一次函數(shù)是學(xué)習(xí)函數(shù)的基礎(chǔ)，以后還要學(xué)到學(xué)多的函數(shù)，都是要運(yùn)用到一次函數(shù)進(jìn)行相關(guān)的計(jì)算的，尤其是二次函數(shù)的部分，學(xué)不好一次函數(shù)，二次函數(shù)幾乎就是學(xué)不會(huì)的，所以我們要進(jìn)我們的最大的能力要在學(xué)習(xí)一次函數(shù)這部分下點(diǎn)工夫，多花點(diǎn)時(shí)間，這樣在我們學(xué)以后的知識(shí)的時(shí)候才能不那么的吃力，其實(shí)在我看來一次函數(shù)的知識(shí)都是重點(diǎn)，但是這些重點(diǎn)都不是什么難點(diǎn)，還是比較容易理解的，但是要牢記還是必須要下工夫是，下面就給你弄了點(diǎn)相關(guān)的知識(shí)，在你的資料上應(yīng)該是有的
函數(shù)的基本概念：一般地，在某一變化過程中，有兩個(gè)變量x和y，如果給定一個(gè)X值，相應(yīng)地就確定了唯一一個(gè)Y值與X對(duì)應(yīng)，那么我們稱Y是X的函數(shù)（function).其中X是自變量，Y是因變量，也就是說Y是X的函數(shù)。
當(dāng)x=a時(shí)，函數(shù)的值叫做當(dāng)x=a時(shí)的函數(shù)值。
定義與定義式
自變量x和因變量y有如下關(guān)系： y=kx （k為任意不為零實(shí)數(shù)） 或y=kx+b （k為任意不為零實(shí)數(shù)，b為任意實(shí)數(shù)）
則此時(shí)稱y是x的一次函數(shù)。
特別的，當(dāng)b=0時(shí)，y是x的正比例函數(shù)一次函數(shù)的性質(zhì)
1.y的變化值與對(duì)應(yīng)的x的變化值成正比例，比值為k 即：y=kx+b（k≠0) （k為任意不為零的實(shí)數(shù) b取任何實(shí)數(shù)）
2.當(dāng)x=0時(shí)，b為函數(shù)在y軸上的截距。
3.k為一次函數(shù)y=kx+b的斜率,k=tg角1(角1為一次函數(shù)圖象與x軸正方向夾角) 形。取。象。交。減 正比例函數(shù)也是一次函數(shù).
2．
性質(zhì)：
（1）在一次函數(shù)上的任意一點(diǎn)P（x，y），都滿足等式：y=kx+b(k≠0)。
（2）一次函數(shù)與y軸交點(diǎn)的坐標(biāo)總是（0，b)，與x軸總是交于（-b/k，0）正比例函數(shù)的圖像總是過原點(diǎn)。
3．函數(shù)不是數(shù)，它是指某一變量過程中兩個(gè)變量之間的關(guān)系。
4．k，b與函數(shù)圖像所在象限：
y=kx時(shí)（既b等于0，y與x成正比)
當(dāng)k＞0時(shí)，直線必通過一、三象限，y隨x的增大而增大；
當(dāng)k＜0時(shí)，直線必通過二、四象限，y隨x的增大而減小。
y=kx+b時(shí)：
當(dāng) k>0,b>0, 這時(shí)此函數(shù)的圖象經(jīng)過一，二，三象限。
當(dāng) k>0,b<0, 這時(shí)此函數(shù)的圖象經(jīng)過一，三，四象限。
當(dāng) k<0,b<0, 這時(shí)此函數(shù)的圖象經(jīng)過二，三，四象限。
當(dāng) k<0,b>0, 這時(shí)此函數(shù)的圖象經(jīng)過一，二，四象限。
當(dāng)b＞0時(shí)，直線必通過一、二象限；
當(dāng)b＜0時(shí)，直線必通過三、四象限。
特別地，當(dāng)b=0時(shí)，直線通過原點(diǎn)O（0，0）表示的是正比例函數(shù)的圖像。
這時(shí)，當(dāng)k＞0時(shí)，直線只通過一、三象限；當(dāng)k＜0時(shí)，直線只通過二、四象限確定一次函數(shù)的表達(dá)式 已知點(diǎn)A（x1，y1）；B（x2，y2），請(qǐng)確定過點(diǎn)A、B的一次函數(shù)的表達(dá)式。
（1）設(shè)一次函數(shù)的表達(dá)式（也叫解析式）為y=kx+b。
（2）因?yàn)樵谝淮魏瘮?shù)上的任意一點(diǎn)P（x，y），都滿足等式y(tǒng)=kx+b。
所以可以列出2個(gè)方程：y1=kx1+b …… ①
和 y2=kx2+b …… ②
（3）解這個(gè)二元一次方程，得到k，b的值。
（4）最后得到一次函數(shù)的表達(dá)式。上面的是你一定要會(huì)的， 重點(diǎn)與難點(diǎn)：
重點(diǎn)：一次函數(shù)（含正比例函數(shù)）的圖象的畫法及性質(zhì)。因?yàn)楹瘮?shù)圖象是研究性質(zhì)的前提，而函數(shù)性質(zhì)又是研究其圖象的基礎(chǔ)。
難點(diǎn)：
①選取適當(dāng)兩點(diǎn)畫一次函數(shù)y=Kx+b的圖象；
②結(jié)合一次函數(shù)（含正比例函數(shù)）圖象說出它們的性質(zhì)。因?yàn)橛珊瘮?shù)圖象歸納其性質(zhì)對(duì)于學(xué)生是首次接觸，沒有思路，學(xué)生還缺乏思維的深刻性及完備性。
本節(jié)內(nèi)容的重點(diǎn)是對(duì)一次函數(shù)與正比例函數(shù)概念的理解。即（是常數(shù)，）是一次函數(shù)，（是常數(shù)，）是正比例函數(shù)。
正比例函數(shù)是一次函數(shù)，而一次函數(shù)不一定是正比例函數(shù)。正比例函數(shù)是一次函數(shù)的特殊情況。
一次函數(shù)關(guān)系是日常生活和社會(huì)實(shí)踐中常見的一種函數(shù)關(guān)系，通過從實(shí)例中抽象出數(shù)學(xué)模型，創(chuàng)設(shè)了滲透數(shù)學(xué)建模思想的情景，也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的抽象性和廣泛應(yīng)用性。
一次函數(shù)也是本章的重點(diǎn)，這是因?yàn)閷W(xué)生對(duì)直角坐標(biāo)系和函數(shù)概念的進(jìn)一步認(rèn)識(shí)，需要通過對(duì)具體函數(shù)的學(xué)習(xí)來完成，一次函數(shù)的學(xué)習(xí)提供了這樣的條件；
另一方面一次函數(shù)的研究方法為研究其他函數(shù)提供了完整的研究范例，為今后的學(xué)習(xí)打下了基礎(chǔ)。
本節(jié)內(nèi)容的難點(diǎn)是：根據(jù)具體條件求一次函數(shù)與正比例函數(shù)的解析式。有的學(xué)生無法從實(shí)例中抽象出函數(shù)的解析式，揭示不出其中蘊(yùn)涵的關(guān)系。學(xué)生第一次利用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，在接受上有一些困難，不能歸納出求解析式就是求解析式中的與。
教學(xué)目標(biāo): 經(jīng)歷一般規(guī)律的探索過程,發(fā)展學(xué)生的抽象思維能力. 理解一次函數(shù)和正比例函數(shù)的概念,能根據(jù)所給條件寫出簡(jiǎn)單的一次函數(shù)表達(dá)式,發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力. 重難點(diǎn)分析: [教學(xué)重點(diǎn)] 從具體背景中列出相應(yīng)的一次函數(shù)表達(dá)式,從而概括出一次函數(shù)概念. 弄清正比例函數(shù)與一次函數(shù)的關(guān)系. [教學(xué)難點(diǎn)] 會(huì)判別哪些函數(shù)為一次函數(shù). 會(huì)根據(jù)所給條件寫出簡(jiǎn)單的一次函數(shù)表達(dá)式.
教學(xué)手段:
黑板板書形式 教材解析: 知識(shí)點(diǎn)回顧: <師>上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了函數(shù)的概念和特點(diǎn),現(xiàn)在我們不看書,回想一下上節(jié)課我
們是怎樣定義一個(gè)函數(shù)的?
同學(xué)們都在下面小聲嘀咕,但沒人舉手,教師點(diǎn)了學(xué)生甲回答. <學(xué)生甲>記不清楚概念了,但我可以舉個(gè)例子.比如:y=5x. <師>同學(xué)們覺得甲同學(xué)舉的這個(gè)例子對(duì)不對(duì)呢?先思考,然后再看老師舉的這兩
個(gè)例子是不是函數(shù):m=n+5,y=3x+2-3x.y=6-x+z.
同學(xué)們先在座位上小聲討論了一會(huì),然后大部分都舉了手,教師點(diǎn)了學(xué)生乙回
答. <學(xué)生乙>我認(rèn)為同學(xué)甲舉的和老師舉的第一個(gè)和第二個(gè)式子都是一次函數(shù),老師
舉的第三個(gè)不是.因?yàn)橹荒苡袃蓚€(gè)未知數(shù). <師>你們同意他的觀點(diǎn)嗎?
一部分學(xué)生回答同意,一部分學(xué)生不同意.教師點(diǎn)了一個(gè)不同意的學(xué)生作代表
回答. <學(xué)生丙>我不同意,我認(rèn)為老師舉的第二個(gè)不是,因?yàn)榈诙€(gè)式子化簡(jiǎn)后就沒有x了,就只有一個(gè)未知數(shù)了,所以不對(duì).
學(xué)生們都同意了丙的觀點(diǎn). <師>好,那我們一起通過上面的例子來回想函數(shù)的概念:
教師引導(dǎo)學(xué)生從變量的個(gè)數(shù),變量間的關(guān)系來回想并加深記憶. 函數(shù)------一般地,在某個(gè)變化的過程中,有兩個(gè)變量x和y,如果給定一個(gè)x值,相應(yīng)地就確定了一個(gè)y值,那么我們稱y是x的函數(shù).其中,x是自變量,y是因變量.
(二)新課引入: [想一想,做一做] 某彈簧的自然長(zhǎng)度是3厘米,在彈性限度內(nèi),所掛物體x的質(zhì)量每增加1㎏,彈簧長(zhǎng)度y增加0.5㎝. (1)填表: x/㎏ 0 1 2 3 4 5 y/㎝
其中:x為物體質(zhì)量,y為彈簧長(zhǎng)度. (2)寫出x與y之間的函數(shù)關(guān)系式. <師>分析:(1)因?yàn)閤為物體質(zhì)量,所以當(dāng)x為0時(shí)就表示彈簧不掛物體,此時(shí)彈簧應(yīng)為自然長(zhǎng)度,所以此時(shí)y的值為3;當(dāng)x為1時(shí)表示掛了1㎏的物體,所以彈簧長(zhǎng)度y在原來3㎝的基礎(chǔ)上增加了0.5㎝,即y=3+0.5=3.5; <學(xué)生>以此類推,當(dāng)x=2時(shí), y=3+0.5*2=4;
當(dāng)x=3時(shí), y=3+0.5*3=4.5 當(dāng)x=4時(shí), y=3+0.5*4=5; 當(dāng)x=5時(shí), y=3+0.5*5=5.5;
(2)由上面的式子可以得出關(guān)系式為: y=3+0.5 x..-
① 2.某輛汽車油箱中原有汽油100升,汽車每行駛50千米耗油9升.
(1)完成下表: 汽車行駛路程x/千米 0 50 100 150 200 300 油箱剩余的油量y/升
(2)寫出x與y之間的關(guān)系式. <師>分析:(1)當(dāng)x=0時(shí),說明汽車沒有行駛,所以油箱中的油沒有用,此時(shí)y=100;
當(dāng)x=50時(shí),汽車正好行駛50千米,耗油9升,此時(shí)油箱剩余的油量
y=100-9=91; 當(dāng)x=100時(shí),汽車正好行駛100/50即2個(gè)50千米,耗油9*2升,此時(shí) 油箱剩余的油量y=100-9*(100/50)=82;
當(dāng)x=150時(shí),汽車正好行駛150/50即3個(gè)50千米,耗油9*3升,此時(shí)
油箱剩余的油量y=100-9*(150/3)=73; <學(xué)生>同理可得, 當(dāng)x=200時(shí), y=100-9*(200/50)=64;當(dāng)x=300時(shí), y=100-9*(300/50)=46. (2)由上式可以推出x與y之間的關(guān)系式為: y=100-9*( x/50)=100-(9 /50)* x..
② [觀察發(fā)現(xiàn)] 觀察①②兩個(gè)式子,不難發(fā)現(xiàn):1.它們都是y關(guān)于x的函數(shù);
2.它們都可以寫成y=k x+b(其中k,b為常數(shù),且k≠0) 的形式. <師>我們觀察上面這種形式的函數(shù)的未知數(shù)的次數(shù)都是一次,像這樣的函數(shù)我們就稱它為一次函數(shù),這就是我們今天要學(xué)的內(nèi)容: 都可以寫成y=k x+b(其中k,b為常數(shù),且k≠0)的形式,具有這種形式的函數(shù)我們稱y是x的一次函數(shù).(x------自變量,y-----因變量)
特別地,當(dāng)b=0時(shí), y=kx(k為常數(shù),且k≠0)稱y是x的正比例函數(shù). <師>我們也可以從"一次函數(shù)"這四個(gè)字的字面意思,用自己的語言來定義它."一次"指什么?
"函數(shù)"又說得什么意思呢?請(qǐng)同學(xué)們舉手回答.
同學(xué)們都紛紛舉起了手,老師點(diǎn)了一位同學(xué)回答. <學(xué)生A>可以分兩層意思來說.首先,它必須是一個(gè)函數(shù),我們可用函數(shù)的定義來判斷;其次,它的未知數(shù)的次數(shù)必須為一次. <師>說得很好.那么有哪位同學(xué)可以根據(jù)這兩個(gè)特點(diǎn)來用自己的語言給它一個(gè)定義呢? <學(xué)生B>未知數(shù)都是一次的函數(shù)我們就稱之為一次函數(shù). <師>很好
.對(duì)于一次函數(shù),我們還要注意以下幾點(diǎn):
[注]1.一次函數(shù)解析式的結(jié)構(gòu)特征:k x+b是關(guān)于x的一次二項(xiàng)式;
b可以為任意實(shí)數(shù); k一定要為非零實(shí)數(shù).
2.b=0,而k≠0時(shí),y=kx仍是一次函數(shù),也稱正比例函數(shù).
3.當(dāng)k=0時(shí),y=b,稱為常數(shù)函數(shù).
4.關(guān)于x,y的二元一次方程ax+by+c=0(a≠0,b≠0)可轉(zhuǎn)化為一次函數(shù)y=-(a/b)x-c/b,其中k=-a/b. 例1.下例函數(shù)中,哪些是一次函數(shù)?哪些是正比例函數(shù)?
(1)y=-x/3+1; (2)y=-8/x; (3)y=5x2+x(1-5x); (4)y=5+8x+x2.
分析:判斷一個(gè)函數(shù)是不是一次函數(shù),首先通過恒等變形,看能否轉(zhuǎn)化為y=k x+b(k≠0)的形式.而判斷一個(gè)函數(shù)是不是正比例函數(shù),就要看它能否轉(zhuǎn)化成y=k x(k≠0)的形式.
那么,我們先將這四個(gè)式子變形:
(1)y=-x/3+1=-(1/3)x+1; (2)y=-8/x=-8x-1; (3)y=5x2+x(1-5x)=5x2+x-5x2=x; (4)y=5+8x+x2.
從上面四個(gè)變形的式子,我們很容易看出: <同學(xué)們一起回答>一次函數(shù)有:(1)y=-x/3+1; (3)y=5x2+x(1-5x).
正比例函數(shù)有:(3)y=5x2+x(1-5x).
例2.寫出下列各題中x與y之間的函數(shù)關(guān)系式,并判斷:y是否為x的一次函數(shù)?是否為正比例函數(shù)?
(1)汽車以60千米/小時(shí)的速度勻速行駛,行駛路程y(千米)與行駛時(shí)間x(小時(shí))之間的關(guān)系.
(2)圓的面積y(厘米2)與它的半徑x(厘米)之間的關(guān)系.
(3)一棵樹現(xiàn)在高50厘米,每個(gè)月長(zhǎng)高2厘米,x月后這棵樹的高度為y(厘米).
注:此題比較簡(jiǎn)單,老師引導(dǎo)學(xué)生從所學(xué)過的路程與時(shí)間,面積與半徑等關(guān)系出發(fā)去思考,先列出關(guān)系式,再判斷它為什么函數(shù).
解(1):因?yàn)槁烦?速度*時(shí)間,所以y=60x,y為x的一次函數(shù),也是x的正比例函數(shù).
(2)因?yàn)閳A的面積=π*半徑2,所以y=πx2,y不是x的正比例函數(shù),也不是x的一次函數(shù).
(3)y=50+2x,y是x的一次函數(shù),但不是x的正比例函數(shù). 例3.我國(guó)現(xiàn)行個(gè)人工資,薪金所得稅征收辦法規(guī)定:月收入低于1600元的部分不收稅;月收入超過1600元但低于2100元的部分征收5%的所得稅-------如某人月收入1960元,他應(yīng)繳個(gè)人工資,薪金所得稅為(1960-1600)*5%=18元.
(1)當(dāng)月收入大于1600元而又小于2100元時(shí),寫出應(yīng)繳所得稅y(元)與月收入x(元)之間的關(guān)系式.
(2)某人月收入為1760元,他應(yīng)繳所得稅是多少元?
(3)如果某人本月繳所得稅19.2元,那么此人本月工資,薪金是多少元?
分析:(1)當(dāng)月收入x大于1600元而又小于2100元時(shí),應(yīng)繳所得稅y只要收超 出部分的5%,所以我們先算超出的部分,也就是x-1600,所以y=(x-1600)*5%.
(2)某人月收入為1760元,也就是x=1760,求此時(shí)的應(yīng)繳所得稅y.
當(dāng)x=1760,y=(1760-1600)*5%=8
(3)題目已知某人本月繳所得稅19.2元即y=19.2,求本月工資,薪金是多 少元即求月收入x .19.2=(x-1600)*5%,解得x=1984.
(三)隨堂練習(xí):
1.某種大米的單價(jià)是2.2元/千克,當(dāng)購買x千克大米時(shí),花費(fèi)為y元.y是x的一次函數(shù)嗎?是正比例函數(shù)嗎?
2.如圖,甲,乙兩地相距100千米,現(xiàn)有一列火車從乙地出發(fā),以80千米/時(shí)的速度向丙地行駛.
v=80千米/時(shí) 甲 乙 丙 設(shè)x(時(shí))表示火車行駛的時(shí)間,y(千米)表示火車與甲地的距離,寫出x,y之間的關(guān)系式,并判斷y是否為x的一次函數(shù). <答案>1.y=2.2x,y是x的一次函數(shù),也是正比例函數(shù).
2.y=100+80x,y是x的一次函數(shù),但不是正比例函數(shù).
(四)小結(jié):
1.一次函數(shù)與正比例函數(shù)的判別方法:先通過恒等變形再根據(jù)定義判斷.
2.一次函數(shù)與正比例函數(shù)的關(guān)系:正比例函數(shù)是特殊的一次函數(shù),一次函數(shù)包含正比例函數(shù).
3.會(huì)根據(jù)實(shí)際問題中的條件寫出函數(shù)關(guān)系式并判斷.
(五)作業(yè):
課本186面的習(xí)題6.2.
[回顧反思]
本節(jié)課重點(diǎn)要掌握的內(nèi)容是根據(jù)實(shí)際問題中的條件與出函數(shù)表達(dá)式并會(huì)判別它是否為一次函數(shù)和正比例函數(shù).解決這類問題的基本思路為:先從實(shí)際問題中獲取各種有用的信息,然后認(rèn)真分析,探究這些有關(guān)的信息,在此基礎(chǔ)上構(gòu)建出數(shù)學(xué)模型,并解決這個(gè)數(shù)學(xué)問題
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