作為相似三角形第一個應(yīng)用，我覺得還是先來講講角平分線定理。
已知△ABC中，AD是∠BAC的角平分線。求證：AB/AC=BD/DC。
這個題目很簡單，但是里面的技巧很有用。
相似的核心就是兩類問題：線段的比例和角相等。抓住了這個，就抓住了相似的實質(zhì)。本題中我們要求證的目標(biāo)是比例，所以很自然地想到要用相似三角形的辦法。
圖中一共三個三角形，其中哪兩個看起來會相似呢？
很遺憾，一組都沒有。
這意味著什么？
加輔助線。
下一個問題：怎么加？
既然沒有相似，我們肯定要構(gòu)造相似出來。怎么構(gòu)造？
想一想我們輔助線的十個字：取中作平連對角延一倍，此時應(yīng)該用哪個比較合適？
沒有中點，不是四邊形，沒有中線，似乎只剩下作平了。那么過哪個點作哪條線的平行線呢？
由于AD是角平分線，所以我們希望把∠BAD=∠CAD給用起來，因此作一條平行線能和這兩個角其中一個相等，以此為跳板是一種看起來比較靠譜的嘗試。
我們過C作CE∥AB，交AD的延長線于E。由于∠E=∠BAD，并且∠ADB=∠EDC，所以△ABD相似于△ECD。注意！相似三角形的書寫規(guī)范和全等的情況一樣，必須注意對應(yīng)兩個字！在相同位置上的字母所代表的角一定相等，記住這條就抓住了對應(yīng)二字。
等等，賊老師，我們講全等的時候還有線段的對應(yīng)關(guān)系。如果兩個三角形全等，那么任意對應(yīng)位置的兩個字母所代表的線段是相等的，這個放在相似三角形中會怎么樣呢？
那就是對應(yīng)的線段互相成比例咯！
比如△ABC和△DEF相似，那么只要相同位置的線段取出來，比如AB就要對應(yīng)DE，AC就要對應(yīng)DF，于是我們有AB/AC=DE/DF，或者AB/DE=AC/DF，或者AC/AB=DF/DE，只要注意好對應(yīng)，那么有一系列的比例相等。
既然兩個三角形相似，我們可以得到BD/DC=AB/CE，此時離我們最后的目標(biāo)只一步之遙：我們只要證明AC=CE即可。
很顯然，由于∠E=∠BAD=∠CAD，于是AC=CE，我們就完成了角平分線定理的證明——這是相似三角形中一個非常重要的定理。
從今往后，再碰到有角平分線的條件，我們除了有角度的數(shù)量關(guān)系，還有線段的成比例關(guān)系。但是對于學(xué)生來說，這未必是什么好事。性質(zhì)越多，選擇就越困難。初中階段平面幾何和代數(shù)學(xué)習(xí)的最大區(qū)別在于：代數(shù)題目考察的知識點是比較直觀的，而平面幾何題目越到后面性質(zhì)越多，患上選擇恐懼癥簡直成了必然。比如說，在沒有學(xué)到角平分線和比例相關(guān)的性質(zhì)時，涉及角平分線相關(guān) 的線段證明，我們往往會考慮“角平分線上任意一點到角的兩邊距離相等” 這條性質(zhì)，但現(xiàn)在除了這個選擇，你還可以采用比例關(guān)系轉(zhuǎn)化……這就是幾何越學(xué)越難的原因。
代數(shù)的難在于綜合，幾何的難在于選擇。
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