每個(gè)學(xué)習(xí)階段，都有對(duì)數(shù)學(xué)的要求，對(duì)于研究生，同樣如此；不同的是，作為學(xué)院教育的最后階段，研究生的數(shù)學(xué)要求雖然很高，卻不這么明確，需要根據(jù)研究問題的不同，不斷地提高數(shù)學(xué)能力。
以下是研究生需要掌握的數(shù)學(xué)分支。對(duì)大多數(shù)研究生來說，需要了解或熟悉這些數(shù)學(xué)，在需要的時(shí)候掌握，精通部分?jǐn)?shù)學(xué)。更深入的使用，可以跟數(shù)學(xué)相關(guān)專業(yè)的專業(yè)咨詢合作。
線性代數(shù)
線性代數(shù)研究線性變換和向量空間，或者說，研究矩陣乘法與向量空間。你應(yīng)該知道如何在抽象向量空間的語言和矩陣的語言之間進(jìn)行轉(zhuǎn)換。特別是，給定向量空間的基，你應(yīng)該知道如何將任何線性變換表示為矩陣。此外，給定兩個(gè)矩陣，你應(yīng)該知道如何確定這些矩陣是否實(shí)際表示相同的線性變換，但在基的不同選擇下線性代數(shù)的關(guān)鍵定理是一個(gè)陳述，它給出了矩陣可逆時(shí)的許多等價(jià)描述。你還應(yīng)該知道為什么特征向量和特征值在線性代數(shù)中自然出現(xiàn)。
實(shí)分析
極限、連續(xù)性、微分和積分的基本定義應(yīng)該從和
的角度來理解。使用此
和的語言，您應(yīng)該熟悉函數(shù)一致收斂的思想。
微分向量值函數(shù)
逆函數(shù)定理的目標(biāo)是證明可微函數(shù)局部可逆當(dāng)且僅當(dāng)其導(dǎo)數(shù)的行列式為非零時(shí)。對(duì)于向量值函數(shù)可微的含義，您應(yīng)該很容易理解，為什么導(dǎo)數(shù)必須是線性映射（因此可以表示為矩陣Jacobian）以及如何計(jì)算Jacobian矩陣。此外，你應(yīng)該知道隱式函數(shù)定理的陳述，并了解為什么隱函數(shù)定理與逆函數(shù)定理密切相關(guān)。
點(diǎn)集拓?fù)?/strong>
您應(yīng)該了解如何用開集定義拓?fù)洌约叭绾斡瞄_集表達(dá)連續(xù)函數(shù)的思想。R上的標(biāo)準(zhǔn)拓?fù)浔仨毢芎玫乩斫猓辽僖_(dá)到海涅-博雷爾定理的水平。最后，你應(yīng)該知道什么是度量空間，以及如何使用度量定義開集，從而定義拓?fù)洹?/p>
經(jīng)典斯托克斯定理
你應(yīng)該知道向量場(chǎng)的微積分。特別是，你應(yīng)該知道如何計(jì)算旋度和發(fā)散，并知道旋度和發(fā)散背后的幾何解釋向量場(chǎng)、函數(shù)的梯度和沿曲線的路徑積分。然后你應(yīng)該知道微積分基本定理的經(jīng)典擴(kuò)展，即發(fā)散定理和斯托克斯定理。你應(yīng)該特別了解，為什么這些確實(shí)是微積分基本定理的推廣
微分形式和斯托克斯定理
流形是自然出現(xiàn)的幾何對(duì)象。微分k-形式是在流形上進(jìn)行微積分的工具。您應(yīng)該知道定義流形的各種方法，如何定義和思考微分k-forms。以及如何求k-型的外導(dǎo)數(shù)。你還應(yīng)該能夠?qū)-形式和外部派生的語言翻譯成關(guān)于向量場(chǎng)、梯度、卷曲和發(fā)散的語言。最后你應(yīng)該知道斯托克斯定理的陳述，理解為什么它是一個(gè)關(guān)于（k+1）維流形邊界上k-型積分與流形上k-型外導(dǎo)數(shù)積分相等的尖銳定量陳述。
曲線和曲面曲率
在其所有表現(xiàn)形式中，試圖測(cè)量幾何對(duì)象相切空間方向的變化率。你應(yīng)該知道如何計(jì)算平面曲線的曲率、空間曲線的曲率和扭轉(zhuǎn)以及空間中曲面的兩個(gè)主曲率。
幾何
不同的幾何學(xué)是由不同的公理系統(tǒng)構(gòu)建的。給定直線和不在上的點(diǎn)，歐幾里德幾何假定只有有一條直線通過平行于，雙曲幾何假定有多條直線通過平行于，橢圓幾何假定沒有直線平行于。你應(yīng)該知道雙曲幾何、單橢圓幾何和雙橢圓幾何的模型。
復(fù)分析
理解函數(shù)何時(shí)可以進(jìn)行分析的各種等價(jià)方法。這里我們關(guān)注函數(shù)，其中U是復(fù)數(shù)C中的一個(gè)開集。你應(yīng)該知道，如果這樣一個(gè)函數(shù)滿足以下任何一個(gè)等價(jià)條件，那么它就是可分析的。
（1）對(duì)任何，下列極限存在
（2）函數(shù)的實(shí)部和虛部滿足Cauchy-Riemann等式：
且
（3）如果是中的逆時(shí)針普通旋轉(zhuǎn)圈，并且如果是內(nèi)部的任何復(fù)數(shù)，那么
這就是Cauchy積分公式
（4）對(duì)于任何復(fù)數(shù)，在里，存在的一個(gè)開鄰域，其中
是一致收斂連續(xù)。
可數(shù)性和選擇公理的映射
你應(yīng)該知道集合是可數(shù)的無限意味著什么。特別是，你應(yīng)該知道整數(shù)和有理數(shù)是可數(shù)有限的，而實(shí)數(shù)是不可數(shù)無限的。選擇公理的陳述以及它有許多看似奇異的等價(jià)物這一事實(shí)也應(yīng)該被了解。
代數(shù)
群是抽象代數(shù)的基本研究對(duì)象，是幾何對(duì)稱的代數(shù)解釋。人們應(yīng)該了解關(guān)于群、環(huán)和域的基本知識(shí)。你還應(yīng)該知道伽羅瓦理論，它提供了有限群和多項(xiàng)式根的發(fā)現(xiàn)之間的聯(lián)系，因此顯示了高中代數(shù)和抽象代數(shù)之間的聯(lián)系。最后，你應(yīng)該了解表象理論背后的基礎(chǔ)知識(shí)，這就是如何將抽象群與矩陣群聯(lián)系起來的。
勒貝格積分
你應(yīng)該了解勒貝格測(cè)度和積分背后的基本思想，至少要了解勒貝格支配收斂定理的水平和測(cè)度集的概念。
傅立葉分析
你應(yīng)該知道如何找到周期函數(shù)的傅立葉級(jí)數(shù)，函數(shù)的傅立葉積分，傅里葉變換，以及傅里葉級(jí)數(shù)希爾伯特空間的微分方程。此外，您應(yīng)該了解如何使用傅里葉變換簡(jiǎn)化微分方程。
微分方程
物理學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、數(shù)學(xué)和其他科學(xué)的一門學(xué)科歸結(jié)為試圖找到微分方程的解。應(yīng)該知道，微分方程的目標(biāo)是找到一個(gè)滿足含導(dǎo)數(shù)方程的未知函數(shù)。基于某種合理的限制，常微分方程總是有解的。這絕不是偏微分方程的情況，因?yàn)槠⒎址匠痰慕獾拇嬖谛酝俏粗?。你還應(yīng)該熟悉三類傳統(tǒng)的偏微分方程：熱方程、波動(dòng)方程和拉普拉斯算子。
組合學(xué)和概率論
初等組合學(xué)和基本概率論都?xì)w結(jié)為計(jì)數(shù)問題。你應(yīng)該知道
是從n個(gè)元素中選擇k個(gè)元素的方法數(shù)。與多項(xiàng)式的二項(xiàng)式定理的關(guān)系有助于進(jìn)行方便的計(jì)算。應(yīng)該理解基本概率理論。首先，我們應(yīng)該理解以下術(shù)語：樣本空間、隨機(jī)變量（包括其直覺和作為函數(shù)的定義）、期望值和變量。我們應(yīng)該明確理解為什么計(jì)數(shù)參數(shù)對(duì)于計(jì)算有限樣本空間的概率至關(guān)重要。概率和積分之間的聯(lián)系可以在各種版本的中心極限定理中看到，其中的思想應(yīng)該是已知的。
算法
你應(yīng)該理解算法的復(fù)雜性意味著什么，至少要理解問題P=NP。應(yīng)該了解基本圖論；例如，您應(yīng)該了解為什么樹是理解許多算法的自然結(jié)構(gòu)。數(shù)值分析是對(duì)數(shù)學(xué)中近似計(jì)算答案的算法的研究。例如，你應(yīng)該了解牛頓近似多項(xiàng)式根的方法。
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