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一. 教學(xué)內(nèi)容：

弧長和扇形面積公式、圓錐的側(cè)面積和全面積

 

   教學(xué)目的

  1. 使學(xué)生掌握弧長和扇形面積公式、圓錐及其特征，使學(xué)生掌握圓錐的軸截面圖及其特點(diǎn)。

  2. 使學(xué)生掌握弧長和扇形面積公式、圓錐側(cè)面展開圖的畫法及側(cè)面積計(jì)算公式。

  3. 使學(xué)生比較熟練地應(yīng)用弧長和扇形面積公式、圓錐的基本性質(zhì)和軸截面解決有關(guān)圓錐表面積的計(jì)算問題。

  4. 培養(yǎng)學(xué)生空間觀念及空間圖形與平面圖形的相互轉(zhuǎn)化思想，培養(yǎng)學(xué)生空間想象能力和計(jì)算能力。

    教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)：

    教學(xué)重點(diǎn)是弧長和扇形面積公式，圓錐及其特征，圓錐的側(cè)面積計(jì)算

難點(diǎn)是圓錐側(cè)面展開圖（扇形）中各元素與圓錐各元素之間的關(guān)系

教學(xué)過程

1. 圓周長：

    圓面積：

2. 圓的面積C與半徑R之間存在關(guān)系

，即360°的圓心角所對的弧長，因此，1°的圓心角所對的弧長就是

。

    n°的圓心角所對的弧長是

   

                   P₁₂₀

    *這里的180、n在弧長計(jì)算公式中表示倍分關(guān)系，沒有單位。

  3. 由組成圓心角的兩條半徑和圓心角所對的弧所圍成的圓形叫做扇形。

    發(fā)現(xiàn)：扇形面積與組成扇形的圓心角的大小有關(guān)，圓心角越大，扇形面積也就越大。

  4. 在半徑是R的圓中，因?yàn)?/span>360°的圓心角所對的扇形的面積就是圓面積

，所以圓心角為n°的扇形面積是：

   

（n也是1°的倍數(shù)，無單位）

 

 

 

5. 圓錐的概念

    觀察模型可以發(fā)現(xiàn)：圓錐是由一個(gè)底面和一個(gè)側(cè)面圍成的。其中底面是一個(gè)圓，側(cè)面是一個(gè)曲面，如果把這個(gè)側(cè)面展開在一個(gè)平面上，展開圖是一個(gè)扇形。

    如圖，從點(diǎn)S向底面引垂線，垂足是底面的圓心O，垂線段SO的長叫做圓錐的高，點(diǎn)S叫做圓錐的頂點(diǎn)。

    錐也可以看作是由一個(gè)直角三角形旋轉(zhuǎn)得到的。也就是說，把直角三角形SOA繞直線SO旋轉(zhuǎn)一周得到的圖形就是圓錐。其中旋轉(zhuǎn)軸SO叫做圓錐的軸，圓錐的軸通過底面圓的圓心，并且垂直于底面。另外，連結(jié)圓錐的頂點(diǎn)和底面圓上任意一點(diǎn)的線段SA、SA₁、SA₂、……都叫做圓錐的母線，顯然，圓錐的母線長都相等。

    母線定義：連接圓錐頂點(diǎn)和底面圓周上任意一點(diǎn)的線段叫做圓錐的母線。P₁₂₂

  6. 圓錐的性質(zhì)

    由圖可得

    （1）圓錐的高所在的直線是圓錐的軸，它垂直于底面，經(jīng)過底面的圓心；

    （2）圓錐的母線長都相等

  7. 圓錐的側(cè)面展開圖與側(cè)面積計(jì)算

    圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)扇形，這個(gè)扇形的半徑是圓錐側(cè)面的母線、圓心是圓錐的頂點(diǎn)、弧長是圓錐底面圓的周長。

    圓錐側(cè)面積是扇形面積。

   

如果設(shè)扇形的半徑為l，弧長為c，圓心角為n（如圖），則它們之間有如下關(guān)系：

   

    同時(shí)，如果設(shè)圓錐底面半徑為r，周長為c，側(cè)面母線長為l，那么它的側(cè)面積是：

   

    圓錐的全面積為：

圓柱側(cè)面積：

。

 

    例：在⊙中，120°的圓心角所對的弧長為

，那么⊙O的半徑為___________cm。

    答案：120

    解：由弧長公式：

得：

   

    例：若扇形的圓心角為120°，弧長為

，則扇形半徑為_____________，扇形面積為____________________。

    答案：15；25π

    例：如果一個(gè)扇形的面積和一個(gè)圓面積相等，且扇形的半徑為圓半徑的2倍，這個(gè)扇形的中心角為____________。

    答案：90°

    例：已知扇形的周長為28cm，面積為49cm²，則它的半徑為____________cm。

    答案：7

例：兩個(gè)同心圓被兩條半徑截得的

，

，又AC=12，求陰影部分面積。

    解：設(shè)OC=r，則OA=r+12，∠O=n°

   

   

   

    ∴OC=18，OA=OC+AC=30

   

        

        

        

 

    例：如圖，已知正方形的邊長為a，求以各邊為直徑的半圓所圍成的葉形的總面積。

    解：∵正方形邊長為a

    ∴

，

   

   

   

   

    ∴葉的總面積為

    *也可看作四個(gè)半圓面積減去正方形面積

   

    例：已知AB、CD為⊙O的兩條弦，如果AB=8，CD=6，

的度數(shù)與

的度數(shù)的和為180°，那么圓中的陰影部分的總面積為？

    解：將弓形CD旋轉(zhuǎn)至B，使D、B重合

    如圖，C點(diǎn)處于E點(diǎn)

   

的度數(shù)為180°

    ∴AE是⊙O的直徑

    ∴∠ABE=90°

    又∵AB=8，BE=CD=6

    由勾股定理

    ∴半徑

   

    例：在△AOB中，∠O=90°，OA=OB=4cm，以O為圓心，OA為半徑畫

，以AB為直徑作半圓，求陰影部分的面積。

    解：∵OA=4cm，∠O=90°

    ∴

   

   

，

   

    則陰影部分的面積為：

   

    例：①、②……

是邊長均大于2的三角形，四邊形、……、凸n邊形，分別以它們的各頂點(diǎn)為圓心，以1為半徑畫弧與兩鄰邊相交，得到3條弧，4條弧，……

    （1）圖①中3條弧的弧長的和為_________________

    圖②中4條弧的弧長的和為_________________

    （2）求圖

中n條弧的弧長的和（用n表示）

    解：（1）π，2π

    （2）解法1：

    ∵n邊形內(nèi)角和為：（n－2）180°

    前n條弧的弧長的和為：

個(gè)以某定點(diǎn)為圓心，以1為半徑的圓周長

    ∴n條弧的弧長的和為：

    解法2：設(shè)各個(gè)扇形的圓心角依次為

    則

    ∴n條弧長的和為：

   

   

    例：如圖，在Rt△ABC中，已知∠BCA=90°，∠BAC=30°，AC=6m，把△ABC以點(diǎn)B為中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到AB邊的延長線上的點(diǎn)C'處，那么AC邊掃過的圖形（陰影部分）的面積為？

    分析：在Rt△ACB中，∠C=90°，∠BAC=30°，AB=6

   

   

    法一：

   

   

   

    法二：以B為圓心，BC為半徑畫弧

    交A'B于D，AB于D'

    有

，

   

 

    例：如圖，已知Rt△ABC的斜邊AB=13cm，一條直角邊AC=5cm，以直線AC為軸旋轉(zhuǎn)一周得一個(gè)圓錐。求這個(gè)圓錐的表面積。如果以直線AB為軸旋轉(zhuǎn)一周，能得到一個(gè)什么樣的圖形？

    解：

    以直線AC為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的圓錐如圖所示，它的表面積為：

   

    以直線AB為軸旋轉(zhuǎn)一周，所得到的圖形如圖所示。

   

   

   

              

 

例：一個(gè)圓錐的模型，這個(gè)模型的側(cè)面是用一個(gè)半徑為9cm，圓心角為240°的扇形鐵皮制作，再用一塊圓形鐵皮做底，則這塊圖形鐵皮的半徑為______________。

    答案：6

 

    例：若圓錐的軸截面是一個(gè)邊長為2cm的等邊三角形，則這個(gè)圓錐的側(cè)面積是_______。

    答案：2π

 

    例：已知圓錐的底面半徑為40cm，母線長為90cm，則它的側(cè)面展開圖的圓心角為______。

    答案：160°

 

    例：若圓錐的側(cè)面積是底面積的2倍，則側(cè)面展開圖的圓心角是__________。

    答案：180°

 

    例：如圖，圓錐形的煙囪帽的底面直徑是80cm，母線長50cm。

    （1）畫出它的展開圖；

    （2）計(jì)算這個(gè)展開圖的圓心角及面積。

    解：（1）煙囪帽的展開圖是扇形，這個(gè)扇形的半徑是圓錐的母線長，弧長是圓錐底面周長（如圖）

    （2）設(shè)扇形的半徑為l，弧長為c，圓心角為α，則l=50cm，

   

   

=288（度）

   

 

    例：一個(gè)圓錐的高是10cm，側(cè)面展開圖是半圓，求圓錐的側(cè)面積。

    解：設(shè)圓錐底面半徑為r，圓錐母線長為l，扇形弧長（即半圓）為c，則由題意得

   

    即

    在Rt△SOA中，

    由此求得

    故所求圓錐的側(cè)面積為

 

    例：蒙古包可以近似地看作圓錐和圓柱組成，如果想用毛氈搭建20個(gè)底面積為

，高為3.5m，外圍高4m的蒙古包，至少要多少平方米的毛氈？

    解：

    ∵h₁=4，∴

   

      

   

    答：至少要

平方米的毛氈。

 

【模擬試題】

［基礎(chǔ)演練］

  1. 已知扇形的弧長為6πcm，圓心角為60°，則扇形的面積為____________。

  2. 已知弓形的弧所對的圓心角為60°，弓形弦長為a，則這個(gè)弓形的面積是__________。

  3. 如圖，在平行四邊形ABCD中，

，

，BD⊥AD，以BD為直徑的⊙O交AB于E，交CD于F，則圖中陰影部分的面積為___________。

  4. 如圖，AB是⊙O₁的直徑，AO₁是⊙O₂的直徑，弦MN//AB，且MN與⊙O₂相切于C點(diǎn)，若⊙O₁的半徑為2，則O₁B、

、CN、

所圍成的陰影部分的面積是_____________。

  5. 如圖，△ABC為某一住宅區(qū)的平面示意圖，其周長為800m，為了美化環(huán)境，計(jì)劃在住宅區(qū)周圍5m內(nèi)，（虛線以內(nèi)，△ABC之外）作綠化帶，則此綠化帶的面積為___________。

  6. 如圖，兩個(gè)同心圓被兩條半徑截得的

，

，⊙O'與

，

都相切，則圖中陰影部分的面積為____________。

［綜合測試］

  7. 如圖，OA是⊙O的半徑，AB是以OA為直徑的⊙O’的弦，O’B的延長線交⊙O于點(diǎn)C，且OA=4，∠OAB=45°，則由

，

和線段BC所圍成的圖形面積是______。

  8. 如圖，一扇形紙扇完全打開后，外側(cè)兩竹條AB，AC的夾角為120°，AB長為30cm，貼紙部分BD長為20cm，貼紙部分的面積為（    ）

    A.

                            B.

    C.

                      D.

  9. 如圖，在同心圓中，兩圓半徑分別為2、4，∠AOB=120°，則陰影部分的面積為（    ）

    A.

                  B.

                  C.

                 D.

  10. 一塊等邊三角形的木板，邊長為1，現(xiàn)將木板沿水平翻滾（如圖），那么，B點(diǎn)從開始至結(jié)束所走過的路徑長度為（    ）

    A.

                 B.

                 C. 4               D.

  11. （2004·湖北黃岡）如圖，要在直徑為50cm的圓形木板上截出四個(gè)大小相同的圓形凳面，問怎樣才能截出直徑最大的凳面，最大直徑是多少厘米？

［探究升級］

  12. （2004·新疆）在相距40km的兩個(gè)城鎮(zhèn)A、B之間，有一個(gè)近似圓形的湖泊，其半徑為10km，圓心恰好位于A、B連線的中點(diǎn)處，現(xiàn)要繞過湖泊從A城到B城，假設(shè)除湖泊外，所有的地方均可行走，有如圖所示兩種行走路線，請你通過推理計(jì)算，說明哪條路線較短。

    （1）的路線：線段

線段DB

    （2）的路線：線段

線段FB（其中E、F為切點(diǎn)）