37：倒行逆施 - 存在問題
圓錐曲線中,經(jīng)常會遇到這樣一類問題:是否存在頂點(diǎn),使XXX成立、是否存在定直線使XXX成立等問題。對于這類問題,我們通常采用反正法,即假設(shè)存在,由此進(jìn)行推斷假設(shè)的真假性,這就是我們在這要給大家介紹的倒行逆施。
(1)求解存在性問題時(shí),通常的方法是首先假設(shè)滿足條件的幾何元素或參數(shù)值存在,然后利用這些條件并結(jié)合題目的其他已知條件進(jìn)行推理與計(jì)算,若不出現(xiàn)矛盾,并且得到了相應(yīng)的幾何元素或參數(shù)值,就說明滿足條件的幾何元素或參數(shù)值存在;若在推理與計(jì)算中出現(xiàn)了矛盾,則說明滿足條件的幾何元素或參數(shù)值不存在,同時(shí)推理與計(jì)算的過程就是說明理由的過程.
(2)解決存在性問題應(yīng)注意以下幾點(diǎn):①當(dāng)條件和結(jié)論不唯一時(shí)要分類討論;②當(dāng)給出結(jié)論而要推導(dǎo)出存在的條件時(shí),先假設(shè)成立,再推出條件;③當(dāng)條件和結(jié)論都不知,按常規(guī)方法解題很難時(shí),要思維開放,采取另外的途徑.
(3)解決存在性問題的解題步驟:
第一步:先假設(shè)存在,引入?yún)⒆兞?根據(jù)題目條件列出關(guān)于參變量的方程(組)或不等式(組);
第二步:解此方程(組)或不等式(組),若有解則存在,若無解則不存在;
第三步:得出結(jié)論.
(2019全國I卷文)已知點(diǎn),關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱,
,過點(diǎn),且與直線相切.
(1)若在直線上,求的半徑;
(2)是否存在定點(diǎn),使得當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí),為定值?并說明理由.
【思路分析】(1)由條件知點(diǎn)在線段的中垂線上,設(shè)圓的方程為,然后根據(jù)圓與直線相切和圓心到直線的距離,半弦長和半徑的關(guān)系建立方程組即可;
(2)設(shè)的坐標(biāo)為,然后根據(jù)條件的到圓心的軌跡方程為,然后根據(jù)拋物線的定義即可得到定點(diǎn).
【解析】故點(diǎn),且在直線上,
點(diǎn)在線段的中垂線上,
設(shè)的方程為:,則
圓心到直線的距離,
又,在中,
,
即①
又與相切,②
由①②解得或,
的半徑為2或6;
(2)線段為的一條弦,圓心在線段的中垂線上,
設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,則,
與直線相切,,
,
,
的軌跡是以為焦點(diǎn)為準(zhǔn)線的拋物線,
,
當(dāng)為定值時(shí),則點(diǎn)與點(diǎn)重合,即的坐標(biāo)為,
存在定點(diǎn)使得當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí),為定值.
1.(淮安市調(diào)查測試)已知橢圓,點(diǎn)、分別是橢圓的左焦點(diǎn)、左頂點(diǎn),過點(diǎn)的直線(不與軸重合)交于兩點(diǎn).
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)是否存在直線,使得點(diǎn)在以線段為直徑的圓上,若存在,求出直線的方程;若不存在,說明理由.
2.(南通市第二次調(diào)研)在平面直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)是動(dòng)點(diǎn),且的三邊所在直線的斜率滿足。
(1)求點(diǎn)的軌跡的方程;
(2)若是軌跡上異于點(diǎn)的一個(gè)點(diǎn),且,直線與交于點(diǎn).
問:是否存在點(diǎn),使得和的面積滿足?若存在,求出點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,說明理由.
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