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例題一：

如圖，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度數(shù)和

【考點(diǎn)】三角形的外角性質(zhì)；三角形內(nèi)角和定理．

【分析】由三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和，得∠4=∠A+∠2，∠2=∠D+∠C，進(jìn)而利用三角形的內(nèi)角和定理求解

解：如圖可知：
∵∠4是三角形的外角，
∴∠4=∠A+∠2，
同理∠2也是三角形的外角，
∴∠2=∠D+∠C，
在△BEG中，∠B+∠E+∠4=180°，
即∠B+∠E+∠A+∠D+∠C=180°

例題二：

如圖，BI，CI分別平分△ABC的外角∠DBC和∠ECB，

（1）若∠ABC=40°，∠ACB=36°，求∠BIC的大??；
（2）若∠A=96°，試求∠BIC；
（3）根據(jù)前面問題的求解，請(qǐng)歸納∠BIC和∠A的數(shù)量關(guān)系并進(jìn)行證明．

分析：

（1）運(yùn)用三角形的內(nèi)角和定理及角平分線的定義，求出∠IBC+∠ICB的值，即可解決問題．
（2）先根據(jù)∠A=96°，得出∠1+∠2=84°，再運(yùn)用（1）中的方法即可解決問題．
（3）證明思路方法即（2）中的方法．

解：（1）如圖所示，∵∠ABC=40°，∠ACB=36°，
∴∠DBC=140°，∠ECB=144°，
又∵BI，CI分別平分△ABC的外角∠DBC和∠ECB，
∴∠3=1/2∠DBC=70°，∠4=1/2∠ECB=72°，
∴△BCI中，∠I=180°-70°-72°=38°

（2）∵∠A=96°，
∴∠1+∠2=84°，
∴∠DBC+∠ECB=276°，
又∵BI，CI分別平分△ABC的外角∠DBC和∠ECB，
∴∠3+∠4=1/2（∠DBC+∠ECB）=1/2×276°=138°，
∴△BCI中，∠I=180°-138°=42°

（3）∠BIC=90°-∠A．
證明：△ABC中，∠1+∠2=180°-∠A，
∴∠DBC+∠ECB=360°-（180°-∠A）=180°+∠A，
又∵BI，CI分別平分△ABC的外角∠DBC和∠ECB，
∴∠3+∠4=1/2（∠DBC+∠ECB）

=1/2×（180°+∠A）

=90°+1/2∠A，
∴△BCI中，∠I=180°-（∠3+∠4）

=180°-（90°+1/2∠A）

=90°-1/2∠A

例題三：

已知：在△ABC和△XYZ中，∠A=40°，∠Y+∠Z=95°，將△XYZ如圖擺放，使得∠X的兩條邊分別經(jīng)過點(diǎn)B和點(diǎn)C．

（1）當(dāng)將△XYZ如圖1擺放時(shí)，則∠ABX+∠ACX=         度；

（2）當(dāng)將△XYZ如圖2擺放時(shí)，請(qǐng)求出∠ABX+∠ACX的度數(shù)，并說明理由；
（3）能否將△XYZ擺放到某個(gè)位置時(shí)，使得BX、CX同時(shí)平分∠ABC和∠ACB？請(qǐng)直接寫出你的結(jié)論

【考點(diǎn)】三角形的外角性質(zhì)；三角形內(nèi)角和定理．

【分析】（1）要求∠ABX+∠ACX的度數(shù)，只要求出∠ABC+∠CBX+∠ACB+∠BCX，利用三角形內(nèi)角和定理得出∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-40°=140°；根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，∠CBX+∠BCX=∠Y+∠Z=95°，∴∠ABX+∠ACX=∠ABC+∠CBX+∠ACB+∠BCX=140°+95°=235°；
（2）要求∠ABX+∠ACX的度數(shù)，只要求出∠ABC+∠ACB-（∠BCX+∠CBX）的度數(shù)．根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，∠CBX+∠BCX=∠Y+∠Z=95°；根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得，∠ABC+∠ACB=180°-∠A=140°，∴∠ABX+∠ACX=∠ABC+∠ACB-（∠BCX+∠CBX）=140°-95°=45°；
（3）不能．假設(shè)能將△XYZ擺放到某個(gè)位置時(shí)，使得BX、CX同時(shí)平分∠ABC和∠ACB．則∠CBX+∠BCX=∠ABX+∠ACX=95°，那么∠ABC+∠ACB=190°，與三角形內(nèi)角和定理矛盾，所以不能．

解：（1）在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∠A=40°
∴∠ABC+∠ACB=180°-40°=140°
在△BCX中，∠X+∠BCX+∠CBX=180°
∴∠BCX+∠CBX=180°-∠X
在△XYZ中，∠X+∠Y+∠Z=180°
∴∠Y+∠Z=180°-∠X
∴∠CBX+∠BCX=∠Y+∠Z=95°
∴∠ABX+∠ACX=∠ABC+∠CBX+∠ACB+∠BCX=140°+95°=235°；

（2）∠ABX+∠ACX=45度．理由如下：
∵∠Y+∠Z=95°
∴∠X=180°-（∠Y+∠Z）=85°
∴∠ABX+∠ACX=180°-∠A-∠XBC-∠XCB
=180°-40°-（180°-85°）
=45°；

（3）不能．假設(shè)能將△XYZ擺放到某個(gè)位置時(shí)，使得BX、CX同時(shí)平分∠ABC和∠ACB．則∠CBX+∠BCX=∠ABX+∠ACX=95°，那么∠ABC+∠ACB=190°，與三角形內(nèi)角和定理矛盾，所以不能。

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