至晦至明，至繁至簡(jiǎn)，至難至易

文｜阿飛

大家好，這里是早茶夜讀。今天為大家?guī)?lái)一本特別的書，歐幾里得的《幾何原本》。毋庸置疑，這是一本數(shù)學(xué)著作，希望我能講清楚而你能聽(tīng)明白。

這本書距今已經(jīng)2000多年了，我第一次讀到是在大學(xué)的讀書館，印象極深，旁邊是一本類似當(dāng)代數(shù)學(xué)未解難題或猜想之類的書，當(dāng)時(shí)很是著迷地做了好一陣習(xí)題。不知道有多少中國(guó)人讀過(guò)《原本》這本書，在西方，這本書是二十世紀(jì)前精英知識(shí)分子必讀的經(jīng)典，地位就像中國(guó)的《四書》。說(shuō)句題外話，現(xiàn)在國(guó)內(nèi)的家長(zhǎng)讓孩子讀論語(yǔ)，三字經(jīng)什么的，不如讀《幾何原本》，要知道天道確實(shí)有常，人心其實(shí)難測(cè)，畢竟《原本》里論述的公理比“人之初性本善”或“一生二二生三三生萬(wàn)物”好理解多了。

《原本》的內(nèi)容現(xiàn)在來(lái)看，大部分是初高中幾何和代數(shù)的深度。一開(kāi)始，歐幾里得先定義了23個(gè)幾何概念，例如點(diǎn)、線、面、角、各種三角形、四邊形、圓等。然后，歐幾里得引入本書中最關(guān)鍵的要素——公設(shè)，公設(shè)即公理，是《原本》整個(gè)體系最根本的前提。我們來(lái)看看這五個(gè)公設(shè)：1，兩點(diǎn)決定一條直線；2，延伸線段可以得到直線；3，圓心和半徑?jīng)Q定一個(gè)園；4，所有直角都相等；是不是感覺(jué)太簡(jiǎn)單了，都是小學(xué)時(shí)候認(rèn)定的公理，你一定覺(jué)得不是這樣才奇怪吧。好了，第五條公設(shè)來(lái)了，這就是著名的“平行公設(shè)”，如果你關(guān)注過(guò)，就會(huì)知道這條公設(shè)后面還有很長(zhǎng)的精彩故事。當(dāng)我們學(xué)習(xí)平行線的時(shí)候，可以有很多種講法，比如“兩條直線之間距離相等”，歐幾里得選擇了其中一個(gè)說(shuō)法，“同平面內(nèi)一條直線和另外兩條直線相交，若在某一側(cè)的兩個(gè)內(nèi)角的和小于兩個(gè)直角和，則這兩條直線經(jīng)無(wú)限延伸后在這一側(cè)相交”。說(shuō)起來(lái)有點(diǎn)拗口，你一畫就知道了。

很長(zhǎng)時(shí)間以來(lái)，許多科學(xué)家和思想家都視歐式幾何為絕對(duì)原理，但是歐幾里得一直擔(dān)心的第五公設(shè)一直是數(shù)學(xué)家的爭(zhēng)論焦點(diǎn)，他們圍繞證明平行公設(shè)正確與否發(fā)起了攻防挑戰(zhàn)。終于在十九世紀(jì)初，在否定平行公設(shè)的基礎(chǔ)上發(fā)展出了“非歐幾何”，你也可以簡(jiǎn)單地理解為“平面幾何”和“球面幾何”，其中最重要的成果是十九世紀(jì)數(shù)學(xué)家黎曼所倡議的“黎曼幾何”，這種更廣義的非歐幾何成為愛(ài)因斯坦廣義相對(duì)論的基礎(chǔ)。在擺脫歐式幾何的約束之后，整個(gè)幾何學(xué)和數(shù)學(xué)思想的變化有了飛躍發(fā)展，在這段歐式幾何與非歐幾何的攻防歲月里，發(fā)展出許多檢討公設(shè)系統(tǒng)的方法，比如還有一個(gè)輔助性公設(shè)“整體大于部分”，這是不等的基本意義，部分包含在整體中，所以小于整體。然而德國(guó)數(shù)學(xué)家康托在處理無(wú)窮的議題時(shí)，挑戰(zhàn)了這個(gè)直觀的常識(shí)，他證明了偶數(shù)和整數(shù)的數(shù)目一樣多，一條直線上的點(diǎn)和一個(gè)平面上的點(diǎn)一樣多。所有這些討論和挑戰(zhàn)在二十世紀(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)論戰(zhàn)中得以進(jìn)化和發(fā)展，讓人類對(duì)于理性思考的深度和廣度有了更深的理解。

然而到了現(xiàn)在，我們可以為《原本》的歐式幾何做新的辯護(hù)了?！对尽纷盍钊诵恼鄣奶刭|(zhì)就是它的邏輯推理。所謂推理方法，就是思考時(shí)能夠從前面的敘述推出后面結(jié)論的正確方法。思考推理的方法脫胎于人類的言語(yǔ)方式，古希臘的哲學(xué)家運(yùn)用敘述的真假、有效的推理、準(zhǔn)確定義的方法，整理出了推理的規(guī)則，建立了完整的邏輯推理體系。歐幾里得的偉大之處就在于，他從散落在各處往圣先賢的零散的、經(jīng)驗(yàn)的、可疑的、片面的數(shù)學(xué)知識(shí)中，挑選出10個(gè)直覺(jué)就能感知的公理，又運(yùn)用邏輯推理的方法，串起了400多個(gè)數(shù)學(xué)命題，可以說(shuō)只要是正確的數(shù)學(xué)知識(shí)，幾乎都被歐幾里得編織到《原本》這個(gè)宏大的知識(shí)體系中。

這種邏輯推理方法明晰又嚴(yán)格，干凈又漂亮，可以讓論證產(chǎn)生強(qiáng)大的說(shuō)服力和確定性，它和目前盛行的概率統(tǒng)計(jì)、隨機(jī)算法、大數(shù)據(jù)分析有本質(zhì)的不同，你說(shuō)它有大數(shù)據(jù)學(xué)習(xí)嗎？它有幾百萬(wàn)人工標(biāo)注好的訓(xùn)練數(shù)據(jù)給它嗎？并沒(méi)有。所以，反觀現(xiàn)在的學(xué)術(shù)風(fēng)氣，各種各樣數(shù)據(jù)集競(jìng)賽、刷榜。。。缺少了內(nèi)在邏輯推理的大數(shù)據(jù)學(xué)習(xí)，只能是鸚鵡學(xué)舌而不是歸納演繹、舉一反三的烏鴉喝水。

在《經(jīng)典力學(xué)》的緒論里有這樣一句話，“物理學(xué)依賴于一種基本的信念：物理世界存在著完整的因果鏈條，即自然界是統(tǒng)一的”。愛(ài)因斯坦說(shuō)宇宙的終極法則一定是簡(jiǎn)而美的。從這個(gè)意義上看，確實(shí)可以說(shuō)“天若不生歐幾里得，萬(wàn)古如長(zhǎng)夜”了。

好了，這次的故事就到這兒吧，希望你能喜歡。

改變世界的這幾本書，厚度其實(shí)是這樣的……

本期編輯：白水

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