第18招：偷天換日 - 解三角形中的范圍問題
解三角形是高考的熱點題型,解三角形中求最值或者取值范圍的問題,是解三角形中相對較難的一類考題,從高考題型以及各類模擬題中分析總結(jié)來看,基本上分為兩種類型:第一類是利用函數(shù)思想(如轉(zhuǎn)化為關(guān)于某個角的函數(shù)),運用三角函數(shù)、二次函數(shù)等函數(shù)有關(guān)知識,利用函數(shù)思想求最值或取值范圍的問題;第二類是運用正弦定理、余弦定理轉(zhuǎn)化為邊之間的關(guān)系利用不等式性質(zhì)、基本不等式等,結(jié)合余弦定理求最值或取值范圍的問題.在解題過程中,要注意正弦定理,余弦定理以及三角恒等變換公式的選擇和運用,注意題目中隱含的各種限制條件(如三角形內(nèi)角和等于180°,兩邊之和大于第三邊等),選擇合理的方法解題.
(2019·全國III卷理·18)的內(nèi)角的對邊分別為,已知.
(1)求;
(2)若為銳角三角形,且,求面積的取值范圍.
【答案】(1);(2).
【解析】(1)意根據(jù)題,由正弦定理得,因為,得,消去得.
由,可得,故,
因為,所以,所以.
(2)由題設(shè)及(1)知的面積,
由(1),得到,
由正弦定理得,
由于是銳角三角形,故,,結(jié)合,得,所以,從而.
因此面積的取值范圍是.
【點評】本題考查了三角函數(shù)的基礎(chǔ)知識,正弦定理、余弦定理的運用,最后考查是銳角三角形這個條件的利用.
(1)利用正弦定理將已知式子統(tǒng)一成角的關(guān)系,得到關(guān)于角的三角方程,再利用誘導公式、二倍角公式變形化簡,解出的正弦值,最后根據(jù)均為三角形內(nèi)角解得.
(2)結(jié)合(1)及已知,把三角形面積表示成的函數(shù),再利用正弦定理將表示為關(guān)于的函數(shù),由銳角三角形及角的大小,確定角的范圍,進而得解.此題也可以用余弦定理利用邊的關(guān)系求解,過程如下:
(2)由題設(shè)及(1)知的面積,
由余弦定理和,,得.
由是銳角三角形,得于是即
得,從而.
因此面積的取值范圍是.
(2020·浙江卷·18)在銳角中,角的對邊分別為,且.
(1)求角的大小;
(2)求的取值范圍.
【答案】(1);(2)
【解析】(1)由,結(jié)合正弦定理可得:
.
因為,得,消去得.
又△ABC為銳角三角形,故.
(2)由得,
.
由可得:,于是,
則,所以.
即的取值范圍是.
【點評】(1)首先利用正弦定理邊化角,然后結(jié)合特殊角的三角函數(shù)值即可確定角B的大小;
(2)結(jié)合(1)的結(jié)論將含有三個角的三角函數(shù)式化簡為只含有角A的三角函數(shù)式,然后由三角形為銳角三角形確定角A的取值范圍,最后結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可求得的取值范圍.
解三角形的基本策略:一是邊角互化,利用正弦定理、余弦定理實現(xiàn)“邊化角”或“角化邊”.由正弦定理,設(shè),
邊化角有:;
角化邊有:;
由余弦定理有:.
二是善于利用三角形內(nèi)角和定理消元(轉(zhuǎn)化).
三是注意觀察已知條件(或條件的變式)和某個公式(或公式的部分)是否相似?若有,則可考慮用這個公式,由此打開解題的突破口.
1.(2020青島模擬)的內(nèi)角的對邊分別為,已知.
(1)求;
(2)若為銳角三角形,且,求面積的最大值.
2.(原創(chuàng))的內(nèi)角的對邊分別為,已知.
(1)求;
(2)若銳角三角形的外接圓半徑,求周長的取值范圍.
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