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1試題內(nèi)容

綜合與實踐課上,老師讓同學們以“矩形的折疊”為主題開展數(shù)學活動.
(1)操作判斷
操作一:對折矩形紙片ABCD,使AD與BC重合,得到折痕EF,把紙片展平;
操作二:在AD上選一點Р,沿BP折疊,使點A落在矩形內(nèi)部點M處,把紙片展平,連接PM ,BM.
根據(jù)以上操作,當點M在EF上時,寫出圖1中一個30°的角:     .
(2)遷移探究
小華將矩形紙片換成正方形紙片,繼續(xù)探究,過程如下:
將正方形紙片ABCD按照(1)中的方式操作,并延長PM交CD于點Q,連接BQ.
①如圖2,當點M在EF上時,∠MBQ=     °,∠CBQ=     °；
②改變點Р在AD上的位置(點Р不與點A,D重合),如圖3,判斷∠MBQ與∠CBQ的數(shù)量關(guān)系,并說明理由．
(3)拓展應(yīng)用
在(2)的探究中,已知正方形紙片ABCD的邊長為8cm,當FQ=lcm時,直接寫出AP的長.

2解法分析(1)

∠BME、∠ABP、∠MBP或∠MBC.

方法1：
連接MA，由操作過程可知：
MA=MB=AB，
即：△ABM是等邊三角形，
進而證明：∠BME=30°.
易證：∠ABP=∠MBP=∠MBC=30°.

方法2：
由操作過程可知：
MB=AB=2EB，
所以：sin∠BME=，
所以：∠BME=30°.
易證：∠ABP=∠MBP=∠MBC=30°.

3解法分析(2)①

∠MBQ=15°,∠CBQ=15°.

1.特殊角
如左圖：連接MA，由操作過程可知：
MA=MB=AB，
即：△ABM是等邊三角形，
進而證明：∠BME=30°，
所以：∠MBC=30°，

2.雙折疊
如右圖：由折疊的性質(zhì)得：
MB=AB，∠PMB=∠PAB=90°，
進而證明：MB=BC，∠BMQ=∠C=90°，
根據(jù)“HL”證明：△BMQ?△BCQ，
所以：∠MBQ=∠CBQ=∠MBC=15°.

4解法分析(2)②

∠MBQ=∠CBQ.

由折疊的性質(zhì)得：
MB=AB，∠PMB=∠A=90°，
進而證明：MB=BC，∠BMQ=∠C=90°，
根據(jù)“HL”證明：△BMQ?△BCQ，
所以：∠MBQ=∠CBQ.

“雙折疊”動態(tài)演示

隱藏結(jié)論：PQ=AP+CQ.

5解法分析(3)

AP的長為：cm或cm.

情況1：
如左圖：設(shè)AP=，
在Rt△PDQ中，
DP=8-，DQ=3，PQ=+5，
由勾股定理得：
(8-)+3=(+5)，
解得：=.

情況2：
如右圖：設(shè)AP=，
在Rt△PDQ中，
DP=8-，DQ=5，PQ=+3，
由勾股定理得：
(8-)+5=(+3)，
解得：=.
綜上所述：AP的長為：cm或cm.

6再思考

矩形中的"雙折疊"

在圖1的基礎(chǔ)上，換一種折疊方式，也有"雙折疊"現(xiàn)象產(chǎn)生.