Python機(jī)器學(xué)習(xí)算法實(shí)現(xiàn)
Author：louwill
第13講和第14講我們來(lái)關(guān)注一下回歸模型的兩個(gè)變種模型。本節(jié)我們要介紹的是基于L1正則化的Lasso模型，下一節(jié)介紹基于L2正則化的Ridge模型。在正式介紹這兩種模型之前，筆者還是想帶大家復(fù)習(xí)一下過(guò)擬合和正則化等機(jī)器學(xué)習(xí)關(guān)鍵問(wèn)題。
正則化與L1范數(shù)
正則化是防止模型過(guò)擬合的核心技術(shù)之一，關(guān)于欠擬合和過(guò)擬合的問(wèn)題，這里筆者就不再展開(kāi)來(lái)說(shuō)，不了解的朋友可以看看筆者很早之前寫的一篇文章：談?wù)勥^(guò)擬合。
總的來(lái)說(shuō)，監(jiān)督機(jī)器學(xué)習(xí)的核心原理莫過(guò)于如下公式：
該公式可謂是機(jī)器學(xué)習(xí)中最核心最關(guān)鍵最能概述監(jiān)督學(xué)習(xí)的核心思想的公式了：所有的有監(jiān)督機(jī)器學(xué)習(xí)，無(wú)非就是正則化參數(shù)的同時(shí)最小化經(jīng)驗(yàn)誤差函數(shù)。最小化經(jīng)驗(yàn)誤差是為了極大程度的擬合訓(xùn)練數(shù)據(jù)，正則化參數(shù)是為了防止過(guò)分的擬合訓(xùn)練數(shù)據(jù)。你看，多么簡(jiǎn)約數(shù)學(xué)哲學(xué)。正如之前所說(shuō)，監(jiān)督機(jī)器學(xué)習(xí)是為了讓我們建立的模型能夠發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)中普遍的一般的規(guī)律，這個(gè)普遍的一般的規(guī)律無(wú)論對(duì)于訓(xùn)練集還是未知的測(cè)試集，都具有較好的擬合性能。
繼續(xù)回到公式。第一項(xiàng)經(jīng)驗(yàn)誤差函數(shù)在機(jī)器學(xué)習(xí)中無(wú)疑地位重要，但它不是筆者今天要講的，今天要講的是公式的第二項(xiàng)：正則化項(xiàng)。第二項(xiàng)中 λ 為正則化系數(shù)，通常是大于 0 的，是一種調(diào)整經(jīng)驗(yàn)誤差項(xiàng)和正則化項(xiàng)之間關(guān)系的系數(shù)。λ = 0 時(shí)相當(dāng)于該公式?jīng)]有正則化項(xiàng)，模型全力討好第一項(xiàng)，將經(jīng)驗(yàn)誤差進(jìn)行最小化，往往這也是最容易發(fā)生過(guò)擬合的時(shí)候。隨著 λ 逐漸增大，正則化項(xiàng)在模型選擇中的話語(yǔ)權(quán)越來(lái)越高，對(duì)模型的復(fù)雜性的懲罰也越來(lái)越厲害。所以，在實(shí)際的訓(xùn)練過(guò)程中，λ 作為一種超參數(shù)很大程度上決定了模型生死。
系數(shù) λ 說(shuō)完了，然后就是正則化項(xiàng)，正則化項(xiàng)形式有很多，但常見(jiàn)的也就是 L1 和 L2 正則化。本節(jié)我們先來(lái)看L1。
在說(shuō)常見(jiàn)的 L1 和 L2 之前，先來(lái)看一下 L0 正則化。L0 正則化也就是 L0 范數(shù)，即矩陣中所有非 0 元素的個(gè)數(shù)。如何我們?cè)谡齽t化過(guò)程中選擇了 L0 范數(shù)，那該如何理解這個(gè) L0 呢？其實(shí)非常簡(jiǎn)單，L0 范數(shù)就是希望要正則化的參數(shù)矩陣 W 大多數(shù)元素都為 0。如此簡(jiǎn)單粗暴，讓參數(shù)矩陣 W 大多數(shù)元素為 0 就是實(shí)現(xiàn)稀疏而已。說(shuō)到這里，權(quán)且打住，想必同樣在機(jī)器學(xué)習(xí)領(lǐng)域摸爬滾打的你一定想問(wèn)，據(jù)我所知稀疏性不通常都是用 L1 來(lái)實(shí)現(xiàn)的嗎？這里個(gè)中緣由筆者不去細(xì)講了，簡(jiǎn)單說(shuō)結(jié)論：在機(jī)器學(xué)習(xí)領(lǐng)域，L0 和 L1 都可以實(shí)現(xiàn)矩陣的稀疏性，但在實(shí)踐中，L1 要比 L0 具備更好的泛化求解特性而廣受青睞。先說(shuō)了 L1，但還沒(méi)解釋 L1 范數(shù)是什么，L1 范數(shù)就是矩陣中各元素絕對(duì)值之和，正如前述所言，L1 范數(shù)通常用于實(shí)現(xiàn)參數(shù)矩陣的稀疏性。至于為啥要稀疏，稀疏有什么用，通常是為了特征選擇和易于解釋方面的考慮。
Lasso
Lasso的全稱叫做Least absolute shrinkage and selection operator，直譯過(guò)來(lái)為最小收縮與選擇算子。其本質(zhì)就是在常規(guī)的線性回歸的基礎(chǔ)上對(duì)參數(shù)加了一個(gè)L1正則化約束。其形式如下所示：
規(guī)約到線性回歸模型上，上式的第一項(xiàng)就是MSE損失，第二項(xiàng)則是L1正則化項(xiàng)。我們同樣按照之前線性回歸的打法來(lái)對(duì)其進(jìn)行實(shí)現(xiàn)，只是需要注意一下L1正則化項(xiàng)的求導(dǎo)處理。我們來(lái)看具體的實(shí)現(xiàn)代碼。
導(dǎo)入相關(guān)package并讀入示例數(shù)據(jù)：
import numpy as npimport pandas as pd
data = np.genfromtxt('mystery.dat', delimiter = ',')# 選擇特征與標(biāo)簽x = data[:,0:100] y = data[:,100].reshape(-1,1)# 加一列X = np.column_stack((np.ones((x.shape[0],1)),x))
# 劃分訓(xùn)練集與測(cè)試集X_train, y_train = X[:70], y[:70]X_test, y_test = X[70:], y[70:]print(X_train.shape, y_train.shape, X_test.shape, y_test.shape)
定義參數(shù)初始化函數(shù)：
# 定義參數(shù)初始化函數(shù)def initialize(dims):w = np.zeros((dims, 1))b = 0return w, b
定義符號(hào)函數(shù)并進(jìn)行向量化，用于對(duì)L1正則化項(xiàng)的梯度計(jì)算：
# 定義符號(hào)函數(shù)def sign(x): if x > 0: return 1 elif x < 0: return -1 else: return 0 # 利用numpy對(duì)符號(hào)函數(shù)進(jìn)行向量化vec_sign = np.vectorize(sign)vec_sign(np.zeros((3,1))) 
在MSE損失函數(shù)的基礎(chǔ)上定義Lasso損失：
# 定義lasso損失函數(shù)def l1_loss(X, y, w, b, alpha):num_train = X.shape[0]num_feature = X.shape[1]y_hat = np.dot(X, w) + bloss = np.sum((y_hat-y)**2)/num_train + np.sum(alpha*abs(w))dw = np.dot(X.T, (y_hat-y)) /num_train + alpha * vec_sign(w)db = np.sum((y_hat-y)) /num_trainreturn y_hat, loss, dw, db
定義Lasso訓(xùn)練過(guò)程函數(shù)：
# 定義訓(xùn)練過(guò)程def lasso_train(X, y, learning_rate=0.01, epochs=300): loss_list = [] w, b = initialize(X.shape[1]) for i in range(1, epochs): y_hat, loss, dw, db = l1_loss(X, y, w, b, 0.1) w += -learning_rate * dw b += -learning_rate * db loss_list.append(loss) if i % 50 == 0: print('epoch %d loss %f' % (i, loss)) params = { 'w': w, 'b': b } grads = { 'dw': dw, 'db': db } return loss, loss_list, params, grads執(zhí)行訓(xùn)練：
# 執(zhí)行訓(xùn)練示例loss, loss_list, params, grads = lasso_train(X_train, y_train, 0.01, 500)
可以看到，在L1的約束下，在訓(xùn)練過(guò)程中有不少對(duì)標(biāo)簽貢獻(xiàn)率低的特征的系數(shù)都變成了0。這就是L1的作用，一定程度上可以進(jìn)行特征選擇和實(shí)現(xiàn)稀疏化。
最后可以簡(jiǎn)單寫一個(gè)Lasso回歸的class來(lái)對(duì)上述過(guò)程進(jìn)行封裝：
import numpy as npfrom sklearn.metrics import r2_score
class Lasso(): def __init__(self): pass def prepare_data(self): data = np.genfromtxt('./example.dat', delimiter = ',') x = data[:, 0:100] y = data[:, 100].reshape(-1, 1) X = np.column_stack((np.ones((x.shape[0], 1)), x)) X_train, y_train = X[:70], y[:70] X_test, y_test = X[70:], y[70:] return X_train, y_train, X_test, y_test def initialize_params(self, dims): w = np.zeros((dims, 1)) b = 0 return w, b
def sign(self, x): if x > 0: return 1 elif x < 0: return -1 else: return 0 def l1_loss(self, X, y, w, b, alpha): num_train = X.shape[0] num_feature = X.shape[1] y_hat = np.dot(X, w) + b loss = np.sum((y_hat - y) ** 2) / num_train + np.sum(alpha*abs(w)) dw = np.dot(X.T, (y_hat - y)) / num_train + alpha*np.vectorize(self.sign)(w) db = np.sum((y_hat - y)) / num_train return y_hat, loss, dw, db def lasso_train(self, X, y, learning_rate, epochs): loss_list = [] w, b = self.initialize_params(X.shape[1]) for i in range(1, epochs): y_hat, loss, dw, db = self.l1_loss(X, y, w, b, 0.1) w += -learning_rate * dw b += -learning_rate * db loss_list.append(loss) if i % 300 == 0: print('epoch %d loss %f' % (i, loss)) params = { 'w': w, 'b': b } grads = { 'dw': dw, 'db': db } return loss, loss_list, params, grads def predict(self, X, params): w = params['w'] b = params['b'] y_pred = np.dot(X, w) + b return y_pred if __name__ == '__main__': lasso = Lasso() X_train, y_train, X_test, y_test = lasso.prepare_data() loss, loss_list, params, grads = lasso.lasso_train(X_train, y_train, 0.01, 3000) print(params) y_pred = lasso.predict(X_test, params) print(r2_score(y_test, y_pred))以上是基于numpy的手動(dòng)實(shí)現(xiàn)Lasso的過(guò)程，下面再來(lái)看Lasso在sklearn中的實(shí)現(xiàn)。
# 導(dǎo)入線性模型模塊from sklearn import linear_model# 創(chuàng)建lasso模型實(shí)例sk_lasso = linear_model.Lasso(alpha=0.1)# 對(duì)訓(xùn)練集進(jìn)行擬合sk_lasso.fit(X_train, y_train)# 打印模型相關(guān)系數(shù)print('sklearn Lasso intercept :', sk_lasso.intercept_)print('\nsklearn Lasso coefficients :\n', sk_lasso.coef_)print('\nsklearn Lasso number of iterations :', sk_lasso.n_iter_)
以上就是本節(jié)內(nèi)容，下一節(jié)我們繼續(xù)來(lái)看基于L2正則化的Ridge回歸。
更多內(nèi)容可參考筆者GitHub地址：
https://github.com/luwill/machine-learning-code-writing
參考資料：
https://www.analyticsvidhya.com/blog/2017/06/a-comprehensive-guide-for-linear-ridge-and-lasso-regression/
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