【專題名稱】初中數(shù)學(xué)教與學(xué)【專 題 號】G352【復(fù)印期號】2010年12期【原文出處】《黑龍江教育（中學(xué)教學(xué)案例與研究）》(哈爾濱)2010年7/20108期第40～42頁【作者簡介】劉明輝，山西省長治市第19中學(xué)。【關(guān) 鍵 詞】EEUU
對當(dāng)前的初中平面幾何課程的改革，我們至少有以下三點認(rèn)識：第一，平面幾何教學(xué)要選取現(xiàn)實約、有意義的、富有挑戰(zhàn)性的內(nèi)容，緊緊與學(xué)生的生活經(jīng)驗與活動經(jīng)驗相聯(lián)系，為學(xué)生提供生動的幾何背景；第二，幾何的學(xué)習(xí)方式應(yīng)該包含觀察、實驗、猜想、證明等多種形式的數(shù)學(xué)活動；第三，初中平面幾何課程應(yīng)該兼顧培養(yǎng)學(xué)生的演繹推理和合情推理兩種能力，從改進(jìn)以往傳統(tǒng)的幾何教學(xué)目標(biāo)的角度看，當(dāng)前尤其需要加強(qiáng)合情推理能力的培養(yǎng)。概括起來，本次初中平面幾何課程改革的著眼點在于：不是把平面幾何課程當(dāng)作一系列現(xiàn)成的、凝固的、經(jīng)典的知識體系去讓學(xué)生接受，而是把它作為一個可以動態(tài)生長的知識領(lǐng)域讓學(xué)生去探究。在這里，我們探討傳統(tǒng)平面幾何題的升華，這既是新課程改革帶來的理念的注入，也是來自中學(xué)數(shù)學(xué)教育工作者發(fā)自內(nèi)心的創(chuàng)新和探索，它對新課程平面幾何的教學(xué)是大有裨益的。
一、讓背景“活”起來——應(yīng)用式升華
傳統(tǒng)的平面幾何題一般都過于平淡、缺乏生活氣息。如果對其賦予與學(xué)生密切相關(guān)的生活情境，不僅可以激發(fā)學(xué)生的參與熱情，而且還有強(qiáng)烈的教育意義。
例1：如圖1，△ABC是一個鋼架，AB=AC，AD是連接A與BC中點D的支架。求證：AD⊥BC。
圖1
例2：如圖1，△ABC是一個房屋的人字梁，其中AB=AC，為了使人字梁更加穩(wěn)固，房主要求小木工在頂點A和橫梁BC之間加一根柱子AD?？尚∧竟び捎谖磳W(xué)過幾何，不知榫眼D該鑿在BC何處，才能使AD⊥BC。請問你能幫助他嗎？寫出方案并說明理由。
【點評：例2是由一個傳統(tǒng)題如例1升華為應(yīng)用性的問題，與例1相比，例2的優(yōu)越性在于：首先，題型開放了。有的學(xué)生憑直覺大膽猜想D為BC的中點；也有的學(xué)生依賴生活經(jīng)驗，用懸掛鉛垂線的方法尋找D點（鉛垂也可用小石塊代替）；還有的學(xué)生想到先拉根細(xì)線，再用三角板靠，等等。其次，背景活了。創(chuàng)設(shè)“小木工由于未學(xué)幾何以至不會畫圖”的情境，不僅可以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)幾何的興趣，同時也教育學(xué)生：學(xué)好幾何是何等重要！】
二、讓題型“活”起來——開放式升華
把過去傳統(tǒng)幾何題的證明結(jié)論，升華為猜想發(fā)現(xiàn)結(jié)論；或?qū)ふ覘l件部分，然后證明，由封閉向開放轉(zhuǎn)化。
例3：如圖2，△ABC為等邊三角形，點D、E分別在BC邊和CA邊上，BD=2DC,CE=2EA,AD與BE相交于G求證：AD=BE
圖2
例4：如圖2，△ABC為等邊三角形，點D、E分別在BC邊和C4邊上，BD=2DC，CE=2EA，AD與BE相交于G，試就有關(guān)圖形的形狀、大小和關(guān)系得出盡可能多的結(jié)論。
【點評：傳統(tǒng)題例3隱去結(jié)論“求證AD=BE”，就升華為開放題例4.結(jié)論是多種多樣的，學(xué)生不同的思維方式、不同的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)和不同的數(shù)學(xué)能力，可能出現(xiàn)不同的結(jié)果。如先考慮三角形的全等關(guān)系，有(1)△ACD≌△BAE；由此可推出，(2)AD=BE,(3)∠DAC=∠EBA,(4)∠ADC=∠BEA；再考慮特殊角，(5)顯然，∠ABC=∠BCA=∠CAB=60°，(6)聯(lián)系(1)，有∠AGE=∠EBA+∠GAB=∠EAG+∠GAB=∠EAB=60°；進(jìn)一步推出：(7)∠DGE=120°，(8)D、G、E、C四點共圓，(9)AE·AC=AG·AD，或BG·BE=BD·BC,(10)2AG·AD=BG·BE。(11)∠GDC+∠CEG=180°,(12)△AGE≌△ACD?！?br> 三、讓手“活”起來——實驗、操作的升華
傳統(tǒng)的平面幾何題，注重對學(xué)生思維能力的培養(yǎng)，而忽視動手能力的訓(xùn)練。其實，結(jié)合題目的特征，把傳統(tǒng)幾何題改編為實際操作題，讓學(xué)生的手動一動，不但能提高學(xué)習(xí)興趣，而且還能加深學(xué)生對題目的理解，強(qiáng)化實踐能力。
例5：已知：如圖3，點A′、B′、C′、D′分別是正方形ABCD四條邊上的點，并且AA′=BB′=CC′=DD′。求證：四邊形A′B′C′D′為正方形。
圖3
例6：如圖4，若把正方形ABCD的四個角剪掉，試問怎樣剪，才能使剩下的圖形仍為正方形？請在圖上畫出一個可行的方案，并說明理由。
圖4
【點評：與例5相比，例6難度雖然大了，但易操作。學(xué)生通過動手實踐發(fā)現(xiàn)：當(dāng)剪下的四個角是全等三角形時，剩下的四邊形恰好是正方形。從而為畫出方案圖和證明奠定了基礎(chǔ)?！?br> 例7：把一個等腰直角三角形ABC沿斜邊上的高線CD剪一刀（圖5），從這個三角形中剪下一部分，與剩下部分能拼成一個平行四邊形ABCD，如圖6所示。
探究1：
(1)想一想：判斷ABCD是平行四邊形的依據(jù)是——；
(2)做一做：按上述的剪裁方法，請你拼一個與圖6位置或形狀不同的平行四邊形。
探究2：
(1)試一試：你能拼得所有的不同類型的特殊四邊形有＿＿；它們的裁剪線分別為＿＿；
(2)畫一畫：請畫出你拼得的特殊四邊形的示意圖。
【點評：例7以動手實驗為基礎(chǔ)，展示問題的探究即結(jié)論的產(chǎn)生過程。對動手實驗、周密思考、探索驗證能力要求較高?！?br> 我們還可以借助于紙片、三角板等，在幾何圖形中融入折疊、交換操作等現(xiàn)實情境，把靜態(tài)的題目向動態(tài)轉(zhuǎn)化，把畫圖形向“實驗”（折疊等）與運動操作轉(zhuǎn)化。
例8：如圖7，已知在正方形ABCD中，E是AB的中點，EF⊥DE且交∠ABC的外角平分線BF于點F。
(1)求證：DE=EF；
(2)若將上述條件中的“E是中點”改為“E是AB上任意一點”，其余條件不變，則結(jié)論還成立嗎？如果成立，請證明；如果不成立，請說明理由。
圖7
這樣一個稍具開放的傳統(tǒng)題可增加“現(xiàn)實情境”——三角板，升華如下。
例9：如下頁圖8、9，四邊形ABCD是正方形，M是AB延長線上一點。直角三角尺的一條直角邊經(jīng)過點D，且直角頂點E在AB邊上滑動（點E不與點A、B重合），另一條直角邊與∠CBM的平分線相交于點F。
(1)如圖8，當(dāng)點正在AB邊的中點位置時：
①通過測量DE、EF的長度，猜想DE與EF滿足的數(shù)量關(guān)系是＿＿；
②連接點E與AD邊的中點N，猜想NE與BF滿足的數(shù)量關(guān)系是＿＿；
③請證明你的上述兩個猜想。
圖8
(2)如圖9，當(dāng)點E在AB邊上的任意位置時，請你在AD邊上找到一點N，使得NE=BF，進(jìn)而猜想此時DE與EF有怎樣的數(shù)量關(guān)系。
圖9
四、讓過程“活”起來——探究過程的升華
把幾何（數(shù)學(xué)）的研究過程融入題目中，體現(xiàn)數(shù)學(xué)活動過程，如猜想、類比、發(fā)現(xiàn)，一般化與特殊化，試題由形式單一向形式多樣轉(zhuǎn)化，由靜態(tài)向動態(tài)轉(zhuǎn)化。其實，前面的問題也不同程度地體現(xiàn)了探究過程。
例10：在一次課題學(xué)習(xí)活動中，老師提出了如下問題：點P是正方形ABCD內(nèi)的一點，過點P畫直線l分別交正方形的兩邊于點M、N，使點P是線段MN的三等分點，這樣的直線l能夠畫幾條？
經(jīng)過思考，甲同學(xué)給出了如下畫法：如圖10，過點P畫PE⊥AB于E，在EB上取點M，使EM=2EA，畫直線MP交AD于N，則直線MN就是符合條件的直線。
圖10
根據(jù)以上信息，解決下列問題：
(1)甲同學(xué)的畫法是否正確？請說明理由。
(2)在圖10中，能否再畫出符合題目條件的直線？如果能，請直接在圖11中畫出。
(3)如圖11，
分別是正方形ABCD的邊AB、CD上的三等分點，且
∥AD。當(dāng)點P在線段
上時，能否畫出符合題目條件的直線？如果能，可以畫出幾條？
圖11
(4)如圖12，正方形ABCD邊界上的
都是所在邊的三等分點。當(dāng)點P在正方形ABCD內(nèi)的不同位置時，試討論，符合題目條件的直線1條數(shù)的情況。
圖12
【點評：例10把以前的靜態(tài)問題升華為數(shù)學(xué)過程，是一道關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)活動和探究過程的好題。本題以課題學(xué)習(xí)的形式來呈現(xiàn)問題，讓學(xué)生在解決問題的過程中，親身經(jīng)歷“創(chuàng)設(shè)情景——實踐探索——建立模型——熟悉模型——反思——應(yīng)用與拓展”的探究過程。設(shè)計新穎，構(gòu)思精巧，可謂獨具匠心！首先，通過判斷甲同學(xué)解答的正誤來創(chuàng)設(shè)問題情境；然后讓學(xué)生在判斷正誤的互動中，探究出畫符合條件直線的理論依據(jù)，進(jìn)而建立“如何畫符合條件的直線”的模型（方法）；之后，通過模仿（在畫一條符合條件的直線）來熟悉數(shù)學(xué)模型；接下來，再通過一個特殊位置來反思數(shù)學(xué)模型，揭示問題本質(zhì)；最后，把模型放到整個正方形中，實現(xiàn)對模型的應(yīng)用與拓展。這個題目的布局從一般到特殊再到一般，立足于培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的能力和創(chuàng)新意識。由于第(4)小題是前3小題的綜合與拓展，所以還需學(xué)生有分類討論的意識?！?br> 我們從“應(yīng)用”“開放”“實踐”“過程”對傳統(tǒng)題升華為新題型作了概括和探討，此類升華題已成為近年中考平面幾何試題的主流。^NU1DA20110217
