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難點(diǎn)2  充要條件的判定

充分條件、必要條件和充要條件是重要的數(shù)學(xué)概念，主要用來區(qū)分命題的條件p和結(jié)論q之間的關(guān)系.本節(jié)主要是通過不同的知識(shí)點(diǎn)來剖析充分必要條件的意義，讓考生能準(zhǔn)確判定給定的兩個(gè)命題的充要關(guān)系.

●難點(diǎn)磁場(chǎng)

(★★★★★)已知關(guān)于x的實(shí)系數(shù)二次方程x²+ax+b=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根α、β，證明：|α|<2且|β|<2是2|a|<4+b且|b|<4的充要條件.

●案例探究

［例1］已知p：|1－ |≤2,q:x²－2x+1－m²≤0(m>0),若?p是?q的必要而不充分條件，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

命題意圖：本題以含絕對(duì)值的不等式及一元二次不等式的解法為考查對(duì)象，同時(shí)考查了充分必要條件及四種命題中等價(jià)命題的應(yīng)用，強(qiáng)調(diào)了知識(shí)點(diǎn)的靈活性.

知識(shí)依托：本題解題的閃光點(diǎn)是利用等價(jià)命題對(duì)題目的文字表述方式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，使考生對(duì)充要條件的難理解變得簡(jiǎn)單明了.

錯(cuò)解分析：對(duì)四種命題以及充要條件的定義實(shí)質(zhì)理解不清晰是解此題的難點(diǎn)，對(duì)否命題，學(xué)生本身存在著語言理解上的困難.

技巧與方法：利用等價(jià)命題先進(jìn)行命題的等價(jià)轉(zhuǎn)化，搞清晰命題中條件與結(jié)論的關(guān)系，再去解不等式，找解集間的包含關(guān)系，進(jìn)而使問題解決.

解：由題意知：

命題：若?p是?q的必要而不充分條件的等價(jià)命題即逆否命題為：p是q的充分不必要條件.

p:|1－ |≤2 －2≤ －1≤2 －1≤ ≤3 －2≤x≤10

q:x²－2x+1－m²≤0 ［x－(1－m)］［x－(1+m)］≤0  *

∵p是q的充分不必要條件，

∴不等式|1－ |≤2的解集是x²－2x+1－m²≤0(m>0)解集的子集.

又∵m>0

∴不等式*的解集為1－m≤x≤1+m

∴ ，∴m≥9，

∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是［9，+∞ .

［例2］已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)S_n=pⁿ+q(p≠0,p≠1),求數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列的充要條件.

命題意圖：本題重點(diǎn)考查充要條件的概念及考生解答充要條件命題時(shí)的思維的嚴(yán)謹(jǐn)性.

知識(shí)依托：以等比數(shù)列的判定為主線，使本題的閃光點(diǎn)在于抓住數(shù)列前n項(xiàng)和與通項(xiàng)之間的遞推關(guān)系，嚴(yán)格利用定義去判定.

錯(cuò)解分析：因?yàn)轭}目是求的充要條件，即有充分性和必要性兩層含義，考生很容易忽視充分性的證明.

技巧與方法：由a_n= 關(guān)系式去尋找a_n與a_n+1的比值，但同時(shí)要注意充分性的證明.

解：a₁=S₁=p+q.

當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n－S_n－1=p^n－1(p－1)

∵p≠0,p≠1,∴ =p

若{a_n}為等比數(shù)列，則 =p

∴ =p,

∵p≠0，∴p－1=p+q，∴q=－1

這是{a_n}為等比數(shù)列的必要條件.

下面證明q=－1是{a_n}為等比數(shù)列的充分條件.

當(dāng)q=－1時(shí)，∴S_n=pⁿ－1(p≠0,p≠1)，a₁=S₁=p－1

當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n－S_n－1=pⁿ－p^n－1=p^n－1(p－1)

∴a_n=(p－1)p^n－1  (p≠0,p≠1)

=p為常數(shù)

∴q=－1時(shí)，數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列.即數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列的充要條件為q=－1.

●錦囊妙計(jì)

本難點(diǎn)所涉及的問題及解決方法主要有：

(1)要理解“充分條件”“必要條件”的概念：當(dāng)“若p則q”形式的命題為真時(shí)，就記作p q，稱p是q的充分條件，同時(shí)稱q是p的必要條件，因此判斷充分條件或必要條件就歸結(jié)為判斷命題的真假.

(2)要理解“充要條件”的概念，對(duì)于符號(hào)“ ”要熟悉它的各種同義詞語：“等價(jià)于”，“當(dāng)且僅當(dāng)”，“必須并且只需”，“……，反之也真”等.

(3)數(shù)學(xué)概念的定義具有相稱性，即數(shù)學(xué)概念的定義都可以看成是充要條件，既是概念的判斷依據(jù)，又是概念所具有的性質(zhì).

(4)從集合觀點(diǎn)看，若A B，則A是B的充分條件，B是A的必要條件；若A=B，則A、B互為充要條件.

(5)證明命題條件的充要性時(shí)，既要證明原命題成立(即條件的充分性)，又要證明它的逆命題成立(即條件的必要性).

●殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練

一、選擇題

1.(★★★★)函數(shù)f(x)=x|x+a|+b是奇函數(shù)的充要條件是(    )

A.ab=0                         B.a+b=0                       C.a=b                   D.a²+b²=0

2.(★★★★)“a=1”是函數(shù)y=cos²ax－sin²ax的最小正周期為“π”的(    )

A.充分不必要條件                                                 B.必要不充分條件

C.充要條件                                                     D.既非充分條件也不是必要條件

二、填空題

3.(★★★★)a=3是直線ax+2y+3a=0和直線3x+(a－1)y=a－7平行且不重合的_________.

4.(★★★★)命題A：兩曲線F(x,y)=0和G(x,y)=0相交于點(diǎn)P(x₀,y₀),命題B：曲線F(x,y)+λG(x,y)=0(λ為常數(shù))過點(diǎn)P(x₀,y₀),則A是B的__________條件.

三、解答題

5.(★★★★★)設(shè)α，β是方程x²－ax+b=0的兩個(gè)實(shí)根，試分析a>2且b>1是兩根α、β均大于1的什么條件？

6.(★★★★★)已知數(shù)列{a_n}、{b_n}滿足：b_n= ,求證：數(shù)列{a_n}成等差數(shù)列的充要條件是數(shù)列{b_n}也是等差數(shù)列.

7.(★★★★★)已知拋物線C：y=－x²+mx－1和點(diǎn)A(3，0)，B(0，3)，求拋物線C與線段AB有兩個(gè)不同交點(diǎn)的充要條件.

8.(★★★★★)p:－2<m<0,0<n<1;q:關(guān)于x的方程x²+mx+n=0有2個(gè)小于1的正根，試分析p是q的什么條件.(充要條件)

參考答案

難點(diǎn)磁場(chǎng)

證明：(1）充分性：由韋達(dá)定理，得|b|=|α·β|=|α|·|β|＜2×2=4.

設(shè)f(x)=x²+ax+b,則f(x)的圖象是開口向上的拋物線.

又|α|＜2,|β|＜2,∴f(±2)>0.

即有 4+b>2a>－(4+b)

又|b|＜4 4+b>0 2|a|＜4+b

(2)必要性：

由2|a|＜4+b f(±2)>0且f(x)的圖象是開口向上的拋物線.

∴方程f(x)=0的兩根α，β同在(－2，2）內(nèi)或無實(shí)根.

∵α，β是方程f(x)=0的實(shí)根，

∴α，β同在(－2，2）內(nèi)，即|α|＜2且|β|＜2.

殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練

一、1.解析：若a²+b²=0,即a=b=0,此時(shí)f(－x)=(－x)|x+0|+0=－x·|x|=－(x|x+0|+b)

=－(x|x+a|+b)=－f(x).

∴a²+b²=0是f(x)為奇函數(shù)的充分條件，又若f(x)=x|x+a|+b是奇函數(shù)，即f(－x)=

(－x)|(－x)+a|+b=－f(x),則必有a=b=0,即a²+b²=0.

∴a²+b²=0是f(x)為奇函數(shù)的必要條件.

答案：D

2.解析：若a=1,則y=cos²x－sin²x=cos2x,此時(shí)y的最小正周期為π.故a=1是充分條件，反過來，由y=cos²ax－sin²ax=cos2ax.故函數(shù)y的最小正周期為π,則a=±1,故a=1不是必要條件.

答案：A

二、3.解析：當(dāng)a=3時(shí)，直線l₁:3x+2y+9=0;直線l₂:3x+2y+4=0.∵l₁與l₂的A₁∶A₂=B₁∶B₂=1∶1，而C₁∶C₂=9∶4≠1,即C₁≠C₂,∴a=3 l₁∥l₂.

答案：充要條件

4.解析：若P(x₀,y₀)是F(x,y)=0和G(x,y)=0的交點(diǎn)，則F(x₀,y₀)+λG(x₀,y₀)=0，即F(x,y)+λG(x,y)=0，過P(x₀,y₀);反之不成立.

答案：充分不必要

三、5.解：根據(jù)韋達(dá)定理得a=α+β,b=αβ.判定的條件是p: 結(jié)論是q: (注意p中a、b滿足的前提是Δ=a²－4b≥0)

(1)由 ，得a=α+β>2,b=αβ>1,∴q p

(2)為證明p q,可以舉出反例：取α=4,β= ,它滿足a=α+β=4+ >2,b=αβ=4× =2>1,但q不成立.

綜上討論可知a>2,b>1是α>1,β>1的必要但不充分條件.

6.證明：①必要性：

設(shè){a_n}成等差數(shù)列，公差為d,∵{a_n}成等差數(shù)列.

     從而b_n+1－b_n=a₁+n· d－a₁－(n－1) d= d為常數(shù).

    故{b_n}是等差數(shù)列，公差為 d.

②充分性:

設(shè){b_n}是等差數(shù)列，公差為d′,則b_n=(n－1)d′

∵b_n(1+2+…+n)=a₁+2a₂+…+na_n                                                                                                                                                             ①

b_n－1(1+2+…+n－1)=a₁+2a₂+…+(n－1)a_n                                                                                                                                    ②

①－②得：na_n= b_n－1

∴a_n= ,從而得a_n+1－a_n= d′為常數(shù)，故{a_n}是等差數(shù)列.

綜上所述，數(shù)列{a_n}成等差數(shù)列的充要條件是數(shù)列{b_n}也是等差數(shù)列.

7.解：①必要性：

由已知得，線段AB的方程為y=－x+3(0≤x≤3)

由于拋物線C和線段AB有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，

所以方程組 ^*有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解.

消元得：x²－(m+1)x+4=0(0≤x≤3)

設(shè)f(x)=x²－(m+1)x+4,則有

②充分性：

當(dāng)3＜x≤ 時(shí)，

x₁= >0

∴方程x²－(m+1)x+4=0有兩個(gè)不等的實(shí)根x₁,x₂,且0＜x₁＜x₂≤3,方程組*有兩組不同的實(shí)數(shù)解.

因此，拋物線y=－x²+mx－1和線段AB有兩個(gè)不同交點(diǎn)的充要條件3＜m≤ .

8.解：若關(guān)于x的方程x²+mx+n=0有2個(gè)小于1的正根，設(shè)為x₁,x₂.

則0＜x₁＜1,0＜x₂＜1,有0＜x₁+x₂＜2且0＜x₁x₂＜1,

根據(jù)韋達(dá)定理：

有－2＜m＜0;0＜n＜1即有q p.

反之，取m=－ ＜0

方程x²+mx+n=0無實(shí)根，所以p q

綜上所述，p是q的必要不充分條件.