專題08 整式的乘除與因式分解
（滿分：100分 時間：90分鐘）
班級_________ 姓名_________ 學號_________ 分數(shù)_________
一、單選題(共10小題，每小題3分，共計30分)
1．（貴州黔南布依族苗族自治州·中考真題）下列運算正確的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
分別計算出各項的結果，再進行判斷即可.
【詳解】
A.
，故原選項錯誤；
B.
，故原選項錯誤；
C.
，計算正確；
D.
，故原選項錯誤.
故選C
2．（貴州遵義市·中考真題）下列計算正確的是（ ）
A．x2+x＝x3 B．（﹣3x）2＝6x2
C．8x4÷2x2＝4x2 D．（x﹣2y）（x+2y）＝x2﹣2y2
【答案】C
【分析】
根據各個選項中的式子，可以計算出正確的結果，從而可以解答本題．
【詳解】
解：x2+x不能合并，故選項A錯誤；
，故選項B錯誤；
8x4÷2x2＝4x2，故選項C正確；
（x﹣2y）（x+2y）＝x2﹣4y2，故選項D錯誤；
故選：C．
3．（甘肅天水市·中考真題）觀察等式：
；
；
；…已知按一定規(guī)律排列的一組數(shù)：
，若
，用含
的式子表示這組數(shù)據的和是( )
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
由題意得出
，再利用整體代入思想即可得出答案．
【詳解】
解：由題意得：這組數(shù)據的和為：
∵
，
∴原式=
,
故選：A．
4．（河北中考真題）對于①
，②
，從左到右的變形，表述正確的是（ ）
A．都是因式分解 B．都是乘法運算
C．①是因式分解，②是乘法運算 D．①是乘法運算，②是因式分解
【答案】C
【分析】
根據因式分解的定義進行判斷即可；
【詳解】
①左邊多項式，右邊整式乘積形式，屬于因式分解；
②左邊整式乘積，右邊多項式，屬于整式乘法；
故答案選C．
5．（浙江金華市·中考真題）下列多項式中，能運用平方差公式分解因式的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
根據平方差公式的特點分析即可．
【詳解】
解：A、
不能運用平方差公式分解，故此選項錯誤；
B、
不能運用平方差公式分解，故此選項錯誤：
C、
能運用平方差公式分解，故此選項正確：
D、
不能運用平方差公式分解，故此選項錯誤；
故答案為C．
6．（河南中考真題）電子文件的大小常用
等作為單位，其中
，某視頻文件的大小約為
等于( )
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
根據題意及冪的運算法則即可求解．
【詳解】
依題意得
=
故選A．
7．（山東濰坊市·中考真題）若
，則
的值是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】D
【分析】
把所求代數(shù)式
變形為
，然后把條件整體代入求值即可．
【詳解】
∵
，
∴
=
=4×1-3
=1．
故選：D．
8．（四川眉山市·中考真題）已知
，則
的值為（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
根據
，變形可得：
，因此可求出
，
，把
和
代入
即可求解．
【詳解】
∵
∴
即
，
∴求得：
，
∴把
和
代入
得：
故選：A
9．（江蘇南京市·中考真題）計算
的結果是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
先計算冪的乘方，再計算同底數(shù)冪的除法，從而可得答案．
【詳解】
解：
故選B．
10．（江蘇鎮(zhèn)江市·中考真題）下列計算正確的是（ ）
A．a3+a3＝a6 B．（a3）2＝a6 C．a6÷a2＝a3 D．（ab）3＝ab3
【答案】B
【分析】
根據合并同類項、同底數(shù)冪的乘除法、冪的乘方、積的乘方的計算法則進行計算即可．
【詳解】
解：
，因此選項
不正確；
，因此選項
正確；
，因此選項
不正確；
，因此選項
不正確；
故選：B．
二、填空題(共5小題，每小題4分，共計20分)
11．（黑龍江大慶市·中考真題）分解因式：
=______．
【答案】x（x+2）（x﹣2）．
【解析】
試題分析：
=
=x（x+2）（x﹣2）．故答案為x（x+2）（x﹣2）．
12．（廣東中考真題）已知
，
，計算
的值為_________．
【答案】7
【分析】
將代數(shù)式化簡，然后直接將
，
代入即可．
【詳解】
由題意得
，
，
∴
，
故答案為：7．
13．（浙江杭州市·中考真題）設M＝x+y，N＝x﹣y，P＝xy．若M＝1，N＝2，則P＝_____．
【答案】﹣
【分析】
根據完全平方公式得到（x+y）2＝x2+2xy+y2＝1，（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2＝4，兩式相減即可求解．
【詳解】
解：∵M＝x+y，N＝x﹣y，M＝1，N＝2，
∴（x+y）2＝1，（x﹣y）2＝4，
∴x2+2xy+y2＝1，＝x2﹣2xy+y2＝4，
兩式相減得4xy＝﹣3，
解得xy＝﹣
，
則P＝﹣
．
故答案為：﹣
．
14．（四川成都市·中考真題）已知
，則代數(shù)式
的值為_________．
【答案】49
【分析】
先將條件的式子轉換成a+3b=7，再平方即可求出代數(shù)式的值．
【詳解】
解：∵
，
∴
，
∴
，
故答案為：49．
15．（四川內江市·中考真題）分解因式：
_____________
【答案】
【分析】
先根據十字相乘法，再利用平方差公式即可因式分解．
【詳解】
故答案為：
．
三、解答題(共5小題，每小題10分，共計50分)
16．（河北中考真題）有一電腦程序：每按一次按鍵，屏幕的
區(qū)就會自動加上
，同時
區(qū)就會自動減去
，且均顯示化簡后的結果．已知
，
兩區(qū)初始顯示的分別是25和－16，如圖．
如，第一次按鍵后，
，
兩區(qū)分別顯示：
（1）從初始狀態(tài)按2次后，分別求
，
兩區(qū)顯示的結果；
（2）從初始狀態(tài)按4次后，計算
，
兩區(qū)代數(shù)式的和，請判斷這個和能為負數(shù)嗎？說明理由．
【答案】（1）
；
；（2）
；和不能為負數(shù)，理由見解析．
【分析】
（1）根據題意，每按一次按鍵，屏幕的
區(qū)就會自動加上
，
區(qū)就會自動減去
，可直接求出初始狀態(tài)按2次后A，B兩區(qū)顯示的結果．
（2）依據題意，分別求出初始狀態(tài)下按4次后A，B兩區(qū)顯示的代數(shù)式，再求A，B兩區(qū)顯示的代數(shù)式的和，判斷能否為負數(shù)即可．
【詳解】
解：（1）A區(qū)顯示結果為：
，
B區(qū)顯示結果為：
；
（2）初始狀態(tài)按4次后A顯示為：
B顯示為：
∴A+B=
=
=
∵
恒成立，
∴和不能為負數(shù)．
17．（湖北武漢市·中考真題）計算：
．
【答案】
【分析】
根據同底數(shù)冪相乘、乘積的冪、冪的乘方、同底數(shù)冪相除運算法則逐步求解即可．
【詳解】
解：原式
．
18．（浙江嘉興市·中考真題）比較x2+1與2x的大?。?div style="height:15px;">
（1）嘗試（用“＜”，“＝”或“＞”填空）：
①當x＝1時，x2+1 2x；
②當x＝0時，x2+1 2x；
③當x＝﹣2時，x2+1 2x．
（2）歸納：若x取任意實數(shù)，x2+1與2x有怎樣的大小關系？試說明理由．
【答案】（1）①=；②>；③>；（2）x2+1≥2x，理由見解析
【分析】
（1）根據代數(shù)式求值，可得代數(shù)式的值，根據有理數(shù)的大小比較，可得答案；
（2）根據完全平方公式，可得答案．
【詳解】
解：（1）①當x＝1時，x2+1＝2x；
②當x＝0時，x2+1＞2x；
③當x＝﹣2時，x2+1＞2x．
故答案為：＝；＞；＞．
（2）x2+1≥2x．
證明：∵x2+1﹣2x＝（x﹣1）2≥0，
∴x2+1≥2x．
19．（四川攀枝花市·中考真題）已知
，將下面代數(shù)式先化簡，再求值．
【答案】
；9
【分析】
先利用完全平方公式和平方差公式以及多項式乘法法則展開，再合并同類項，最后將x=3代入即可.
【詳解】
解：
=
=
將x=3代入，
原式=9
20．（四川內江市·中考真題）我們知道，任意一個正整數(shù)x都可以進行這樣的分解：
（m，n是正整數(shù)，且
），在x的所有這種分解中，如果m，n兩因數(shù)之差的絕對值最小，我們就稱
是x的最佳分解．并規(guī)定：
．
例如：18可以分解成
，
或
，因為
，所以
是18的最佳分解，所以
．
（1）填空：
；
；
（2）一個兩位正整數(shù)t（
，
，a，b為正整數(shù)），交換其個位上的數(shù)字與十位上的數(shù)字得到的新數(shù)減去原數(shù)所得的差為54，求出所有的兩位正整數(shù)；并求
的最大值；
（3）填空：
①
；
②
；
③
；
④
．
【答案】（1）
；1；（2）t為39，28，17；
的最大值
；（3）
【分析】
（1）6＝1×6＝2×3，由已知可求
＝
；9=1×9=3×3，由已知可求
=1；
（2）由題意可得：交換后的數(shù)減去交換前的數(shù)的差為：10b＋a?10a?b＝9（b?a）＝54，得到b?a＝6，可求t的值，故可得到
的最大值；
（3）根據
的定義即可依次求解．
【詳解】
（1）6＝1×6＝2×3，
∵6?1＞3?2，
∴
＝
；
9=1×9=3×3，
∵9?1＞3?3，
∴
=1，
故答案為：
；1；
（2）由題意可得：交換后的數(shù)減去交換前的數(shù)的差為：
10b＋a?10a?b＝9（b?a）＝54，
∴b?a＝6，
∵1≤a≤b≤9，
∴b＝9，a＝3或b＝8，a＝2或b＝7，a＝1，
∴t為39，28，17；
∵39＝1×39＝3×13，
∴
＝
；
28＝1×28＝2×14＝4×7，
∴
＝
；
17＝1×17，
∴
；
∴
的最大值
．
（3）①∵
=20×21
∴
；
②
=28×30
∴
；
③∵
=40×42
∴
；
④∵
=56×60
∴
，
故答案為：
．
【點睛】
本題考查因式分解的應用；理解題意，從題目中獲取信息，列出正確的代數(shù)式，再由數(shù)的特點求解是解題的關鍵．
