本篇為筆者發(fā)表在《新高考》雜志上的系列文章。
你見過印有數(shù)學(xué)公式的郵票嗎？早在1971年，尼加拉瓜就曾經(jīng)發(fā)行過十張一套題為“改變世界面貌的十個(gè)數(shù)學(xué)公式”的郵票。這些郵票是根據(jù)一些著名數(shù)學(xué)家選出的十個(gè)對(duì)世界發(fā)展極有影響的數(shù)學(xué)公式進(jìn)行設(shè)計(jì)的。其實(shí)，這十個(gè)數(shù)學(xué)公式中，除了“手指計(jì)數(shù)基本法則”、“勾股定理”和“納皮爾指數(shù)與對(duì)數(shù)關(guān)系公式”三個(gè)純屬數(shù)學(xué)學(xué)科外，其余七個(gè)公式則包含著豐富的物理內(nèi)涵。
下面，向你展示這些具有物理內(nèi)涵的數(shù)學(xué)公式郵票圖片，介紹公式的物理意義及相關(guān)物理學(xué)家的事跡。
●阿基米德杠桿原理
——F1x1=F2x2
在力學(xué)里，典型的杠桿是置放連結(jié)在一個(gè)支撐點(diǎn)上的硬棒，這硬棒可以繞著支撐點(diǎn)旋轉(zhuǎn)。當(dāng)杠桿處于靜止?fàn)顟B(tài)或勻速轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)時(shí)，我們就稱之為杠桿平衡。公式F1x1=F2x2，即動(dòng)力×動(dòng)力臂=阻力×阻力臂，就是杠桿平衡的條件。當(dāng)動(dòng)力臂大于阻力臂時(shí)，動(dòng)力小于阻力，杠桿省力；當(dāng)動(dòng)力臂小于阻力臂時(shí)，動(dòng)力大于阻力，杠桿費(fèi)力；當(dāng)動(dòng)力臂等于阻力臂時(shí)，動(dòng)力等于阻力，杠桿既不省力也不費(fèi)力。杠桿原理是由阿基米德發(fā)現(xiàn)的，故稱為阿基米德杠桿原理。
阿基米德（公元前287年?公元前212年）是古希臘哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家、發(fā)明家、工程師、天文學(xué)家。他出生于西西里島的敘拉古，第二次布匿戰(zhàn)爭(zhēng)時(shí)期死于羅馬士兵之手。阿基米德對(duì)物理學(xué)的影響極為深遠(yuǎn)；他對(duì)于數(shù)學(xué)的貢獻(xiàn)，使阿基米德被很多人視為歐洲古代最杰出的數(shù)學(xué)家，和所有時(shí)代最杰出的數(shù)學(xué)家之一。他曾和牛頓及高斯被西方評(píng)價(jià)為有史以來最偉大的三位數(shù)學(xué)家。
在埃及公元前一千五百年前左右，就有人用杠桿來抬起重物，不過人們不知道它的道理。在阿基米德發(fā)現(xiàn)杠桿原理之前，是沒有人能夠解釋的。當(dāng)時(shí)，有的哲學(xué)家在談到這個(gè)問題的時(shí)候，一口咬定說，這是“魔性”。阿基米德則根本不承認(rèn)這種看法。
在《論平面圖形的平衡》一書中，阿基米德最早提出了杠桿原理。他首先把杠桿實(shí)際應(yīng)用中的一些經(jīng)驗(yàn)知識(shí)當(dāng)作“不證自明的公理”，然后從這些公理出發(fā)，運(yùn)用幾何學(xué)通過嚴(yán)密的邏輯論證，得出了杠桿原理。這些公理是：(1)在無重量的桿的兩端離支點(diǎn)相等的距離處掛上相等的重量，它們將平衡；(2)在無重量的桿的兩端離支點(diǎn)相等的距離處掛上不相等的重量，重的一端將下傾；(3)在無重量的桿的兩端離支點(diǎn)不相等距離處掛上相等重量，距離遠(yuǎn)的一端將下傾；(4)一個(gè)重物的作用可以用幾個(gè)均勻分布的重物的作用來代替，只要重心的位置保持不變。相反，幾個(gè)均勻分布的重物可以用一個(gè)懸掛在它們的重心處的重物來代替……正是從這些公理出發(fā)，在“重心”理論的基礎(chǔ)上，阿基米德發(fā)現(xiàn)了杠桿原理。
阿基米德說：“給我一個(gè)支點(diǎn)，我就可以移動(dòng)地球！”但是，這樣的支點(diǎn)是無法找到的。希臘國(guó)王不相信杠桿有此神奇的作用，阿基米德便借了一艘大船，他運(yùn)用杠桿原理以及滑輪巧妙地組合機(jī)械，船載滿乘客及貨物后，讓國(guó)王用手輕輕的拉一條繩子，大船就直線前進(jìn)了，令國(guó)王很是驚訝與佩服。
在保衛(wèi)敘拉古免受羅馬海軍襲擊的戰(zhàn)斗中，阿基米德利用杠桿原理制造了遠(yuǎn)、近距離的投石器，利用它射出各種飛彈和巨石攻擊敵人，曾把羅馬人阻于敘拉古城外達(dá)三年之久。
阿基米德的成就，除杠桿原理外，還有著名的浮力原理——“物體在液體中的浮力等於它所排開的液體重量”。相傳希臘國(guó)王讓人打造了一個(gè)王冠,但懷疑工匠在其中摻雜了其他金屬,于是問阿基米德能否判別出來.后來阿基米德在澡盆里洗澡的時(shí)候看到水往外溢，同時(shí)感到身體被輕輕托起,突發(fā)奇想,發(fā)現(xiàn)了浮力原理。
他也是杰出的數(shù)學(xué)家，著有《圓的量度》《拋物線的求積》《論螺線》《論球和圓柱》《論劈錐曲面體和球體》《數(shù)沙術(shù)》《論平板的平衡》等書。阿基米德最得意的杰作是導(dǎo)出圓柱內(nèi)切球體的體積是圓柱體積的2/3倍，這個(gè)圖形就刻在他的墓碑上。
需要指出的是，我國(guó)古代的勞動(dòng)人民在生產(chǎn)實(shí)踐中早就使用杠桿了，至春秋時(shí)期應(yīng)用桔槔已相當(dāng)普遍。桔槔是一種提水灌溉的器具，它是用一根橫梁拴在直立的木樁或樹桿上，可自由轉(zhuǎn)動(dòng)，橫梁一端用長(zhǎng)繩垂下水桶，另一端則以重物平衡，用這種器具提水可大大減輕勞動(dòng)強(qiáng)度（如圖所示）。桔槔事實(shí)上就是一種杠桿。另外，在長(zhǎng)沙左家公山，曾出土戰(zhàn)國(guó)初期根據(jù)杠桿原理制造的天平。我國(guó)戰(zhàn)國(guó)前期興起的墨家學(xué)派，總結(jié)了當(dāng)時(shí)使用桔槔和天平的經(jīng)驗(yàn)，在《墨經(jīng)》中就有兩條專門記載杠桿原理的。這兩條對(duì)杠桿的平衡說得很全面。里面有等臂的，有不等臂的；有改變兩端重量使它偏轉(zhuǎn)的，也有改變兩臂長(zhǎng)度使它偏轉(zhuǎn)的。墨家在討論杠桿平衡時(shí)，不僅從正面指出使用杠桿時(shí)必須讓杠桿水平達(dá)到平衡，還從反面論述杠桿不平衡的道理。墨家的這一發(fā)現(xiàn)比阿基米德早了約二百年。
●牛頓萬有引力定律
——F=G?m1?m2/?r2
任何兩個(gè)物體之間都存在著因具有質(zhì)量而產(chǎn)生的互相吸引力，人稱“萬有引力”。公式F=G?m1?m2/?r2反映了萬有引力與兩物體的質(zhì)量及距離間的關(guān)系，即萬有引力的大小與兩物體質(zhì)量的乘積成正比，與兩物體距離的平方成反比，式中的G為比例系數(shù)，稱為引力常量。萬有引力定律是由牛頓發(fā)現(xiàn)的。
牛頓（1643年1月4日?1727年3月31日）是英國(guó)物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家、自然哲學(xué)家和煉金術(shù)士。他出生于英國(guó)林肯郡鄉(xiāng)下的一個(gè)小村落伍爾索普村的伍爾索普莊園，逝世后與很多杰出的英國(guó)人一樣被埋葬在威斯敏斯特教堂。牛頓是作為經(jīng)典力學(xué)基礎(chǔ)的牛頓運(yùn)動(dòng)定律的建立者，被譽(yù)為“物理學(xué)之父”。在2005年，英國(guó)皇家學(xué)會(huì)進(jìn)行了一場(chǎng)名為“誰是科學(xué)史上最有影響力的人”的民意調(diào)查，牛頓被認(rèn)為比愛因斯坦更具影響力。
牛頓小時(shí)候并不聰明，功課也不好，身體差、性格沉默又愛做白日夢(mèng)，他的超人才智竟然是被一個(gè)野蠻的同學(xué)踢了一腳而喚醒的！牛頓決心發(fā)奮，誓言在功課上超越他，結(jié)果他不單在學(xué)校中名列前茅，18歲時(shí)便考進(jìn)劍橋大學(xué)。牛頓24歲時(shí)，倫敦發(fā)生流行病，他便返回故鄉(xiāng)，在一年半的時(shí)間里有了三個(gè)非凡的創(chuàng)見，發(fā)明“微積分”，發(fā)現(xiàn)“萬有引力”，發(fā)現(xiàn)“光分七色”。
在大學(xué)里，牛頓學(xué)習(xí)了行星繞太陽運(yùn)動(dòng)的規(guī)律后，腦子中一直盤算著這樣的問題：究竟是什么作用力使得行星繞太陽轉(zhuǎn)個(gè)不停呢？正是在其24歲返鄉(xiāng)期間，有一次，他正坐在花園里的蘋果樹下思考問題，突然一個(gè)蘋果從樹枝上掉了下來。看著落地的蘋果，牛頓的心頭開了竅。牛頓想，蘋果為什么落到地面上，而不向空中“落”去呢？這說明地球?qū)μO果有吸引力。那么，行星能繞太陽轉(zhuǎn)個(gè)不停而不遠(yuǎn)離太陽飛去，是否也是由于行星受到太陽的吸引力呢？他又進(jìn)一步推想，地球?qū)υ铝劣形?，這個(gè)吸引力是否就是使月亮繞地球運(yùn)轉(zhuǎn)的力呢？世界萬物之間的引力又存在著怎樣的規(guī)律呢？
牛頓開始論證地球?qū)υ铝恋囊Υ_實(shí)就是月亮繞地球運(yùn)行所需的向心力，然而由于當(dāng)時(shí)測(cè)量數(shù)據(jù)的誤差，牛頓的努力失敗了。十幾年后，法國(guó)科學(xué)家皮卡爾糾正了有關(guān)數(shù)據(jù)。牛頓得知后立刻聯(lián)想到自己的計(jì)算，他很快按新數(shù)據(jù)重新計(jì)算，終于得到了滿意的結(jié)果。牛頓又用同樣的方法計(jì)算太陽對(duì)地球和其他行星的引力，都證明了萬有引力的存在。
經(jīng)過長(zhǎng)期研究，牛頓終于揭開了萬有引力的秘密，并把這一規(guī)律寫進(jìn)了1681年出版的《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》一書中?？梢赃@樣說，蘋果的“偶然”落地，促成了牛頓發(fā)現(xiàn)萬有引力定律。在《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》，牛頓除了總結(jié)出萬有引力定律外，還提出了三大運(yùn)動(dòng)定律，建立了經(jīng)典力學(xué)的基本體系，該書被譽(yù)為最偉大的科學(xué)著作。
說到萬有引力的發(fā)現(xiàn)，還不得不提到另外三位科學(xué)家，他們是第谷、開普勒和胡克。
第谷是一位偉大的天文觀察家。他在丹麥烏倫堡天文臺(tái)工作期間，親自設(shè)計(jì)改裝天文觀察儀器，加大了儀器的尺寸，提高了儀器的準(zhǔn)確性。在長(zhǎng)達(dá)二十多年的時(shí)間內(nèi)，第谷測(cè)得了上千個(gè)星體的位置數(shù)據(jù)，誤差不超過0.076度，他還發(fā)現(xiàn)了后來以他的名字命名的新星——第谷星，他對(duì)彗星的觀察和研究改變了人們的錯(cuò)誤認(rèn)識(shí)。第谷經(jīng)過長(zhǎng)期的仔細(xì)觀測(cè)，把此前數(shù)百年的星宿表都糾正了過來，他的不少第一手觀測(cè)資料被整理成《路德福天文表》出版，成為研究天體運(yùn)行的寶貴財(cái)富。
開普勒則是一位卓越的理論家。1600年，開普勒成為當(dāng)時(shí)已在布拉格天文臺(tái)工作的第谷的助手。他運(yùn)用第谷臨終前給他留下的全部觀測(cè)資料和手稿，悉心進(jìn)行研究。他在研究觀測(cè)數(shù)據(jù)最詳細(xì)的火星時(shí)發(fā)現(xiàn)，若根據(jù)圓周軌道進(jìn)行計(jì)算，結(jié)果與觀測(cè)數(shù)據(jù)總不能符合得很好。為此，他將行星的運(yùn)動(dòng)軌道大膽地解釋為橢圓，經(jīng)過難以想象的復(fù)雜計(jì)算，他終于在1609年提出了反映行星運(yùn)動(dòng)軌道形狀的第一定律即“軌道定律”和反映行星運(yùn)動(dòng)速度規(guī)律的第二定律即“面積定律”，九年之后又發(fā)現(xiàn)了反映不同行星運(yùn)動(dòng)之間聯(lián)系的第三定律即“周期定律”。
胡克是英國(guó)著名物理學(xué)家，他對(duì)萬有引力也進(jìn)行過富有成效的研究。1674年，胡克在他的《地球運(yùn)動(dòng)的實(shí)驗(yàn)證明》一書中，定性地認(rèn)為天體都是互相吸引的。在一次聚會(huì)中，胡克還同其他幾位科學(xué)家討論過在平方反比的引力作用下物體的軌跡形狀，他表示可以用平方反比關(guān)系證明一切天體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。1679年胡克在給牛頓的信中曾提到，太陽到行星的吸引力跟行星對(duì)太陽的距離的平方成反比。
這些，對(duì)牛頓的研究都產(chǎn)生了一定的影響。牛頓說：“如果我看得比較遠(yuǎn)，是因?yàn)槲艺驹诰奕说募缟??！边@句名言，既體現(xiàn)了牛頓的謙虛，也確實(shí)是萬有引力定律發(fā)現(xiàn)過程的真實(shí)寫照。
最后需要說明的是，牛頓當(dāng)年并沒有給出引力常量的具體數(shù)值。直到100多年后，英國(guó)人卡文迪許利用扭秤，才巧妙測(cè)出了這個(gè)常量，從而使引力公式可以定量計(jì)算物體間的引力大小?？ㄎ牡显S測(cè)出的數(shù)值與近代用更加科學(xué)的方法測(cè)定的數(shù)值非常接近。
●麥克斯韋電磁方程組
——▽·D=ρ等
電磁方程組含有四個(gè)方程，不僅分別描述了電場(chǎng)和磁場(chǎng)的行為，也描述了它們之間的關(guān)系。由于其中除了高中物理中介紹的電場(chǎng)強(qiáng)度E、磁感應(yīng)強(qiáng)度B外，還涉及高中學(xué)生所不熟悉的磁場(chǎng)強(qiáng)度H及電位移D，并涉及微分、積分、散度、旋度等高等數(shù)學(xué)運(yùn)算，此處不便具體列出。四個(gè)方程分別表達(dá)了：電荷是如何產(chǎn)生電場(chǎng)的（高斯定理）；驗(yàn)證了磁單極子的不存在(高斯磁場(chǎng)定律)；電流和變化的電場(chǎng)是怎樣產(chǎn)生磁場(chǎng)的（安培定律），以及變化的磁場(chǎng)是如何產(chǎn)生電場(chǎng)的（法拉第電磁感應(yīng)定律）。最初形式的電磁方程組是由麥克斯韋建立的。
麥克斯韋（1831年6月13日?1879年11月5日）是英國(guó)物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家，經(jīng)典電動(dòng)力學(xué)的創(chuàng)始人，統(tǒng)計(jì)物理學(xué)的奠基人之一 。他出生于蘇格蘭愛丁堡，卒于劍橋。麥克斯韋主要從事電磁理論、分子物理學(xué)、統(tǒng)計(jì)物理學(xué)、光學(xué)、力學(xué)、彈性理論方面的研究。尤其是他建立的電磁場(chǎng)理論，將電學(xué)、磁學(xué)、光學(xué)統(tǒng)一起來，是19世紀(jì)物理學(xué)發(fā)展的最光輝的成果。在科學(xué)史上，麥克斯韋可與牛頓齊名。因?yàn)?，牛頓把天上和地上的運(yùn)動(dòng)規(guī)律統(tǒng)一起來，實(shí)現(xiàn)了第一次大綜合，而麥克斯韋則把電、光統(tǒng)一起來，實(shí)現(xiàn)了第二次大綜合。麥克斯韋被普遍認(rèn)為是對(duì)物理學(xué)最有影響力的物理學(xué)家之一。
在麥克斯韋以前的許多年間，人們就對(duì)電和磁這兩個(gè)領(lǐng)域進(jìn)行了廣泛的研究，人們都知道這兩者是密切相關(guān)的。適用于特定場(chǎng)合的各種電磁定律已被發(fā)現(xiàn)，但是在麥克斯韋之前卻沒有形成完整、統(tǒng)一的學(xué)說。當(dāng)時(shí)，關(guān)于電磁現(xiàn)象的學(xué)說都以超距作用觀念為基礎(chǔ)。認(rèn)為帶電體、磁化體或載流導(dǎo)體之間的相互作用，都是可以超越中間媒質(zhì)而直接進(jìn)行，并立即完成的。即認(rèn)為電磁擾動(dòng)的傳播速度是無限大。在那個(gè)時(shí)期，持不同意見的只有法拉第。他認(rèn)為上述這些相互作用與中間媒質(zhì)有關(guān)，是通過中間媒質(zhì)的傳遞而進(jìn)行的，即主張間遞學(xué)說。
直至1845年，關(guān)于電磁現(xiàn)象的三個(gè)最基本的實(shí)驗(yàn)定律：庫侖定律（1785年），畢奧-薩伐爾定律（1820年），法拉第定律（1831?1845年）已被總結(jié)出來。
麥克斯韋大約于1855年開始研究電磁學(xué)，在潛心研究了法拉第關(guān)于電磁學(xué)方面的新理論和思想之后，堅(jiān)信法拉第的新理論包含著真理。于是他抱著給法拉第的理論“提供數(shù)學(xué)方法基礎(chǔ)”的愿望，決心把法拉第的天才思想以清晰準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)形式表示出來。他在前人研究成果的基礎(chǔ)上，參照流體力學(xué)的模型，應(yīng)用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)形式總結(jié)了前人的工作，提出了位移電流的假說，推廣了電流的涵義，對(duì)整個(gè)電磁現(xiàn)象作了系統(tǒng)、全面的研究。在1855年至1864年的十年間，他憑借高深的數(shù)學(xué)造詣和豐富的想象力，接連發(fā)表了電磁場(chǎng)理論的三篇論文（《論法拉第的力線》、《論物理的力線》和《電磁場(chǎng)的動(dòng)力學(xué)理論》），對(duì)前人和他自己的工作進(jìn)行了綜合概括，將電磁場(chǎng)理論用簡(jiǎn)潔、對(duì)稱、完美數(shù)學(xué)形式表示出來。
不過，麥克斯韋1865年提出的最初形式的方程組由20個(gè)等式和20個(gè)變量組成。他在1873年嘗試用四元數(shù)來表達(dá)，但未成功。現(xiàn)在所使用的數(shù)學(xué)形式是奧利弗·赫維賽德和約西亞·吉布斯于1884年以矢量分析的形式重新表達(dá)的。
1873年麥克斯韋出版了科學(xué)名著《電磁理論》，系統(tǒng)、全面、完美地闡述了電磁場(chǎng)理論。這部經(jīng)典著作可與牛頓的《數(shù)學(xué)原理》（力學(xué)）、達(dá)爾文的《物種起源》（生物學(xué)）相提并論。
麥克斯韋電磁場(chǎng)理論的要點(diǎn)可以歸結(jié)為：(1)幾分立的帶電體或電流，它們之間的一切電的及磁的作用都是通過它們之間的中間區(qū)域傳遞的，不論中間區(qū)域是真空還是實(shí)體物質(zhì)；(2)電能或磁能不僅存在于帶電體、磁化體或帶電流物體中，其大部分分布在周圍的電磁場(chǎng)中；(3)導(dǎo)體構(gòu)成的電路若有中斷處，電路中的傳導(dǎo)電流將由電介質(zhì)中的位移電流補(bǔ)償貫通，即全電流連續(xù)。且位移電流與其所產(chǎn)生的磁場(chǎng)的關(guān)系與傳導(dǎo)電流的相同；(4)磁通量既無始點(diǎn)又無終點(diǎn)，即不存在磁荷；(5)光波也是電磁波。
麥克斯韋的這一理論成為了經(jīng)典物理學(xué)的重要支柱之一。據(jù)此，他預(yù)言了電磁波的存在，電磁波只可能是橫波，并計(jì)算了電磁波的傳播速度等于光速，揭示了光現(xiàn)象和電磁現(xiàn)象之間的聯(lián)系。23年后，德國(guó)物理學(xué)家赫茲用實(shí)驗(yàn)證實(shí)了麥克斯韋關(guān)于電磁波的預(yù)測(cè)。麥克斯韋電磁場(chǎng)理論是無線廣播的理論基礎(chǔ)，也是愛因斯坦狹義相對(duì)論的重要背景。
此外，在熱力學(xué)與統(tǒng)計(jì)物理學(xué)方面麥克斯韋也做出了重要貢獻(xiàn)。他首次用統(tǒng)計(jì)規(guī)律得出麥克斯韋速度分布律，從而找到了由微觀兩求統(tǒng)計(jì)平均值的更確切的途徑。他給出了分子按速度的分布函數(shù)的新推導(dǎo)方法，這種方法是以分析正向和反向碰撞為基礎(chǔ)的。他引入了馳豫時(shí)間的概念，發(fā)展了一般形式的輸運(yùn)理論，并把它應(yīng)用于擴(kuò)散、熱傳導(dǎo)和氣體內(nèi)摩擦過程。 “統(tǒng)計(jì)力學(xué)”這個(gè)術(shù)語也是由麥克斯韋引入的。
麥克斯韋是運(yùn)用數(shù)學(xué)工具分析物理問題和精確地表述科學(xué)思想的大師，同時(shí)也非常重視實(shí)驗(yàn)。他1871年受聘為劍橋大學(xué)新設(shè)立的卡文迪許實(shí)驗(yàn)物理學(xué)教授，負(fù)責(zé)籌建著名的卡文迪許實(shí)驗(yàn)室，1874年建成后擔(dān)任這個(gè)實(shí)驗(yàn)室的第一任主任。在他和以后幾位主任的領(lǐng)導(dǎo)下，卡文迪許實(shí)驗(yàn)室發(fā)展成了舉世聞名的學(xué)術(shù)中心之一。
麥克斯韋嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度和科學(xué)研究方法是人類極其寶貴的精神財(cái)富，他的電磁學(xué)理論為電器時(shí)代奠定了基石，為近代科學(xué)技術(shù)開辟了一條嶄新的道路。愛因斯坦在麥克斯韋百年誕辰的紀(jì)念會(huì)上曾對(duì)他做出這樣的高度評(píng)價(jià)：“麥克斯韋的工作是自牛頓以來，物理學(xué)上影響最深遠(yuǎn)與豐碩的工作。
●愛因斯坦質(zhì)能關(guān)系式
——E=mc2
質(zhì)能關(guān)系式E=mc2中，E為系統(tǒng)的總能量，m為系統(tǒng)的總質(zhì)量，c為光速。這個(gè)關(guān)系式表示物質(zhì)系統(tǒng)的質(zhì)量和能量之間存在著等當(dāng)關(guān)系。需要說明的是，這里的質(zhì)量是廣義的質(zhì)量，包含靜質(zhì)量和各種能量中所對(duì)應(yīng)的動(dòng)質(zhì)量；這里的能量也是廣義的能量，包含靜能和動(dòng)能，其中靜能指物體靜止時(shí)具有的總能量，包括分子動(dòng)能、分子勢(shì)能，使原子與原子結(jié)合在一起的核能等。若物體的能量增加（或減少）△E，則其質(zhì)量也相應(yīng)增加（或減少）△m。質(zhì)能關(guān)系式是由愛因斯坦首先發(fā)現(xiàn)的。
愛因斯坦（1879年3月14日～1955年4月18日）是20世紀(jì)猶太裔理論物理學(xué)家。他出生于德國(guó)小鎮(zhèn)烏爾姆，逝世于普林斯頓。愛因斯坦創(chuàng)立了現(xiàn)代物理學(xué)的兩大支柱之一的相對(duì)論（另一支柱是量子力學(xué)），在科學(xué)哲學(xué)領(lǐng)域頗具影響力。因?yàn)椤皩?duì)理論物理的貢獻(xiàn)，特別是發(fā)現(xiàn)了光電效應(yīng)”，他榮獲1921年諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)。這項(xiàng)發(fā)現(xiàn)為量子理論的建立踏出了關(guān)鍵性的一步。
1905年6月，愛因斯坦完成了開創(chuàng)物理學(xué)新紀(jì)元的長(zhǎng)論文《論運(yùn)體的電動(dòng)力學(xué)》，完整
地提出了狹義相對(duì)論。這是愛因斯坦10年醞釀和探索的結(jié)果，它在很大程度上解決了19世紀(jì)末出現(xiàn)的古典物理學(xué)的危機(jī)，改變了牛頓力學(xué)的時(shí)空觀念，揭露了物質(zhì)和能量的相當(dāng)性，創(chuàng)立了一個(gè)全新的物理學(xué)世界，是近代物理學(xué)領(lǐng)域最偉大的革命。
狹義相對(duì)論不但可以解釋經(jīng)典物理學(xué)所能解釋的全部物理現(xiàn)象，還可以解釋一些經(jīng)典物理學(xué)所不能解釋的物理現(xiàn)象，并且預(yù)言了不少新的效應(yīng)。它導(dǎo)致了光速是極限速度，導(dǎo)致了不同地點(diǎn)的同時(shí)性只有相對(duì)意義，預(yù)言了長(zhǎng)度收縮和時(shí)鐘變慢，給出了愛因斯坦速度相加公式、質(zhì)量隨速度變化的公式和質(zhì)能關(guān)系式。此外，按照狹義相對(duì)論，光子的靜止質(zhì)量必須是零。
愛因斯坦根據(jù)狹義相對(duì)論導(dǎo)出的質(zhì)能關(guān)系式，加深并發(fā)展了物質(zhì)和運(yùn)動(dòng)的不可分離性原理。揭示了質(zhì)量和能量是等價(jià)的，在本質(zhì)上是同一的，證明了自然界之間存在著深刻的內(nèi)在聯(lián)系和統(tǒng)一性。質(zhì)能關(guān)系式E=mc2被世人稱為“全世界最著名的方程”。
對(duì)于質(zhì)能關(guān)系式的物理本質(zhì)和哲學(xué)解釋，學(xué)術(shù)界存在著各種不同的看法，比較重要的有：(1)認(rèn)為質(zhì)能關(guān)系式在物理學(xué)上表示質(zhì)量和能量的相互轉(zhuǎn)化。與這種看法相聯(lián)系，有人在把質(zhì)量看作物質(zhì)的根本標(biāo)志，把能量看作運(yùn)動(dòng)的根本標(biāo)志的前提下，得出物質(zhì)轉(zhuǎn)化為運(yùn)動(dòng)，因而物質(zhì)可以“消滅”的唯心主義結(jié)論；有人則強(qiáng)調(diào)物質(zhì)不能歸結(jié)為質(zhì)量，能量不能歸結(jié)為運(yùn)動(dòng)，質(zhì)量和能量的相互轉(zhuǎn)化并不表示物質(zhì)和運(yùn)動(dòng)可以相互轉(zhuǎn)化，而只表示物質(zhì)兩種基本屬性之間的轉(zhuǎn)化。(2)認(rèn)為質(zhì)能關(guān)系式的物理含義在于揭示了質(zhì)量和能量的不可分割性，而不是它們之間的相互轉(zhuǎn)化。即物質(zhì)系統(tǒng)中一定的質(zhì)量總是同嚴(yán)格確定的能量相聯(lián)系，沒有能量就沒有質(zhì)量，沒有質(zhì)量也就沒有能量。二者在數(shù)學(xué)上的等當(dāng)關(guān)系并不意味著相互間沒有質(zhì)的區(qū)別，而是表明它們是在不可分割的聯(lián)系中存在的。因此，只能把質(zhì)能關(guān)系式理解并表述為質(zhì)量和能量的不可分割性原理，從而表明物質(zhì)和運(yùn)動(dòng)的不可分離性。
在狹義相對(duì)論的基礎(chǔ)上，十年之后，愛因斯坦進(jìn)一步提出了廣義相對(duì)論。他用幾何語言描述的引力理論，代表了現(xiàn)代物理學(xué)中引力理論研究的最高水平。廣義相對(duì)論將經(jīng)典的牛頓萬有引力定律包含在狹義相對(duì)論的框架中，并在此基礎(chǔ)上應(yīng)用等效原理而建立。在廣義相對(duì)論中，引力被描述為時(shí)空的一種幾何屬性（曲率）；而這種時(shí)空曲率與處于時(shí)空中的物質(zhì)與輻射的能量-動(dòng)量張量直接相聯(lián)系，其聯(lián)系方式即是愛因斯坦的引力場(chǎng)方程（一個(gè)二階非線性偏微分方程組）。
從廣義相對(duì)論得到的有關(guān)預(yù)言和經(jīng)典物理中的對(duì)應(yīng)預(yù)言非常不相同，尤其是有關(guān)時(shí)間流逝、空間幾何、自由落體的運(yùn)動(dòng)以及光的傳播等問題，例如引力場(chǎng)內(nèi)的時(shí)間膨脹、光的引力紅移和引力時(shí)間延遲效應(yīng)。廣義相對(duì)論的預(yù)言至今為止已經(jīng)通過了所有觀測(cè)和實(shí)驗(yàn)的驗(yàn)證——雖說廣義相對(duì)論并非當(dāng)今描述引力的唯一理論，它卻是能夠與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)相符合的最簡(jiǎn)潔的理論?，F(xiàn)在我們經(jīng)常聽到的黑洞、時(shí)光旅行、空間彎曲等等好像是科幻名詞，可都是相對(duì)論所推導(dǎo)出來的。
愛因斯坦不拘成見，勇于創(chuàng)新?！皯岩梢磺小钡男艞l始終貫穿他的整個(gè)科學(xué)生涯。當(dāng)然，愛因斯坦的杰出科學(xué)成就來之于他堅(jiān)持不懈的毅力。一次，有個(gè)青年人請(qǐng)教愛因斯坦成功的秘訣，愛因斯坦給他寫下了一個(gè)公式：A＝X＋Y＋Z。他解釋說，A代表成功，X代表你付出的努力和勞動(dòng)，Y代表你對(duì)所研究問題的興趣，而Z則表示少說空話，要謙虛謹(jǐn)慎。愛因斯坦有句名言：“科學(xué)研究好像鉆木板，有人喜歡鉆薄的，而我喜歡鉆厚的?！?/p>
愛因斯坦一生總共發(fā)表了300多篇科學(xué)論文和150篇非科學(xué)作品。他為核能開發(fā)奠定了理論基礎(chǔ)，在現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)和他的深刻影響下與廣泛應(yīng)用等方面開創(chuàng)了現(xiàn)代科學(xué)新紀(jì)元，被公認(rèn)為是繼伽利略、牛頓以來最偉大的物理學(xué)家，被譽(yù)為“現(xiàn)代物理學(xué)之父”。1999年12月26日，愛因斯坦被美國(guó)《時(shí)代周刊》評(píng)選為“世紀(jì)偉人”。
●德布羅意公式
——λ=h/mv
公式λ=h/mv確定了粒子或一般實(shí)物的動(dòng)量與物質(zhì)波的波長(zhǎng)之間的關(guān)系，式中λ為物質(zhì)波的波長(zhǎng)，h為普朗克常量（大小為6.63×10-34J·s），mv為粒子或一般實(shí)物的動(dòng)量。物質(zhì)波的概念和波長(zhǎng)公式是由德布羅意首先提出的。
德布羅意（1892年8月15日～1987年3月19日）是法國(guó)著名理論物理學(xué)家，波動(dòng)力學(xué)的創(chuàng)始人，量子力學(xué)的奠基人之一。他出生于法國(guó)北部城市迪耶普，高齡九十五歲時(shí)逝世。
德布羅意本來是學(xué)歷史的，受數(shù)學(xué)家龐加萊的影響而改學(xué)科學(xué)，1924年獲巴黎大學(xué)博士學(xué)位，1932年任巴黎大學(xué)理論物理學(xué)教授，1933年被選為法國(guó)科學(xué)院院士。
受光具有波粒二象性的啟發(fā)，他在博士論文中提出了“物質(zhì)波”的概念。他認(rèn)為波粒二象性不只是光子才有，一切微觀粒子，包括電子和質(zhì)子、中子，都有波粒二象性。他把光子的動(dòng)量與波長(zhǎng)的關(guān)系式p=推廣到一切微觀粒子上，指出：具有質(zhì)量m和速度v的運(yùn)動(dòng)粒子也具有波動(dòng)性，這種波的波長(zhǎng)等于普朗克恒量h跟粒子動(dòng)量mv的比，即λ=，還運(yùn)用愛因斯坦的相對(duì)論進(jìn)行了推導(dǎo)。這個(gè)關(guān)系式后來就叫做德布羅意公式。
從德布羅意公式很容易算出運(yùn)動(dòng)粒子的波長(zhǎng)。例如，電子的電荷是1.6×10-19C，質(zhì)量是0.91×10-30kg，經(jīng)過200V電勢(shì)差加速的電子獲得的能量E=Ue=200×1.6×10-19J=3.2×10-17J。這個(gè)能量就是電子的動(dòng)能，即=3.2×10-17J，因此v=8.39×106m/s。于是，按照德布羅意公式這運(yùn)動(dòng)電子的波長(zhǎng)是λ==8.7×10-11m。這個(gè)波長(zhǎng)與倫琴射線的波長(zhǎng)相仿，這樣短的波長(zhǎng)，只有用晶體做衍射光柵才能觀察到衍射現(xiàn)象。
后來人們的確用這種辦法觀察到了電子的衍射，證實(shí)了德布羅意的看法。1927年，·戴維森在貝爾實(shí)驗(yàn)室將電子射向鎳結(jié)晶，發(fā)現(xiàn)其衍射圖譜和布拉格定律（這原是用于X射線的）預(yù)測(cè)的一樣。在德布羅意假說被接受之前，科學(xué)界認(rèn)為衍射是只會(huì)在波發(fā)現(xiàn)的性質(zhì)。而以上實(shí)驗(yàn)就證明了粒子有波的性質(zhì)，肯定了波粒二象性的學(xué)說。物質(zhì)波的概念為波動(dòng)力學(xué)的發(fā)展提供了重要的理論基礎(chǔ)。從此，物理學(xué)家可以使用德布羅意波長(zhǎng)，并用波動(dòng)方程來解釋物質(zhì)的現(xiàn)象。
物質(zhì)波既不是機(jī)械波，也不是電磁波。機(jī)械波是周期性的振動(dòng)在媒質(zhì)內(nèi)的傳播，電磁波是周期變化的電磁場(chǎng)的傳播，而物質(zhì)波乃是一種幾率波。物質(zhì)波指的是物質(zhì)在空間中某點(diǎn)某時(shí)刻可能出現(xiàn)的幾率，其中概率的大小受波動(dòng)規(guī)律的支配。比如一個(gè)電子，如果是自由電子，那么它的波函數(shù)就是行波，即是說它有可能出現(xiàn)在空間中任何一點(diǎn)，每點(diǎn)幾率相等。如果被束縛在氫原子里，并且處于基態(tài)，那么它出現(xiàn)在空間任何一點(diǎn)都有可能，在最小半徑處幾率最大。
德布羅意關(guān)于物質(zhì)波的論文發(fā)表，在科學(xué)界引起了極大的反響。愛因斯坦驚嘆不已稱道：“瞧瞧吧，看來瘋狂，可真是站得住腳呢！他揭開了一幅大幕的一角”。也驚動(dòng)了老一輩物理學(xué)家：“這些青年人認(rèn)為，拋棄物理學(xué)中老的概念簡(jiǎn)直易如反掌！”1929年，德布羅意因發(fā)現(xiàn)電子的波動(dòng)性而獲得當(dāng)年的諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)。
●玻爾茲曼公式
——S=kInΩ
公式S=kInΩ反映了系統(tǒng)無序性的大小。式中：S是宏觀系統(tǒng)的熵值，是分子運(yùn)動(dòng)或排列混亂程度的衡量尺度；k為玻爾茲曼常量，是熱力學(xué)的一個(gè)基本常量，大小為1.38×10-23J/K；Ω是可能的微觀態(tài)數(shù)，Ω越大，系統(tǒng)就越混亂無序。InΩ表示Ω的自然對(duì)數(shù)（指以常數(shù)e為底數(shù)的對(duì)數(shù)）。玻爾茲曼最早得出了S∝lnΩ，后來人們就將上述公式稱為玻爾茲曼公式。
玻爾茲曼（1844年2月20日～1906年9月5日）是奧地利物理學(xué)家和哲學(xué)家，熱力學(xué)和統(tǒng)計(jì)物理學(xué)的奠基人之一。他生于奧地利的維也納，卒于意大利的杜伊諾。作為一名物理學(xué)家，玻爾茲曼最偉大的功績(jī)是發(fā)展了通過原子的性質(zhì)（例如：原子量，電荷量，結(jié)構(gòu)等等）來解釋和預(yù)測(cè)物質(zhì)的物理性質(zhì)（例如：粘性，熱傳導(dǎo)，擴(kuò)散等等）的統(tǒng)計(jì)力學(xué)，并且從統(tǒng)計(jì)意義對(duì)熱力學(xué)第二定律進(jìn)行了闡釋。
1854年德國(guó)的科學(xué)家克勞修斯首先引進(jìn)了“熵”的概念。熵是表示雜亂程度的一個(gè)量。這個(gè)量在可逆過程不會(huì)變化，在不可逆過程會(huì)變大。像懶蟲的房間，若沒有人替他收拾打掃，房間只會(huì)雜亂下去，決不會(huì)自然變得整齊。熵是希臘語“變化”的意思。生物也離不開“熵增大的法則”，生物需要從體外吸收負(fù)的熵來抵消熵的增大。
1868年，玻爾茲曼利用克勞修斯有關(guān)熵的概念，在《關(guān)于運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)活力平衡研究》的文章中，把麥克斯韋的氣體分子速度分布律從單原子氣體推廣到多原子乃至用質(zhì)點(diǎn)系看待分子體系平衡態(tài)的情況，把統(tǒng)計(jì)學(xué)的思想引入分子運(yùn)動(dòng)論，把物理體系的熵和概率聯(lián)系起來，闡明了熱力學(xué)第二定律的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)，并引出能量均分理論，得到有分子勢(shì)能的麥克斯韋—玻爾茲曼分布定律。他首先指出，一切自發(fā)過程，總是從概率小的狀態(tài)向概率大的狀態(tài)變化，從有序向無序變化。
1872年，玻爾茲曼建立了玻爾茲曼方程，用來描述氣體從非平衡態(tài)到平衡態(tài)過渡的過程。玻爾茲曼方程對(duì)于載流子的導(dǎo)電、導(dǎo)熱等輸運(yùn)過程的分析，簡(jiǎn)單的方法就是采用所謂粒子平均運(yùn)動(dòng)的模型來處理，這能夠得到載流子的各種輸運(yùn)參量，故又稱輸運(yùn)方程。
1877年，玻爾茲曼又提出用“熵”來量度一個(gè)系統(tǒng)中分子的無序程度，并給出熵S與無序度Ω（即某一個(gè)客觀狀態(tài)對(duì)應(yīng)微觀態(tài)數(shù)目，或者說是宏觀態(tài)出現(xiàn)的概率）之間的關(guān)系為S=klnΩ。這就是著名的玻爾茲曼公式。
玻爾茲曼通過熵與幾率的聯(lián)系，直接溝通了熱力學(xué)系統(tǒng)的宏觀與微觀之間的關(guān)聯(lián)，并對(duì)熱力學(xué)第二定律進(jìn)行了微觀解釋。他認(rèn)為，熱力學(xué)第二定律所禁止的過程并不是絕對(duì)不可能
發(fā)生的，只是出現(xiàn)的幾率極小而已，但仍然是非零的。
玻爾茲曼最先把熱力學(xué)原理應(yīng)用于輻射，導(dǎo)出熱輻射定律，稱為斯忒藩—玻爾茲曼定律。他還注重自然科學(xué)哲學(xué)問題的研究，著有《物質(zhì)的動(dòng)理論》等。作為哲學(xué)家，他反對(duì)實(shí)證論和現(xiàn)象論，并在原子論遭到嚴(yán)重攻擊的時(shí)刻堅(jiān)決捍衛(wèi)它。
需要強(qiáng)調(diào)的是，用牛頓力學(xué)來解釋物體內(nèi)每一個(gè)分子的運(yùn)動(dòng)，實(shí)際上是不可能的。玻爾茲曼用統(tǒng)計(jì)的觀念，只考慮分子運(yùn)動(dòng)排列的幾率，來對(duì)應(yīng)到相關(guān)物理量的研究，是很聰明的辦法，對(duì)近代物理發(fā)展及其重要。
玻爾茲曼與世長(zhǎng)辭后，人們將玻爾茲曼公式刻在了他的墓碑上，以紀(jì)念他在熱力學(xué)和統(tǒng)計(jì)物理學(xué)領(lǐng)域所作的重大貢獻(xiàn)。
●齊奧爾科夫斯基公式
?——V=VeIn（m0/m1）
公式V=VeIn（m0/m1）可在不考慮空氣動(dòng)力和地球引力的理想情況下，計(jì)算火箭在發(fā)動(dòng)機(jī)工作期間獲得的速度增量。式中V為速度增量，稱為理想速度或特征速度，Ve為噴流相對(duì)火箭的速度，m0和m1分別為發(fā)動(dòng)機(jī)工作開始和結(jié)束時(shí)火箭的質(zhì)量。此公式是由齊奧爾科夫斯基首先給出的。
齊奧爾科夫斯基（1857年9月17日～1935年9月19日）是俄國(guó)科學(xué)家，現(xiàn)代宇宙航行學(xué)的奠基人，被稱為“航天之父”。他生于俄國(guó)伊熱夫斯科耶鎮(zhèn)（今屬梁贊州），逝世于卡盧加。
在人類航天歷史上，有三位科學(xué)家的名字將被永遠(yuǎn)銘記，他們是：俄國(guó)的齊奧爾科夫斯基、美國(guó)的戈達(dá)德和德國(guó)的奧伯特。齊奧爾科夫斯基最先論證了利用火箭進(jìn)行星際交通、制造人造地球衛(wèi)星和近地軌道站的可能性，指出發(fā)展宇航和制造火箭的合理途徑，找到了火箭和液體發(fā)動(dòng)機(jī)結(jié)構(gòu)的一系列重要工程技術(shù)解決方案，他有一句名言：“地球是人類的搖籃，但人類不可能永遠(yuǎn)被束縛在搖籃里?！?/p>
齊奧爾科夫斯基是自學(xué)成功的，他本來是中學(xué)教師，有一次在教室里向?qū)W生大談天象奧秘，引起一位參觀的物理學(xué)家的注意，從此天才被發(fā)掘，引導(dǎo)俄國(guó)科學(xué)界放眼太空。
他注重鉆研中國(guó)古代火箭技術(shù)，請(qǐng)人翻譯明末及清初的軍事著作參考，尤其對(duì)《武備志》最感興趣。當(dāng)時(shí)中國(guó)已擁有近三十種軍用火箭，“神機(jī)火龍箭”或“火龍出水”之類的武器令他著迷，他產(chǎn)生了更多的夢(mèng)想和靈感。
1895年，齊奧爾科夫斯基寫成《地球與天空的夢(mèng)想》一書。在這本科幻著作中，他提出了用多節(jié)、液態(tài)火箭來脫離地球的想法。
1903年，他發(fā)表了世界上第一部噴氣運(yùn)動(dòng)理論著作《利用噴氣工具研究宇宙空間》，說明將火箭用于星際交通的可能性，并提出太空航行火箭的設(shè)計(jì)原理，提出液體推進(jìn)劑火箭的構(gòu)思和原理圖，并推導(dǎo)出在不考慮空氣動(dòng)力和地球引力的理想情況下，計(jì)算火箭在發(fā)動(dòng)機(jī)
工作期間獲得的速度增量公式V=VeIn，后人稱之為“齊奧爾科夫斯基公式”，為研究火箭和液體火箭發(fā)動(dòng)機(jī)奠定了理論基礎(chǔ)。
用齊奧爾科夫斯基公式可以近似地估計(jì)火箭需要攜帶的推進(jìn)劑的數(shù)量以及發(fā)動(dòng)機(jī)參數(shù)對(duì)理想速度的影響。請(qǐng)注意，如上公式是在理想狀態(tài)下的推導(dǎo)結(jié)果，換句話說，實(shí)際過程中，在重力加速度和各種干擾力的聯(lián)合作用下，通常并不是如上公式計(jì)算所得。不過，該方程在宇宙的無重力狀態(tài)下，卻顯得相對(duì)精確，而也是其中最重要的參數(shù)，尤其在航天飛行器軌道變換中，顯得格外重要。當(dāng)火箭運(yùn)動(dòng)速度接近光速時(shí)，計(jì)算理想速度則須利用相對(duì)論原理推導(dǎo)得出阿克萊公式，又稱廣義齊奧爾科夫斯基公式。
齊奧爾科夫斯基在對(duì)火箭運(yùn)動(dòng)理論進(jìn)行了一番研究之后，又對(duì)星際航行問題進(jìn)行了研究和展望。他詳細(xì)地描述了載人宇宙飛船從發(fā)射到進(jìn)入軌道的全過程，內(nèi)容涉及飛船起飛時(shí)的壯觀景象，超重和失重對(duì)宇航員的影響，失重狀態(tài)下物體的奇異表現(xiàn)，不同的高度看地球的迷人景觀、天空的景色等。他提出了燃?xì)鉁u輪發(fā)動(dòng)機(jī)方案，解決了航天器在行星表面著陸的理論問題，研究大氣層對(duì)火箭飛行的影響，首次探討從火箭到人造地球衛(wèi)星的諸多問題。
齊奧爾科夫斯基一生撰寫了730多篇論著，他的不懈研究為人類的航天事業(yè)做出了巨大貢獻(xiàn)。他曾對(duì)一群科學(xué)家說過，只要大家努力，俄羅斯人將第一個(gè)走出地球。他的話成為了事實(shí)。蘇聯(lián)在1957年發(fā)射第一顆人造衛(wèi)星，揭開了太空時(shí)代的序幕；1961年送出第一位太空人蓋加林，贏得了太空競(jìng)賽的第一役。美國(guó)則在1969年送阿姆斯特朗踏上月球。中國(guó)第一顆人造地球衛(wèi)星“東方紅一號(hào)”也于1970年發(fā)射成功。
瀏覽上述具有物理內(nèi)涵的數(shù)學(xué)公式郵票，不難發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)與物理學(xué)聯(lián)系之緊密，數(shù)學(xué)方法是研究物理問題的不可或缺的重要方法，正是因?yàn)橛袕?qiáng)大的數(shù)學(xué)，我們才能看到物理規(guī)律有如此簡(jiǎn)明優(yōu)美的表達(dá)；反之，人們對(duì)物理學(xué)的研究也促成了數(shù)學(xué)的發(fā)展，正是因?yàn)檠芯课锢韱栴}的需求，從一個(gè)側(cè)面不斷推動(dòng)著數(shù)學(xué)研究的創(chuàng)新。
附：另外三個(gè)純屬數(shù)學(xué)學(xué)科的數(shù)學(xué)公式郵票
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