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聊一聊數(shù)學中的基本定理（四）——微積分基本定理

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2023.07.05 廣東

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前面三篇文章，我們聊到了在算術和代數(shù)領域的基本定理，看到了兩種人類抽象客觀世界級別下的最基本性質的闡述，相關內容請戳：

聊一聊數(shù)學中的基本定理（三）——代數(shù)基本定理

聊一聊數(shù)學中的基本定理（二）——算術基本定理的價值

聊一聊數(shù)學中的基本定理（一）——算術基本定理的證明

今天我們再進入下一個領域——以極限為基礎的微積分，看看在這個領域，到底什么才是基本定理。

微分和積分的定義

我們知道，微積分的核心運算就是極限，我們用抽象的epson-dirta語言定義了一套可推演的邏輯，同時也能夠一定程度上符合人腦對這種無窮趨近時候發(fā)生事情的直觀想象。微分和積分是兩種基本的極限運算形式，微分是變化的無窮小量，由此定義了微分商，也就是導數(shù)等；積分則是無窮小量的和，由此得到了函數(shù)圍成面積的求法等神奇結果。這二者互為逆運算，而我們的微積分基本定理，自然是闡明這二者聯(lián)系的定理了。

我們不妨先復習一下微分和積分的概念。我敢保證，你若不是剛考完試，也不查資料的話，問你微分是什么，能立馬答上來的，都是基礎扎實的大牛了。

設函數(shù)

在某區(qū)間

內有定義。對于

內一點

，當

變動到附近的

（也在此區(qū)間內）時，如果函數(shù)的增量

可表示為

（其中

是不依賴于

的常數(shù)），而

是比

高階的無窮小，那么稱函數(shù)

在點

是可微的，且

稱作函數(shù)在點

相應于自變量增量

的微分，記作

，即

，

是

的線性主部。通常把自變量

的增量

稱為自變量的微分，記作

，即

。

所以我們常用的微分符號dx其實是把一個函數(shù)附近的變化量寫成一個線性變化量和無窮小量和形式時候的那個線性變量符號，對應的變化量稱為線性主部。能夠這么做的前提稱作可微。也即無窮小量存在，也就是dy / dx所對應的這個極限能夠存在，也就是就是導數(shù)存在了，即可微和可導在一元函數(shù)這里，是完全等價的。

再來看積分。積分的定義并不只有一種，在分析領域有黎曼積分，勒貝格積分，達步積分等等，我們這里采用和我們今天要講內容最相關的黎曼積分，這也是一般的最常用的一個定義，也最直觀：對于給定區(qū)間，我們把它進行無限地分割，直到每一個子區(qū)間的長度都足夠小，如果這樣的分割過程得到的每個區(qū)間長度乘以函數(shù)值的和有極限，那么稱為函數(shù)在對應區(qū)間上的積分。

注意了，這里定義的極限過程是一個物理地不斷增加分割的過程，并非是像求導那樣用epson-dirta語言建立的嚴格的極限，但其中的極限和收斂的思想是一致的。而這樣的收斂結果的物理意義十分明確，就是我們面對曲線邊時候完全不知道怎么求面積時候的解決方案，沒有比把這個極限定義為曲線包圍面積的公式更合適的方式了，它既和物理的真實容積，體積相對應，也滿足我們直接地極限想象，簡直是客觀現(xiàn)象模型與數(shù)學理論的完美融合。

依稀記得，當年我們在高中時候已經(jīng)學過了導數(shù)和積分的定義，但是完全無法理解為什么對積分的求解可以化為導數(shù)的逆運算——求原函數(shù)的差上去，直到大學理解了微積分的思想，這一問題才慢慢想明白。

沒錯，我們學的那個用原函數(shù)求積分的公式，就是今天要講的微積分基本定理！

哈哈，基本，這真是太基本了！

微積分基本定理的內容

第一基本定理

設

，

為連續(xù)函數(shù)，對所有的

，定義函數(shù) F 如下：

則 F 在閉區(qū)間 [a,b] 連續(xù)，并在開區(qū)間 (a, b)可微，且對所有在開區(qū)間 (a, b) 中的 x，有

第二基本定理

假設有兩函數(shù)，

，若滿足以下條件：

且F 是閉區(qū)間 [a,b] 上的連續(xù)函數(shù)，

f 是黎曼可積函數(shù)，

則有：

常簡記為

沒錯，微積分基本定理一共有兩條，我們分別來看。

微積分第一基本定理告訴我們，變上限積分和求導這兩個泛函互為反函數(shù)。注意這里的積分下限不是變量是常數(shù)，而上線就是我們的代表變量x，而隨著a參數(shù)的不同，其結果應該相差一個常數(shù)，有一族函數(shù)都滿足條件。

其嚴格的證明需要用到第一積分中值定理，剩下就是微積分的基本定義了，這里我不抄一遍了，因為我覺得對其物理意義的理解更加重要。積分的物理意義就是函數(shù)和x軸圍城的帶符號的面積，而變上限積分把這個面積和x終點之間的函數(shù)關系扣下來變成了積分。那么這個函數(shù)的導數(shù)的物理意義是什么呢，不就是x每增加一個小量，y增加的小量么？那具體到這里的物理意義，不就是x每增加一個面積的橫向長度增加的面積量嗎？這個我們姑且可以定義為，瞬時面積增加速度唄，等于單位前進長度內面積增加量在某個點的極限，這個極限就是這個矩形的高，自然就是原來函數(shù)f(x)的值啊。所以微積分第一基本定理的物理意義就很明確了，一個函數(shù)與x圍成的有向面積的增長瞬時增長速度等于該點的函數(shù)值。

怪不得微積分這玩意還得記物理學家牛頓一大功，畢竟這里最典型乃至核心的應用就是牛頓力學和運動學了。

有了這個，那微積分第二定理就顯而易見了。只需要取x = b和a作差，帶入后根據(jù)微積分的定義就可以求得了。再用中值定理去證明一遍，雖然嚴謹，但是少了數(shù)學的物理意義和直覺以及主干思路清晰簡明的美。

那這個微積分第二定理相信你看著有點熟悉，沒錯，它更有名的名字應該叫做牛頓-萊布尼茲公式，是由他們兩人各自獨立發(fā)現(xiàn)，競爭之后誰也不服誰就被后人共同命名的。畢竟爭下這種級別公式的命名權就和獲得一個上前面活在人們心中的機會一樣，誰都是要撕破臉的，科學家這等聰明人，并不是圣人，只會有過之而無不及。

總結和暢想

其實啊，很多數(shù)學定理，尤其是那種最初等根本的定理，看起來就是在說一個很顯然的事實，有時候其證明雖然晦澀，用的人也不會去管證明細節(jié)。但是直觀看上去，其成立要么揭示了一種本質的結構，比如算術基本定理和代數(shù)基本定理；要么就是源于我們本身對數(shù)學大廈的構建，如微積分基本定理，無論哪種，都是深刻而安全地向我們挖掘著這上帝給我們留下的寶藏，希望我們的一生中間能夠多獲得一點這樣的洗禮，而不至于白走一遭。

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