空間。既然引力的微觀規(guī)律完全未知,那么不妨假設(shè)它是衍生的(emerge)。也就是,在微觀領(lǐng)域并不存在什么萬(wàn)有引力——它只是另一種微觀物理在宏觀條件下所顯示的現(xiàn)象。正如壓強(qiáng):你無(wú)法談?wù)撘活w氣體分子的壓強(qiáng)是多少,因?yàn)閴簭?qiáng)是大量氣體顆粒的集體行為。

物理學(xué)家在“衍生”的引力方面做出了各種嘗試?;臃?,一年一度。如果說(shuō)去年的熱點(diǎn)是Horova在一月份提出的“相變”引力(見(jiàn)此前的一篇日志【切除時(shí)間】),則今年的熱點(diǎn)就是Verlinde同樣在一月份提出的“熵力”。

簡(jiǎn)單地聲稱引力是衍生現(xiàn)象自然是沒(méi)有根據(jù)的——我們得有一個(gè)可作為指導(dǎo)性的原則,或假設(shè),方可作此斷言。這就如同聲稱引力是幾何效應(yīng)需要以等效原理為前提。

Einstein的相對(duì)論基于等效原理,而Verlinde提出的“熵力”則基于全息原理。

 

與等效原理不同的是,全息原理到目前為止不僅沒(méi)有實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證,甚至在理論上也是不完全的。人們并不清楚如何一般而精確地表述它。大體上,這個(gè)原理是說(shuō),一團(tuán)空間內(nèi)的物理可以由其邊界上的過(guò)程所描述。

關(guān)于全息原理,物理學(xué)家的靈感來(lái)源于黑洞。根據(jù)Bekenstein的著名結(jié)果,黑洞有熵,且其大小正比于黑洞視界的面積。如所周知,熵這個(gè)物理量記錄了物質(zhì)所含狀態(tài)數(shù)(或者信息量)的多少。黑洞具有非零的熵,意味著它具有大量的微觀狀態(tài)數(shù)。此熵又正比于視界的面積,這個(gè)事實(shí)暗示我們,黑洞的微觀狀態(tài)都被記錄在了它的邊界上。

由此我們可以推斷出另一個(gè)有趣的事實(shí),即一團(tuán)空間內(nèi)所能包含的最大熵,或者說(shuō),這團(tuán)空間所能記錄的信息量,存在上限。對(duì)于一團(tuán)球形的空間,這個(gè)上限恰好是以其邊界為視界的黑洞的熵。(這個(gè)推導(dǎo)很簡(jiǎn)單,請(qǐng)見(jiàn)此前的一篇日志【不確定性原理的毀滅?】。)瞧,空間所含的信息量由其邊界所控制,可見(jiàn)全息的概念不止出現(xiàn)在黑洞中。

一定體積的空間所包含的信息量有限,這與量子場(chǎng)論直接矛盾。因?yàn)橥ǔ5膱?chǎng)論是一個(gè)定域的理論,它假設(shè)時(shí)空是連續(xù)的,從而可以談?wù)?#8220;點(diǎn)”的概念。在場(chǎng)論中,原則上可以將物理對(duì)象局限于任意小的區(qū)域內(nèi),從而一團(tuán)空間所能承載的信息量原則上可以任意大。

這里之所以出現(xiàn)了矛盾,乃是由于連續(xù)時(shí)空的假設(shè)是一種近似。場(chǎng)論通常所涉及的尺度比時(shí)空漲落的尺度大了許多,因此對(duì)這種漲落并不敏感。這很好理解:比如,我們通??梢哉J(rèn)為固體中的聲波是連續(xù)的彈性波,這是因?yàn)榇藭r(shí)的聲波波長(zhǎng)遠(yuǎn)大于晶格的大小。但是如果振動(dòng)模式的波長(zhǎng)與晶格的尺度相當(dāng),則連續(xù)波的近似就不再成立。在固體物理中,計(jì)算固體比熱的Debye方法就用到了連續(xù)波近似,結(jié)果遇到發(fā)散。發(fā)散的原因是此近似在高頻區(qū)(短波長(zhǎng))不再成立,所以需要截去高頻區(qū)的貢獻(xiàn),以得到一個(gè)有限的結(jié)果。與之完全相同,量子場(chǎng)論中屢屢出現(xiàn)的發(fā)散,也可以被解釋成高能區(qū)(小尺度)下場(chǎng)論的連續(xù)時(shí)空假設(shè)完全失效的結(jié)果。

全息原理與量子場(chǎng)論的矛盾,顯示出引力更為獨(dú)特的個(gè)性。它暗示我們,可能某些大尺度下的引力效應(yīng),也根本無(wú)法用場(chǎng)論描述。此時(shí)需要另一套與場(chǎng)論完全不同的方案,比如弦論?;蛘呤荲erlinde提出的熵力。Verlinde指出,若從全息原理出發(fā),將引力視作一種熵增效應(yīng),則在某些一般的假設(shè)下,可以推導(dǎo)出牛頓第二定律以及萬(wàn)有引力定律。而實(shí)際的推導(dǎo)只需要初中數(shù)學(xué)就夠了。關(guān)于其中細(xì)節(jié),容我下回再敘。

從全息原理到牛頓定律
 
繼續(xù)上篇的討論。

Verlinde的主旨,是希望將全息原理作為更基本的假設(shè),并由它推導(dǎo)出我們已知的引力理論,如牛頓力學(xué)或廣義相對(duì)論。為了解釋這個(gè)想法,Verlinde反復(fù)引用了彈性理論的例子:一百多年前的人們并不知道什么是原子、什么是晶格,但這并不妨礙他們建立關(guān)于固體彈性的宏觀理論。只是當(dāng)人們認(rèn)識(shí)到了原子之后,才可以重新用原子理論的一套方法重新推導(dǎo)出已有的彈性理論。Verlinde認(rèn)為,牛頓力學(xué)或者廣義相對(duì)論恰好相當(dāng)于宏觀的彈性理論,而全息原理就扮演原子理論的角色。

這自然是恰當(dāng)?shù)念惐?。然而引力與彈性理論的不同在于,我們今天還處在“前Planck物理”時(shí)代,因此并無(wú)完整的全息原理可供使用。所以要找到一個(gè)合適的全息假設(shè),我們只能從現(xiàn)有的理論入手,管窺蠡測(cè)地去尋找全息原理的蛛絲馬跡。這雖然困難,卻并非不可能。因?yàn)?,雖然微觀理論深藏于極其微小的Planck尺度,但是那里發(fā)生的一些秘密會(huì)泄漏到我們可見(jiàn)的世界中,這就是黑洞熵。

在經(jīng)典情形,黑洞只有極少的自由度,即質(zhì)量、角動(dòng)量和內(nèi)部對(duì)稱性的荷(例如電荷)。這就是所謂的無(wú)毛定理(No-hair theorem)。然而當(dāng)考慮量子效應(yīng)后,黑洞就有非零的熵,且正比于其表面積。這一點(diǎn)最初似乎由Bekenstein提出。事實(shí)上,如果黑洞熵正比于其表面積,則當(dāng)我們向黑洞中投入一顆質(zhì)點(diǎn)后,黑洞的熵和表面積都會(huì)增加。可是人們當(dāng)時(shí)已經(jīng)知道,當(dāng)質(zhì)點(diǎn)以恰當(dāng)?shù)姆绞奖煌度隟err黑洞時(shí),黑洞的質(zhì)量與表面積并不增加。

Bekenstein注意到[1],這個(gè)結(jié)論基于“質(zhì)點(diǎn)”的假設(shè)。當(dāng)我們考慮了量子力學(xué)后,任何粒子,即使是基本粒子,都有一個(gè)尺度,它或者是粒子的Compton波長(zhǎng),或者是Schwarzschild半徑。當(dāng)這樣一個(gè)半徑不為零的“球狀物”被投入黑洞時(shí),黑洞的半徑確有不為零的增長(zhǎng)。Bekenstein將之視為黑洞熵的增長(zhǎng)。

黑洞有熵,意味著它包含著巨大的微觀自由度。不僅如此,黑洞還有溫度,還有熱輻射。這就是著名的Hawking輻射。當(dāng)然,這也是與經(jīng)典理論直接相悖的結(jié)論:根據(jù)經(jīng)典廣義相對(duì)論,黑洞不僅無(wú)毛,而且一毛不拔。

為了理解這個(gè)結(jié)果,Unruh給出了一個(gè)有趣的解釋[2],現(xiàn)在人們稱之為Unruh效應(yīng)。它說(shuō),在慣性系中的觀察者看來(lái)空無(wú)一物的真空,在加速的非慣性系觀察者看來(lái),卻是一個(gè)有溫度的“熱浴”,這個(gè)加速觀者將看到無(wú)數(shù)的作熱運(yùn)動(dòng)的粒子。簡(jiǎn)單地講:你只要在真空中兜圈子,周圍就會(huì)變熱。你跑得越快,溫度就越高。

這個(gè)有悖直覺(jué)的結(jié)論其實(shí)并不太出乎意料。關(guān)鍵在于,加速觀者與慣性觀者所用的鐘表不同:它們之間并不是簡(jiǎn)單的Lorentz變換,而是一個(gè)非平凡的廣義坐標(biāo)變換。另一方面,我們知道,量子場(chǎng)論中的真空實(shí)際上是指萬(wàn)物的基態(tài):并非一無(wú)所有,而只是悄無(wú)聲息而已。一旦當(dāng)你進(jìn)入到一個(gè)加速的參考系中,由于你所攜帶鐘表變了節(jié)拍,原來(lái)悄無(wú)聲息的基態(tài)就變得喧鬧起來(lái)。這就是熱背景的由來(lái)。

Unruh效應(yīng)雖然是對(duì)平直空間而言,但與Hawking輻射其實(shí)是一件事情。你只需注意到,自由降落的參考系與慣性系無(wú)異:無(wú)論在下墜的電梯還是漂浮在太空中的飛行器,你在其中感受到的物理是一樣的,盡管心情可能完全不同。所以,一個(gè)自由降落進(jìn)黑洞的觀測(cè)者就相當(dāng)于慣性觀察者,他不知道什么是黑洞,當(dāng)他穿過(guò)黑洞邊界時(shí)不會(huì)出現(xiàn)任何異常。自然,他也看不見(jiàn)黑洞輻射。然而在它看來(lái),遠(yuǎn)處的觀察者相對(duì)于它在作加速運(yùn)動(dòng)。而根據(jù)Unruh效用,相對(duì)于慣性系作加速運(yùn)動(dòng)的觀察者必看到熱輻射:這就是Hawking輻射。

好了,以上就是全部的準(zhǔn)備工作。接下來(lái)我們展示Verlinde的推導(dǎo)。[3]

Verlinde說(shuō)引力是熵力,即熵增原理的宏觀效果。比如滲透現(xiàn)象就是一種熵力。在給定的溫度T下,根據(jù)能量守能,熵力F可由熵變ΔS確定為:
 
因此只要知道了溫度T和熵變ΔS對(duì)位移Δx的依賴,即可求出熵力。

不要忘記全息原理:它說(shuō),信息儲(chǔ)存在界面上。首先考慮局域的情形,我們?nèi)∫恍K屏:

大致上我們可以將此屏視為空間的邊界。這塊屏的左邊是什么我們不清楚,而它的右邊則是我們已知的空間?,F(xiàn)在,在其右端距離一個(gè)Compton波長(zhǎng)左右的位置Δx放置一顆質(zhì)量為m的粒子,全息原理假定,由此粒子貢獻(xiàn)于屏上的熵ΔS為:

這就是熵變對(duì)位移的關(guān)系。至于溫度,我們有Unruh效應(yīng):對(duì)于一個(gè)加速度為a的觀察者,“真空”的溫度由下式給出:

由以上三式,消去熵變ΔS和溫度T,瞧瞧我們得到了什么:

以上是一個(gè)局域的推導(dǎo)。接下來(lái)我們?nèi)∫粔K完整的屏,一張包圍了質(zhì)量M的球面。

根據(jù)全息原理,假定該球面所包圍的微觀自由度N正比于其表面積A。由量綱的考慮補(bǔ)充進(jìn)適當(dāng)?shù)某?shù),就是:

 

再假設(shè)此球體內(nèi)的能量均分于各微觀自由度,即Boltzmann能量均分:

而該能量E由球面所包含的質(zhì)量給出:

另外,球的表面積A為:

則由以上四式,再加上熵力的定義(1)與全息假設(shè)(2),不難得到:

OK,我們暫停此處,不多解釋。

 

給出參考文獻(xiàn),供希望知道細(xì)節(jié)的同學(xué)查閱:

[1] J. D. Bekenstein, Phys. Rev. D 7, 2333 (1973)

[2] W. G. Unruh, Phys. Rev. D 14, 870 (1976)

[3] E. Verlinde, arXiv: 1001.0785 (2010)


 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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