2． 空間與圖形
按照《課程標(biāo)準(zhǔn)》中對(duì)學(xué)習(xí)內(nèi)容的分類，“空間與圖形”部分的課程內(nèi)容主要包括“圖形的認(rèn)識(shí)”、“圖形與變換”、“圖形與坐標(biāo)”、“圖形與證明”等。而每一部分內(nèi)容的學(xué)習(xí)重心、基本要點(diǎn)將毫無疑問的成為重點(diǎn)考查內(nèi)容。
特別需要指出的是，培養(yǎng)學(xué)生的“空間觀念”成為整個(gè)“空間與圖形”部分的最主要課程目標(biāo)。而對(duì)于什么是空間觀念，《課程標(biāo)準(zhǔn)》沒有給出明確界定。但《課程標(biāo)準(zhǔn)》描述了“空間觀念”的一些外在表現(xiàn)，具體包括：
①“能夠由實(shí)物的形狀想象出幾何圖形，由幾何圖形想象出實(shí)物的形狀，進(jìn)行幾何體與其三視圖、展開圖之間的轉(zhuǎn)化”；
②“能根據(jù)條件做出立體模型或畫出圖形”；
上述兩者都側(cè)重于三維實(shí)物與平面圖形的轉(zhuǎn)化，強(qiáng)調(diào)的是一種基于觀察、實(shí)驗(yàn)基礎(chǔ)上的實(shí)踐能力，是“空間觀念”最為直接的一種表現(xiàn)形態(tài)。進(jìn)一步，《標(biāo)準(zhǔn)》指出了“空間觀念”在分析、抽象層面上的表現(xiàn)：
③“能從較復(fù)雜的圖形中分解出基本的圖形”；
④“能描述實(shí)物或幾何圖形的運(yùn)動(dòng)、變化”；
⑤“能采用適當(dāng)?shù)姆绞矫枋鑫矬w間的相互關(guān)系”，如向其他人描述你所見到的幾何形體等；
⑥“能運(yùn)用圖形形象地描述問題，利用直觀進(jìn)行思考”，如能根據(jù)照片判斷拍攝照片的大致時(shí)間以解決實(shí)際問題等。
這是主動(dòng)應(yīng)用“空間觀念”解決實(shí)際問題意識(shí)的行為表現(xiàn)。
例17 舉出（或畫出）兩種不同類型的幾何體，使得兩種幾何體的左視圖都是三角形（或圓、長方形等）。
例18 下圖是由一些大小相同的小正方體組成的簡單幾何體的主視圖和俯視圖.
（1）請你畫出這個(gè)幾何體的一種左視圖；
（2）若組成這個(gè)幾何體的小正方體的塊數(shù)為n，
請你寫出n的所有可能值.
考查內(nèi)容：幾何體與圖形之間轉(zhuǎn)換關(guān)系、作圖、表示；探索與描述幾何對(duì)象的變化規(guī)律；借助圖像進(jìn)行推理等。
⑴ 圖形的認(rèn)識(shí)
這一部分內(nèi)容的學(xué)習(xí)重點(diǎn)，將不僅僅是那些特定的結(jié)論，還應(yīng)當(dāng)包括探索結(jié)論過程中所運(yùn)用的重要數(shù)學(xué)方法。具體包括：
能估計(jì)并會(huì)比較角的大小，會(huì)進(jìn)行度、分、秒之間的簡單換算。了解角的平分線、線段垂直平分線及其性質(zhì)，能找出特定角的補(bǔ)角、余角和對(duì)頂角，理解等角的余角和補(bǔ)角相等，對(duì)頂角相等。在了解垂線段最短的性質(zhì)基礎(chǔ)上，理解兩點(diǎn)間距離、點(diǎn)到直線的距離、兩條平行線間距離等概念之間的聯(lián)系。能夠選擇恰當(dāng)?shù)墓ぞ弋嬕粭l直線的垂線、平行線；知道過定點(diǎn)只能畫一條直線垂直于（平行于）給定直線。掌握兩條直線平行與垂直的概念，并能夠運(yùn)用平行線的性質(zhì)解決幾何問題。會(huì)畫出任意三角形的角平分線、中線、高、內(nèi)心和外心。了解三角形中位線及其性質(zhì)。掌握兩個(gè)三角形全等的條件。理解等腰三角形、直角三角形的概念及其性質(zhì)。會(huì)運(yùn)用勾股定理及其逆定理解決問題。了解正三角形、正多邊形的概念。了解多邊形內(nèi)角和與外角和公式及其由來。掌握平行四邊形、梯形、矩形、菱形、正方形的概念和性質(zhì)，了解它們之間的關(guān)系。了解線段、三角形、平行四邊形、矩形的重心及物理意義。能用三角形、四邊形或正方形進(jìn)行簡單的鑲嵌設(shè)計(jì)，并理解圖形鑲嵌（密鋪）的原理。理解圓及其性質(zhì)，了解弧、弦、圓心角、圓周角的關(guān)系，會(huì)計(jì)算弧長及扇形面積；了解點(diǎn)與圓、直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系；知道直徑所對(duì)圓周角為直角。了解切線的概念，知道切線與過切點(diǎn)的半徑互相垂直，能判定直線與圓是否相切，會(huì)過圓上一點(diǎn)畫圓的切線。能夠完成以下基本作圖（對(duì)于尺規(guī)作圖題，會(huì)寫已知、求作和作法即可，不要求證明）：（1）作一條線段等于已知線段。（2）作一個(gè)角等于已知角。（3）作某個(gè)已知角的平分線。（4）作某條已知線段的垂直平分線。（5）已知三邊作三角形。（6）已知兩邊及其夾角作三角形。（7）已知兩角及其夾邊作三角形。（8）已知底邊及底邊上的高作等腰三角形。（9）過不在同一直線上的三點(diǎn)作圓。
正確認(rèn)識(shí)基本幾何體：直棱柱、圓柱、圓錐、球。既能夠根據(jù)基本幾何體（包括實(shí)物原型）判斷和繪制主視圖、左視圖、俯視圖，也能夠根據(jù)主視圖、左視圖、俯視圖描述基本幾何體。既了解直棱柱、圓錐、圓柱的展開圖，會(huì)計(jì)算它們的側(cè)面積和全面積，又能夠根據(jù)展開圖判斷和制作相應(yīng)的立體模型。了解幾何體、三視圖、展開圖之間的關(guān)系，并能夠?qū)⑦@種關(guān)系應(yīng)用到現(xiàn)實(shí)生活中。能夠繪制簡單的平面圖和立體圖，比較清晰地反映視點(diǎn)、視角和盲區(qū)。了解生活中中心投影和平行投影的實(shí)例，能對(duì)兩者進(jìn)行區(qū)分。
例19 如圖，已知方格紙中的每個(gè)小方格都是相同的正方形，∠AOB畫在方格紙上，請?jiān)谛》礁竦捻旤c(diǎn)上標(biāo)出一個(gè)點(diǎn)P，使點(diǎn)P落在∠AOB的平分線上。
考查內(nèi)容：多角度、深層次理解角平分線概念，以及與角平分線概念相聯(lián)系的其它概念和原理。
⑵ 圖形與變換
作為一個(gè)學(xué)習(xí)主題，該部分的重點(diǎn)在于對(duì)變換現(xiàn)象的了解、應(yīng)用（特別是在探索圖像性質(zhì)過程中），而不是變換本身的性質(zhì)熟悉。具體考查內(nèi)容包括：
了解現(xiàn)實(shí)生活中的鏡面對(duì)稱現(xiàn)象，能找出常見的軸對(duì)稱圖形并指出對(duì)稱軸，掌握軸對(duì)稱圖形具有的基本性質(zhì)，并利用軸對(duì)稱性進(jìn)行圖案設(shè)計(jì)。能夠按要求作出簡單平面圖形經(jīng)過一次或兩次軸對(duì)稱后的圖形。知道等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正多邊形、圓的軸對(duì)稱性及其相關(guān)性質(zhì)。
了解現(xiàn)實(shí)生活中的平移現(xiàn)象和實(shí)例，理解平移的基本性質(zhì)：對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線平行且相等。能按照要求作出簡單平面圖形平移后的圖形，并利用平移進(jìn)行圖案設(shè)計(jì)。
了解現(xiàn)實(shí)生活中的旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象和實(shí)例，了解平行四邊形和圓是中心對(duì)稱圖形。理解旋轉(zhuǎn)的基本性質(zhì)：對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等、對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心連線所成的角彼此相等。能按照要求作出簡單平面圖形旋轉(zhuǎn)后的圖形，并利用旋轉(zhuǎn)進(jìn)行圖案設(shè)計(jì)。
在了解比例的基本性質(zhì)、線段的比、成比例線段等概念基礎(chǔ)上，能正確認(rèn)識(shí)圖形的相似，理解相似圖形的性質(zhì)，知道相似多邊形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例，面積的比等于對(duì)應(yīng)邊比的平方。了解兩個(gè)三角形相似的概念以及相似的條件，能利用圖形的相似解決一些實(shí)際問題。了解圖形的位似，能夠利用位似將一個(gè)圖形放大或縮小。了解黃金分割比在建筑和藝術(shù)上的價(jià)值。
了解銳角三角函數(shù)（sinA，cosA, tanA），知道 30°，45°,60°角的三角函數(shù)值；會(huì)使用計(jì)算器由已知銳角求它的三角函數(shù)值，由已知三角函數(shù)值求它對(duì)應(yīng)的銳角，并能運(yùn)用三角函數(shù)解決與直角三角形有關(guān)的簡單實(shí)際問題。
例20．從下面兩題中任選一題進(jìn)行解答：
（1） 先在上面的一塊方格紙上畫一個(gè)軸對(duì)稱圖形作為基礎(chǔ)圖形，再將基礎(chǔ)圖形去掉或添上一部分，使新圖形仍為軸對(duì)稱圖形，畫在下面的方格紙上。
（2） 先在上面的一塊方格紙上畫一個(gè)軸對(duì)稱圖形作為基礎(chǔ)圖形，再將基礎(chǔ)圖形的一部分平移或旋轉(zhuǎn)到剩余圖形的某一位置組成新的圖形，使新圖形仍為軸對(duì)稱圖形，畫在下面的方格紙上。
基礎(chǔ)圖形 變換圖形
考查內(nèi)容：軸對(duì)稱圖形的基本性質(zhì)、能按照要求作出簡單平面圖形平移（旋轉(zhuǎn)）后的圖形，利用平移（旋轉(zhuǎn)）進(jìn)行圖案設(shè)計(jì)。
例21 取兩塊完全重合的正方形紙片，將上面的一塊繞正方形的中心O旋轉(zhuǎn)，那么旋轉(zhuǎn)時(shí)兩個(gè)正方形的公共部分構(gòu)成一個(gè)多邊形，如圖的公共部分是一個(gè)八邊形，那么在旋轉(zhuǎn)過程中公共部分可能是七邊形嗎？說說你的理由。
考查內(nèi)容：旋轉(zhuǎn)變換的基本特點(diǎn)，對(duì)稱現(xiàn)象的應(yīng)用。
⑶ 圖形與坐標(biāo)
這里，坐標(biāo)首先是作為表達(dá)幾何對(duì)象位置（關(guān)系）的一種重要方式，它服務(wù)于培養(yǎng)學(xué)生空間觀念這個(gè)首要目標(biāo)。其次，它還是數(shù)形結(jié)合的一個(gè)典型內(nèi)容。因此，對(duì)它的考查包括：
能畫出平面直角坐標(biāo)系；在給定的直角坐標(biāo)系中，會(huì)根據(jù)坐標(biāo)描出點(diǎn)的位置，或者由點(diǎn)的位置寫出它的坐標(biāo)。能在方格紙上建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，描述物體的位置。在同一直角坐標(biāo)系中，明白圖形變換與點(diǎn)的坐標(biāo)變化之間的關(guān)系。會(huì)用多種方式確定物體的位置。
例22 如圖，如果所在位置的坐標(biāo)為（－1,－2），
所在位置的坐標(biāo)為（2,－2），那么，
所在位置的坐標(biāo)為 .
考查內(nèi)容：能否建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，描述物體的位置。
⑷ 圖形與證明
這一部分內(nèi)容歷來是我們初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重點(diǎn)，有時(shí)甚至可以說是最關(guān)鍵的部分。但是，以往的考查面則比較“窄”──基本是證明給定圖形的某個(gè)性質(zhì)，或圖形之間的關(guān)系，如：圖形A是平行四邊形，圖形B與圖形C全等，等等。而《課程標(biāo)準(zhǔn)》則對(duì)此賦予了更為豐富的課程目標(biāo)，如：能夠利用合情推理的方式猜測結(jié)論，等等。具體的考查內(nèi)容包括：
了解證明的含義，理解證明的必要性，明白幾何的演繹體系對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展和人類文明的價(jià)值。了解逆命題的概念，會(huì)區(qū)分命題的條件（題設(shè)）和結(jié)論，會(huì)識(shí)別兩個(gè)互逆命題，并知道原命題成立其逆命題不一定成立。能夠通過合情推理獲得數(shù)學(xué)猜想。理解反例的作用，知道利用反例可以證明一個(gè)命題是錯(cuò)誤的，初步了解反證法的含義。掌握用綜合法證明的格式，能保證證明的過程步步有據(jù)。能靈活運(yùn)用課程標(biāo)準(zhǔn)中規(guī)定的基本事實(shí)作為證明的依據(jù)進(jìn)行幾何推理。
例23 某學(xué)習(xí)小組在探索“各內(nèi)角都相等的圓內(nèi)接多邊形一定為正多邊形”這個(gè)命題是否成立時(shí)，進(jìn)行了一些討論。甲同學(xué)在討論中提到了圓內(nèi)接矩形；乙同學(xué)找來了這樣一個(gè)幾何事實(shí)：（圖一），△ABC是正三角形，＝＝，可以證明六邊形ADBECF的各內(nèi)角相等。丙同學(xué)認(rèn)為當(dāng)邊數(shù)是5時(shí)這個(gè)命題是成立的，于是他猜想邊數(shù)是7時(shí)這個(gè)命題仍然成立。
（1）你認(rèn)為各內(nèi)角都相等的圓內(nèi)接多邊形一定是正多邊形嗎？簡要敘述你的理由。
（2）請你證明，各內(nèi)角都相等的圓內(nèi)接七邊形ABCDEFG（圖二）是正七邊形。
（3）根據(jù)以上探索過程，提出你的猜想（不必證明）．
圖一 圖二
考查內(nèi)容：理解反例的作用，并能借助恰當(dāng)?shù)姆蠢C明一個(gè)命題是錯(cuò)誤的；同時(shí)也會(huì)用簡單的邏輯推理證明一個(gè)命題是正確的，具備初步的合情推理能力。
例24 如圖，AB=AC，D、E分別是線段AC、AB上的點(diǎn)，且AD=AE，BD交CE于F，試在圖中找出3對(duì)全等三角形和3個(gè)等腰三角形，并對(duì)其中一個(gè)結(jié)論給出證明。
考查內(nèi)容：圖形分解與組合的技能，能否利用合情推理能力獲得合理的數(shù)學(xué)猜想，基本的證明能力。
例25 小明說，如圖，沿著三條虛線對(duì)折可以將三角形ABC的三個(gè)內(nèi)角集中到D處，從而可以驗(yàn)證三角形的內(nèi)角和定理。你知道圖中的E、F點(diǎn)是如何確定的，你能利用該圖證明三角形內(nèi)角和定理嗎？試寫出相應(yīng)得已知、求證與證明過程。
考查內(nèi)容：圖形分解與組合的技能，證明基本過程的掌握情況，基本的證明能力。
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