試題內(nèi)容
如圖，四邊形ABCD中，AC、BD是對(duì)角線，△ABC是等邊三角形，∠ADC=30°，AD=4，BD=5，則CD的長為 .
解法分析
題中已知邊為AD和BD，所求邊為CD，我們可以選擇集中了“已知邊，所求邊，等邊三角形的邊”的三角形，通過旋轉(zhuǎn)，構(gòu)造手拉手全等來解決問題，比如：△ABD，△ACD，△BCD.
【將△ABD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到△ACE】
根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：CE=BD=5，
易證：△ADE是等邊三角形，
∴DE=AD=4，∠ADE=60°，
∵∠CDE=∠ADE+∠ADC=90°，
∴△CDE是直角三角形，
根據(jù)勾股定理得：CD=3.
【將△ABD繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到△CBE】
根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：CE=AD=4，
∠BCE=∠BAD，
易證：△BDE是等邊三角形，
∴DE=BD=5，
∵∠DCE=360°-∠BCD-∠BCE
=360°-∠BCD-∠BAD
=∠ABC+∠ADC=90°，
∴△CDE是直角三角形，
根據(jù)勾股定理得：CD=3.
【將△ACD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到△ABE】
根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：
∠AEB=∠ADC=30°，
易證：△ADE是等邊三角形，
∴DE=AD=4，∠AED=60°，
∵∠BED=∠AEB+∠AED=90°，
∴△BED是直角三角形，
根據(jù)勾股定理得：CD=3.
【將△ACD繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到△BCE】
根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：
BE=AD=4，
∠BEC=∠ADC=30°，
易證：△CDE是等邊三角形，
∴DE=CD，∠CED=60°，
∵∠BED=∠BEC+∠CED=90°，
∴△BED是直角三角形，
根據(jù)勾股定理得：DE=3，
∴CD=3.
【將△BCD繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到△BAE】
根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：
∠BAE=∠BCD，
易證：△BDE是等邊三角形，
∴DE=BD=5，
∵∠EAD=360°-∠BAD-∠BAE
=360°-∠BAD-∠BCD
=∠ABC+∠ADC=90°，
∴△EAD是直角三角形，
根據(jù)勾股定理得：CD=3.
【將△BCD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到△ACE】
根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：
AE=BD=5，
易證：△CDE是等邊三角形，
∴DE=CD，∠CDE=60°，
∵∠ADE=∠ADC+∠CDE=90°，
∴△ADE是直角三角形，
根據(jù)勾股定理得：DE=3，
∴CD=3.
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