2022年08月30日星期二
小丫同學(xué)的初中暑假最后一天。
七月份，縣中預(yù)報(bào)名時(shí)發(fā)了一本新高一銜接暑假作業(yè)，小丫同學(xué)完成后，堅(jiān)決不肯再做任何我提議的預(yù)習(xí)，每天除了畫(huà)畫(huà)，就看動(dòng)畫(huà)片。有時(shí)我會(huì)很焦慮：這高中生年紀(jì)，別人家姑娘估摸都看看言情小說(shuō)、電視劇之類(lèi)的吧？我家這個(gè)，咋還整天喜羊羊與灰太狼？
分班信息出來(lái)后，小丫同學(xué)自己去了趟學(xué)校。新同學(xué)很快有了新群，她不斷感嘆新同學(xué)可真卷啊，她忍不住也撿起課本?？刹唬裉炀毩?xí)時(shí)，提出個(gè)為什么，挺有意思，我趕緊記下。暗自決定，以后時(shí)常記錄小丫同學(xué)的高中生活觸動(dòng)，暫時(shí)就名《高中記》。
北師大版普高教科書(shū)數(shù)學(xué)必修一第一章《預(yù)備知識(shí)》第三節(jié)《不等式》第27頁(yè)上，定義了基本不等式、算術(shù)平均值與幾何平均值。前兩個(gè)，小丫同學(xué)很容易就看懂，她說(shuō)初中時(shí)學(xué)過(guò)差不多的?？傻降谌齻€(gè)“根號(hào)ab稱(chēng)為a，b的幾何平均值?！彼龁?wèn):“為什么這樣叫幾何平均值？”
我這沒(méi)教過(guò)高中數(shù)學(xué)的初中教師一下子被問(wèn)懵：我哪知道為什么啊？楞了一下，后來(lái)這樣回答她:“這是書(shū)上給的一個(gè)新定義。按照這個(gè)定義規(guī)定的方法，學(xué)會(huì)使用它即可。就像數(shù)學(xué)家們規(guī)定1+1=2，我們從它開(kāi)始學(xué)計(jì)算，可陳景潤(rùn)也沒(méi)辦法說(shuō)清楚為什么要讓1+1=2，我們普通人就更說(shuō)不清為什么了。將來(lái)你要能去讀研，讀博，就可以研究這些為什么，要不然怎叫研究生？”
小丫同學(xué)滿(mǎn)臉懷疑，不甘心，又質(zhì)疑?！翱蔀槭裁此麄円@樣定義幾何平均值呢？我還是想知道?！蔽蚁肓讼?，只能用初中數(shù)學(xué)中定理與公理的差別又類(lèi)比了一下。要區(qū)別“定理”與“公理”，又得重新解釋一下“命題”。郭先生聽(tīng)到我們娘倆探討，忍不住橫插一句:“別爭(zhēng)了，手機(jī)搜一下不就成了?！?/span>
原來(lái)，幾何平均值并不是書(shū)中直接字意看到的那樣。幾個(gè)正數(shù)的積開(kāi)項(xiàng)數(shù)次方根，才叫這幾個(gè)正數(shù)的幾何平均值。譬如，三個(gè)正數(shù)a，b，c，把積abc開(kāi)三次方根，才能得到這三個(gè)正數(shù)的幾何平均值。幾何平均值，是有對(duì)象針對(duì)性的，必修一里定義的，只是兩個(gè)非負(fù)數(shù)的幾何平均值。初學(xué)者很容易誤解為幾何平均值是幾個(gè)數(shù)的積開(kāi)二次方根，其實(shí)將來(lái)遇到n個(gè)正數(shù)的幾何平均值，得把積開(kāi)n次方根。
瞅瞅，高一數(shù)學(xué)會(huì)成為絕大多數(shù)孩子的噩夢(mèng)，就因這般。小學(xué)數(shù)學(xué)100分總分能考七八十分的孩子，進(jìn)入初一剛學(xué)前兩章《有理數(shù)》和《整式的加減》時(shí)，倘若還用小學(xué)思維學(xué)，大概率會(huì)考五六十分，很正常；初中數(shù)學(xué)120分總分能考八九十分的孩子，進(jìn)入高一學(xué)前兩章，150分總分考個(gè)三四十分都是家常便飯。高中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)，每節(jié)課上都爆滿(mǎn)，許多細(xì)節(jié)高中老師還會(huì)認(rèn)為同學(xué)們?cè)诔踔幸褜W(xué)過(guò)。實(shí)際上，可能在初中教學(xué)要求里就只是簡(jiǎn)單選學(xué)內(nèi)容，或是考察得非?；A(chǔ)，只需識(shí)記。新課程標(biāo)準(zhǔn)把初高中的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)結(jié)合起來(lái)，大抵就是希望教學(xué)者能關(guān)注到銜接與過(guò)渡的自然。
借小丫同學(xué)這個(gè)“為什么”，我重新翻閱了一下縣中使用的北師大版高一數(shù)學(xué)課本。發(fā)覺(jué)高中數(shù)學(xué)課本提出新概念和新定義的過(guò)程直接了當(dāng)，然后多半直接就考察變化的應(yīng)用。淺白點(diǎn)說(shuō)，就是你看見(jiàn)一個(gè)新東西，知道了這個(gè)新東西，得馬上照新規(guī)則能解相應(yīng)的變化題。而初中數(shù)學(xué)，學(xué)一個(gè)新東西要進(jìn)行很多鋪墊，提倡從觀察開(kāi)始，提出猜想，進(jìn)行驗(yàn)證，最后再學(xué)使用，并且運(yùn)用過(guò)程也單一直接，就是說(shuō)這節(jié)新課學(xué)啥，做題時(shí)就直接用它。這是一個(gè)閉環(huán)的思維與經(jīng)歷，可我們初中老師們?yōu)榱粟s進(jìn)度、追分?jǐn)?shù)，往往更喜歡使用直接有效的刷題策略。
看起來(lái)初高中數(shù)學(xué)最終都回歸到運(yùn)用。可實(shí)際上高中數(shù)學(xué)的運(yùn)用力度與初中數(shù)學(xué)完全不一樣，幾乎沒(méi)有單一使用度，一定注重變化性。所以，需要孩子們建立起自主探究為什么的思維，否則進(jìn)入高一數(shù)學(xué)，每節(jié)課都只能囫圇吞棗，很快就會(huì)跟不上繁多的新知識(shí)運(yùn)用。
每次一聽(tīng)到郭先生這高中教師埋汰學(xué)生不聰明還不努力，我會(huì)忍不住埋汰他：“你們高中老師一定要好好寶貝一下已經(jīng)上高中的孩子們啊！要知道，這些能考進(jìn)你們重點(diǎn)高中的娃，哪一個(gè)在原來(lái)初中學(xué)校不是偏優(yōu)秀？上高中后本來(lái)落差感就巨大，你們來(lái)試試初升高不到百分之三十升學(xué)率的感覺(jué)，就會(huì)知道——那些最優(yōu)秀的娃，真不是我們老師教出來(lái)的，人家就是天生的?；蛘哒f(shuō)，大多數(shù)孩子與我們一樣只是普通智商，這個(gè)時(shí)候，家庭教育鑄就的好習(xí)慣，加上孩子自身努力，也能鍛造出真金白銀來(lái)......”又扯遠(yuǎn)了。言歸正傳，總而言之，高中數(shù)學(xué)得自己多琢磨為什么。反正，我也基本上做不了。哎，回到定理、公理與命題的理解上來(lái)吧。
一般地，數(shù)學(xué)上把對(duì)某一件事情作出判斷的陳述句叫做命題。命題可用語(yǔ)言、符號(hào)或式子表達(dá)；結(jié)構(gòu)上，命題由題設(shè)與結(jié)論兩部分組成，題設(shè)與結(jié)論可用關(guān)聯(lián)詞“如果……那么……”來(lái)改寫(xiě)，“如果”后面的內(nèi)容就是假設(shè)條件即題設(shè)，“那么”后面的內(nèi)容就是由假設(shè)條件推出來(lái)的結(jié)論；命題分真命題和假命題，題設(shè)作出的判斷成立就叫真命題，題設(shè)作出的判斷是錯(cuò)誤的就叫假命題。
經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期實(shí)踐后公認(rèn)為正確的命題就叫做公理。用推理的方法判斷為真的命題叫做定理。真命題不一定是定理，定理一定是真命題。
有的教師現(xiàn)在直接稱(chēng)公理為基本事實(shí)，任何版本的初中數(shù)學(xué)教材都有關(guān)于直線、線段、垂線、平行線的公理。初中數(shù)學(xué)老師講課時(shí)，會(huì)告訴學(xué)生“公理是用來(lái)推導(dǎo)其他命題的起點(diǎn)?！比纭皟芍本€平行，同位角相等”是平行線的性質(zhì)公理，由它可以去證明到平行線的另兩個(gè)性質(zhì)定理“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等”與“兩直線平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)”。
定理的證明是從假設(shè)出發(fā)，推出結(jié)論。也就是說(shuō)，一個(gè)命題的假設(shè)成立，由這些假設(shè)條件推出的結(jié)論也成立，毋需加上額外條件，那這個(gè)命題就成為了定理。所以，定理都是已被論證或能被論證的真命題。
數(shù)學(xué)中，只有重要或有趣的陳述才叫定理，證明定理是數(shù)學(xué)的中心活動(dòng)。相信為真但未被證明的數(shù)學(xué)敘述為猜想，當(dāng)它被證明為真命題后便是定理。人類(lèi)數(shù)學(xué)史上，有許多非常著名的數(shù)學(xué)猜想。美國(guó)有個(gè)數(shù)學(xué)研究所收集了數(shù)學(xué)歷史上極其重要的十大經(jīng)典難題，解答出其中任何一題的第一個(gè)人可以獲得100萬(wàn)美元獎(jiǎng)金。目前，只有一個(gè)人得過(guò)這項(xiàng)獎(jiǎng)金，也就是說(shuō)，還有900萬(wàn)美金等待著未來(lái)成為數(shù)學(xué)家的人們。
因?yàn)槎ɡ砑捌渥C明是處于數(shù)學(xué)的核心，它們很大程度上也是數(shù)學(xué)之美的體現(xiàn)。所以定理可以被描述為”平凡” “困難”，或者“深入” ，更甚是“美麗”。當(dāng)一個(gè)孩子能感受到數(shù)學(xué)之美時(shí)，對(duì)他而言，任何升學(xué)考試，數(shù)學(xué)就都不會(huì)成為問(wèn)題。那怎樣才能讓中小學(xué)生感受到數(shù)學(xué)之美呢？這就成了一個(gè)課題。
新學(xué)期伊始，在講數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)的同時(shí)，我準(zhǔn)備給孩子們也時(shí)不時(shí)講講數(shù)學(xué)家和他們發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律的故事。對(duì)愛(ài)探究“為什么”的孩子而言，指不定在不斷的“為什么”里，會(huì)產(chǎn)生不同的為什么。感謝小丫同學(xué)帶給媽媽的思考。（2022.10.04）
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