內(nèi)容提要:不過(guò)就是各種流量相等而已
上次我們簡(jiǎn)要分析了數(shù)學(xué)中的“▽”到底是干嘛用的，并最后通過(guò)表格對(duì)梯度、散度和旋度進(jìn)行了對(duì)比。
沒(méi)關(guān)系，我直接在下面貼出來(lái)供大家復(fù)習(xí)。
有了上面的基礎(chǔ)，今天就以不可壓縮流體為例來(lái)看看，流體力學(xué)里面的連續(xù)性方程和Navier-Stokes方程到底是啥意思？
連續(xù)性方程
Navier-Stokes方程
連續(xù)性方程
簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)，連續(xù)性方程就是質(zhì)量守恒定律在流體力學(xué)中的具體表述形式。
如上圖所示，假設(shè)流體流動(dòng)速度為v且與平面AB垂直，考慮圖中的平面AB，則在dt的時(shí)間內(nèi)，通過(guò)平面AB的質(zhì)量流量dΦ為
其中的ρ表示流體密度。
進(jìn)一步，如果速度v和平面AB的方向不垂直，而是存在一個(gè)夾角θ，則在dt的時(shí)間內(nèi)，通過(guò)這個(gè)平面的質(zhì)量流量dΦ就成了
對(duì)于一個(gè)閉合曲面而言，我們只需對(duì)每一個(gè)平面微元的質(zhì)量流量進(jìn)行求和，即可得到在dt時(shí)間內(nèi)流體通過(guò)該閉合曲面的質(zhì)量流量Φ為
也就是說(shuō)：
因?yàn)榱黧w流動(dòng)，流出閉合曲面的流體質(zhì)量為Φ。反之，流入閉合曲面的流體質(zhì)量為-Φ。
此外，閉合曲面內(nèi)流體的質(zhì)量為
在dt的時(shí)間內(nèi)，閉合曲面內(nèi)流體的質(zhì)量增加量dm為
由于流體質(zhì)量守恒，流體的質(zhì)量增加量dm就應(yīng)當(dāng)?shù)扔诹魅腴]合曲面的流體質(zhì)量-Φ。
變形整理一下就是
根據(jù)散度的定義，有
因此
因?yàn)榱黧w密度ρ除了是時(shí)間t的函數(shù)以外，還是位置x,y,z的函數(shù)，所以這里用偏導(dǎo)數(shù)代替導(dǎo)數(shù)，得到
也就是說(shuō)，對(duì)于任意區(qū)域來(lái)說(shuō)，流體質(zhì)量的增加量就等于流入該區(qū)域的流體質(zhì)量。
換算到單位體積（其實(shí)就是去掉積分符號(hào)），自然就得到了
這就是我們平時(shí)見(jiàn)到的連續(xù)性方程。
進(jìn)一步，如果流體不可壓縮，那流體密度ρ就成了常數(shù)且不隨時(shí)間發(fā)生變化，因此連續(xù)性方程就簡(jiǎn)化為了
Navier-Stokes方程
類(lèi)比連續(xù)性方程，我們自然也可以知道，對(duì)于任意區(qū)域來(lái)說(shuō)，流體動(dòng)量的增加量就等于流入該區(qū)域的流體動(dòng)量。
質(zhì)量表達(dá)式為
動(dòng)量表達(dá)式為
也就是說(shuō)，動(dòng)量與質(zhì)量相比，也就是多乘了個(gè)v而已。
所以動(dòng)量守恒方程就變成了
這比Navier-Stokes方程方程簡(jiǎn)單太多了，你這是錯(cuò)的吧！
的確，以上情況只在流體完全不受力的情況下成立。
牛頓爵士告訴我們，動(dòng)量為p的質(zhì)點(diǎn)，在外力F的作用下，其動(dòng)量隨時(shí)間的變化率等于該質(zhì)點(diǎn)所受的外力。
牛頓
也就是說(shuō)，除了流入該區(qū)域的流體動(dòng)量，流體區(qū)域內(nèi)所受的力也會(huì)造成流體動(dòng)量的變化。
其中一定存在的力有兩個(gè)，一個(gè)是壓力，而另一個(gè)就是粘性力。壓力主要用于平衡流體之間的受力，而粘性力則是由于流體的流動(dòng)而引起的。對(duì)于不可壓縮流體而言，它們的大小就等于
由于推導(dǎo)實(shí)在是太過(guò)復(fù)雜，這里就不詳細(xì)推導(dǎo)了。我們直接把前人的結(jié)果拿來(lái)用就好了。想具體了解的同學(xué)可以參考周光坰流體力學(xué)上冊(cè)的1.6和4.5節(jié)。
至于其他力，比如說(shuō)重力，電磁力等等，既然沒(méi)有表達(dá)式，不妨直接把它們寫(xiě)到一起，記做
力的存在效果和流入該區(qū)域的動(dòng)量是等價(jià)的，因此N-S方程最終就成了
也就是說(shuō)，對(duì)于任意區(qū)域來(lái)說(shuō)，流體動(dòng)量的增加量就等于流入該區(qū)域的流體動(dòng)量加上該區(qū)域所受的力。
換算到單位體積（其實(shí)就是去掉積分符號(hào)），自然就得到了
這就是我們平時(shí)見(jiàn)到的Navier-Stokes方程。
萬(wàn)物流量皆相等（我瞎編的）
事實(shí)上，以上推導(dǎo)邏輯可以應(yīng)用到任何關(guān)于流動(dòng)的場(chǎng)景。
對(duì)于任意變量Φ，最終的方程基本上都可以寫(xiě)成：
物理量的增加量=物理量的流入量+引起物理量增加的其他原因。
變成公式（其實(shí)就是把連續(xù)性方程的密度ρ換成變量Φ）就是
里面的U表示unkown，意思是我也不知道它是個(gè)啥。
是不是還挺有意思的，大家快都來(lái)學(xué)習(xí)流體力學(xué)吧！
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