在解決幾何問(wèn)題中，“一線三等角，K形全等”的基本圖形常常出現(xiàn)，我們稱之為“三垂直模型”，掌握好該模型及其變形，有助于我們解決復(fù)雜幾何數(shù)學(xué)題。
“三垂直模型”的一般形式：
這是最基礎(chǔ)的“三垂直模型”，在同一直線上有三個(gè)直角，即∠D=∠ACB=∠E，且BC=AC，那么可以通過(guò)“AAS”或“AAS”判定兩個(gè)三角形全等。兩個(gè)三角形已經(jīng)滿足兩個(gè)條件，加上∠B+∠BCD=90°，∠BCD+∠ACE=90°，所以得到∠B=∠ACE，那么通過(guò)“AAS”得到△BDC≌△CEA。
其它“三垂直模型”：
證明的方法與上面類似，通過(guò)直角三角形兩個(gè)銳角互余，得到兩個(gè)角相等，從而證明兩個(gè)三角形全等。
例題1：如圖，∠ACB=90°，AC=BC，AE⊥CE于點(diǎn)E，BD⊥CD于點(diǎn)D，AE=5cm，BD=2cm，求DE的長(zhǎng)
分析：看到等腰直角三角形，我們應(yīng)該可以想到很多結(jié)論，比如“三線合一”，比如在等腰直角三角形的斜邊中點(diǎn)處構(gòu)造直角與兩腰相交，會(huì)得到一個(gè)新的等腰直角三角形等等。
并且，等腰直角三角形滿足一個(gè)角為直角，且兩條腰相等，因此我們也常構(gòu)造“三垂直”模型，過(guò)頂點(diǎn)的一條直線繞著頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，過(guò)兩個(gè)底角頂點(diǎn)做該直線的垂線，可以構(gòu)造出“三垂直模型”，有“內(nèi)K圖”，也有“外K圖”。
本題可根據(jù)AAS證明△ACE≌△CBD，可得AE=CD=5cm，CE=BD=2cm，由此即可解決問(wèn)題。
本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問(wèn)題。
例題2：如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，以斜邊AB為邊向外作正方形ABDE，連接CE，求CE的長(zhǎng)
分析：延長(zhǎng)AC，過(guò)E作EF⊥AF，垂足為F，由ABDE為正方形，利用正方形的性質(zhì)得到一對(duì)角為直角，AE=AB，利用同角的余角相等得到一對(duì)角相等，再由一對(duì)直角相等，利用AAS得到三角形AEF與三角形ABC全等，利用全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等得到EF=AC=6，AF=BC=8，由FA+AC求出FC的長(zhǎng)，在直角三角形CEF中，利用勾股定理即可求出EC的長(zhǎng)．
此題考查了勾股定理，正方形的性質(zhì)，以及全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握勾股定理是解本題的關(guān)鍵。
通過(guò)這兩題可以發(fā)現(xiàn)，如果出現(xiàn)等腰直角三角形或者正方形時(shí)，我們可以試著構(gòu)造”三垂直模型“得到全等三角形，從而進(jìn)行解題。
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