圓錐曲線專題解析2：焦點三角形問題
?方法導(dǎo)讀
解析幾何是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容,在高考命題中,重視考查數(shù)學(xué)運算和形的探究兩個方面的內(nèi)容.三角形是最重要的基本圖形,常常出現(xiàn)在與圓錐曲線相關(guān)的問題中,溝通數(shù)與形,體現(xiàn)圖形探究,因此要特別重視特殊三角形(直角三角形、等腰三角形)及其幾何性質(zhì)的代數(shù)表達.具體而言,圓錐曲線中有三類與圓錐曲線定義、幾何特征量以及對稱中心有關(guān)的三角形,我們將其稱為“焦點三角形”、“特征量三角形”、“中心三角形”.在高考考查中,客觀題重點關(guān)注焦點三角形與特征量三角形的幾何性質(zhì),而主觀題突出中心三角形的解析化途徑的探究與選擇.下面我們就來研究高考中焦點三角形的問題.
?高考真題
【卷·理/文】已知橢圓的焦點為,,過
的直線與交于,兩點,若,,則的方程為( )
A. B.
C. D.
?解題策略
有心圓錐曲線上一點與兩焦點組成的三角形成為焦點三角形.焦點三角形有著豐富的幾何性質(zhì),高考中關(guān)于焦點三角形的有關(guān)問題,要能通過數(shù)量關(guān)系,在定義的基礎(chǔ)上充分挖掘其幾何特征.剩下的工作就是基于幾何關(guān)系獲取坐標(biāo)關(guān)系或者通過解三角形來解決問題.因此要善于根據(jù)題設(shè)方程,數(shù)量關(guān)系等挖掘隱含的幾何特征,并進行圖形探究.
?解題過程
方法一:設(shè),則,.
由橢圓的定義得,,解得x=a/2,
從而(為橢圓的上頂點).
如圖,根據(jù)相似比得,,,則,
代入方程,得,
解得,故,故選B.
方法二:設(shè),則,.
由橢圓的定義,,解得x=a/2,
從而(為橢圓上的頂點),,
即△為等腰三角形,
所以,
解得,故選B.
?解題分析
如果能夠積累一些圖形特征的結(jié)論則更加方便.
比如本題其實還可以基于定義來探討橢圓焦半徑以及周長表達式.
①△的周長為;
②已知,是橢圓的左右焦點,為橢圓上一動點,則橢圓焦半徑公式:,這個可以由第一定義獲得.
證明如下:
設(shè),則,
而,,
則,從而,.
?拓展推廣
借助焦點三角形來來考察圓錐曲線的離心率的問題也是重點.求有心圓錐曲線的離心率必須建立起,,的關(guān)系式或者求出,的值.如果強化了角的度量,可以考慮通過角的度量來切入,構(gòu)建角與離心率之間的關(guān)系,以橢圓為例,的左、右焦點分別為,,是橢圓上的點,,,.
則在焦點三角形中,由正弦定理不難得到,根據(jù)橢圓定義以及等比性質(zhì)有,,這即構(gòu)造了離心率與焦點三角形三個角之間的等量關(guān)系.
類似地,對于雙曲線,有.
高考命題中往往會基于圓錐曲線離心率與焦點三角形中角的關(guān)系模型來設(shè)計相關(guān)考題.
變式訓(xùn)練1
【2019·浙江卷·】已知橢圓的左焦點為,點在橢圓上且在軸的上方,若線段的中點在以原點O為圓心,為半徑的圓上,則直線的斜率是__________.
變式訓(xùn)練2
【2019·全國卷·文/理】設(shè),為橢圓:的兩個焦點,為橢圓上一點且在第一象限.若△為等腰三角形,則點的坐標(biāo)為__________.
變式訓(xùn)練3
【.全國卷文】已知,是橢圓的兩個焦點,是橢圓上的一點,若,且,則的離線率為( )
A B C D
變式訓(xùn)練4
【·全國卷理·】已知,是雙曲線:的左,右焦點,點在雙曲線上,MF1與軸垂直,,則的離心率為( )
A B C D
變式訓(xùn)練5
【·山東卷·文/理】已知雙曲線:,,若矩形的四個頂點都在上,,的中點為雙曲線的兩個焦點,且,則的離心率是__________.
答案
變式訓(xùn)練1
方法一:由題意可知,由中位線定理可得,設(shè),可得
方法二:(焦半徑公式應(yīng)用)即,故,
求得,所以.
變式訓(xùn)練2
方法一:由已知可得,,
所以,即,
所以,
又,
所以(由焦半徑公式),所以,
于是,解得,
所以點的坐標(biāo)為.
方法二:設(shè),,,
橢圓:的,,,,
由于為上一點且在第一象限,可得,
△為等腰三角形,
可能或,
即有,即,;
可得.
變式訓(xùn)練3
D
由題設(shè)知,,,
所以,.
由橢圓的定義得,即,
所以,
故橢圓的離心率.故選D.
變式訓(xùn)練4
A
方法一:設(shè),將
得,化簡得,
因為,
所以
整理得,解得.
方法二:.
變式訓(xùn)練5
方法一:由題意知,,又
∴,即,
∴,兩邊同除以并整理得:
,解得(負(fù)值舍去).
方法二:根據(jù)題意有焦點三角形為直角三角形,且,
所以.
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