內(nèi)容提要：數(shù)學(xué)教學(xué)的根本目的在于引導(dǎo)學(xué)生在“使用知識(shí)、欣賞知識(shí)、與知識(shí)打交道的過(guò)程之中發(fā)展學(xué)生的思維能力，特別是創(chuàng)造性思維，進(jìn)而是創(chuàng)造能力。如何理解在學(xué)習(xí)《立體幾何初步》這門學(xué)科中培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維？奧蘇貝爾的上位學(xué)習(xí)的理論認(rèn)為，學(xué)生從已知的包攝性較廣的整體知識(shí)中掌握分化的部分，比從分化的部分中掌握整體知識(shí)難度要低些，即下位學(xué)習(xí)要比上位學(xué)習(xí)更容易些。作為一名教師，要從學(xué)科的整體高度和思維價(jià)值的高度考慮問(wèn)題。即在學(xué)科知識(shí)的學(xué)習(xí)過(guò)程中，善于發(fā)現(xiàn)、歸納研究對(duì)象的特點(diǎn)，從中抽取更普遍的規(guī)律，用以指導(dǎo)新的學(xué)習(xí)，同時(shí)不斷對(duì)這些規(guī)律進(jìn)行修改與補(bǔ)充。具體如下，基于“問(wèn)題發(fā)現(xiàn)與提出”的章節(jié)知識(shí)結(jié)構(gòu)建構(gòu)；基于“聯(lián)系與變化”觀點(diǎn)下的問(wèn)題探究；教師思維的改變。
關(guān)鍵詞：創(chuàng)造性思維，聯(lián)系與變化
中學(xué)數(shù)學(xué)課程是公共文化的一部分，數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)對(duì)于理解人類文化的發(fā)展是必不可少的一部分。長(zhǎng)期以來(lái)，數(shù)學(xué)教學(xué)負(fù)載了傳遞基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能訓(xùn)練的任務(wù)，但教學(xué)的根本目的卻并不僅在于所謂的“雙基訓(xùn)練”，而在于引導(dǎo)學(xué)生在“使用知識(shí)、欣賞知識(shí)、與知識(shí)打交道的過(guò)程之中發(fā)展學(xué)生的思維能力，特別是創(chuàng)造性思維，進(jìn)而是創(chuàng)造能力。高中數(shù)學(xué)教學(xué)，特別是教師長(zhǎng)期從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)，長(zhǎng)期的教學(xué)，習(xí)慣于讓學(xué)生不容置疑地跟從老師的思路獲得規(guī)定的答案，“于是學(xué)生的腦子習(xí)慣了只是在別人的腦子走過(guò)的路上行走。教學(xué)中恢復(fù)教學(xué)的價(jià)值，關(guān)注學(xué)生的“發(fā)展性學(xué)力與創(chuàng)造性學(xué)力，重視學(xué)生的基本能力與基本態(tài)度的教學(xué)，使學(xué)生為發(fā)展自己的思維，提高自已的理解力而學(xué)，教師為發(fā)展學(xué)生的思維而教。
所謂創(chuàng)造性思維，可以這樣說(shuō)，凡是沒(méi)有有效方法可供直接利用，沒(méi)有確定規(guī)則可以遵循的思維都屬于創(chuàng)造性思維。其主要特征，第一是求異求新，創(chuàng)造是其思維活動(dòng)的核心；第二是價(jià)值性；第三是躍遷性。
《立體幾何初步》這個(gè)單元通過(guò)學(xué)習(xí)培養(yǎng)學(xué)生的空間直覺(jué)能力與邏輯思維能力，鍛煉學(xué)生運(yùn)用清晰的語(yǔ)言去正確地表達(dá)思想的能力。人們通常采用直觀感知、操作確認(rèn)、思辨論證、度量計(jì)算等方法認(rèn)識(shí)和探索幾何圖形及其性質(zhì)。三維空間是人類生存的現(xiàn)實(shí)空間，認(rèn)識(shí)空間圖形，培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的空間想像能力、推理論證能力、運(yùn)用圖形語(yǔ)言進(jìn)行交流的能力以及幾何直觀能力，是高中階段數(shù)學(xué)的基本要求。
奧蘇貝爾的“上位學(xué)習(xí)理論”中：當(dāng)學(xué)生學(xué)習(xí)一種包攝性較廣，可以把一系列概念從屬其下的新命題時(shí)，新學(xué)習(xí)的內(nèi)容便與學(xué)生已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中已有概念形成了一種上位關(guān)系。奧蘇貝爾認(rèn)為在這個(gè)過(guò)程中，同化是以三種不同的方式增強(qiáng)知識(shí)的保持：一是通過(guò)把已有的有關(guān)概念作為固定點(diǎn)，從而使它們成為高度穩(wěn)定的觀念。二是由于新知識(shí)與已有的有關(guān)概念一直保持著實(shí)質(zhì)的聯(lián)系，可以使新知識(shí)免受干擾。三是由于新知識(shí)建立在認(rèn)知結(jié)構(gòu)中有關(guān)概念的相互關(guān)系之中，使得信息提取成為一條較有條理的過(guò)程，較少帶有任意的性質(zhì)。奧蘇貝爾認(rèn)為，學(xué)生從已知的包攝性較廣的整體知識(shí)中掌握分化的部分，比從分化的部分中掌握整體知識(shí)難度要低些，即下位學(xué)習(xí)要更容易些。在學(xué)生已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，也是按照包攝性水平組成的。包攝性較廣的知識(shí)占有最高層次。
如何理解在學(xué)習(xí)《立體幾何初步》這門學(xué)科中培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維？從學(xué)科的整體高度和思維價(jià)值的高度考慮問(wèn)題。知識(shí)是重要的，但我們更需要的，是駕馭知識(shí)的睿智，面對(duì)陌生的問(wèn)題，敢于直面攻克的創(chuàng)新能力，它的本質(zhì)是高超的思維水平，是智力因素。用科學(xué)的方法掌握在實(shí)踐中總結(jié)出來(lái)的學(xué)科內(nèi)容中符合科學(xué)的規(guī)律。作為一名教師，要站在系統(tǒng)的高度教學(xué)知識(shí)。既在學(xué)科知識(shí)的學(xué)習(xí)過(guò)程中，善于發(fā)現(xiàn)、歸納研究對(duì)象的特點(diǎn)，從中抽取更普遍的規(guī)律，用以指導(dǎo)新的學(xué)習(xí)，同時(shí)不斷對(duì)這些規(guī)律進(jìn)行修改與補(bǔ)充。
一、基于“問(wèn)題發(fā)現(xiàn)與提出”的章節(jié)知識(shí)結(jié)構(gòu)建構(gòu)
創(chuàng)新能力的一個(gè)非常重要的方面在于能夠發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題。這種能力是指人對(duì)于所經(jīng)過(guò)或已經(jīng)認(rèn)識(shí)的事物進(jìn)行修正，從而產(chǎn)生新的形式和組織方式。這種能力需要一個(gè)人具有靈活的準(zhǔn)備狀態(tài)，靈活性可以導(dǎo)致對(duì)事物的重新解釋和重新組合。有些問(wèn)題，并不是需要立刻解決，而是提出問(wèn)題，能夠提出問(wèn)題則成功了一半。
1、通過(guò)類比，提出問(wèn)題，樹(shù)立空間意識(shí)，形成主要概念及定理。
波利亞在《怎樣解題》中用了一連串問(wèn)句與建議，來(lái)表示思維過(guò)程的正確探索程序，其核心在于不斷地變換問(wèn)題，連續(xù)地簡(jiǎn)化（或繁化）問(wèn)題，把數(shù)學(xué)解題看成為問(wèn)題化歸的過(guò)程，即最終歸結(jié)為熟悉的基本問(wèn)題加以解決。
如：你能不能提出一個(gè)更普遍的問(wèn)題？一個(gè)更特殊的問(wèn)題？一個(gè)類比的問(wèn)題？立體幾何在初中平面幾何的基礎(chǔ)上，無(wú)疑具有非常好的固著點(diǎn)。
例1 已知平面上的兩個(gè)的命題，試類比出相應(yīng)的空間命題，并判斷真假。
⑴平行于同一條直線的兩條直線相互平行。
類比：平行于同一個(gè)平面的兩條直線相互平行；
平行于同一條直線的兩個(gè)平面相互平行；
平行于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面相互平行。
⑵垂直于同一條直線的兩條直線相互平行。
類比：垂直于同一個(gè)平面的兩條直線相互平行；
垂直于同一條直線的兩個(gè)平面相互平行；
垂直于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面相互平行。
通過(guò)類比，學(xué)生很容易意識(shí)到在空間思考問(wèn)題與平面上的差異，同時(shí)便于學(xué)生對(duì)于易混的命題進(jìn)行同化。特別是對(duì)于重要定理的類比，如：
序號(hào) | 平面 | 空間 |
1 | 中垂線的定義 | 垂面的定義 |
2 | 圓的定義 | 球面的定義 |
3 | 平行傳遞性 | 平行公理(性質(zhì)4) |
4 | 等角定理 | 等角定理 |
5 | 平行線截線段成比例定理 | 平行平面截線段成比例定理 |
6 | 等底面積等高的三角形面積相等 | 祖暅原理 |
通過(guò)類比，得出本章節(jié)中重要的概念與定理，使知識(shí)結(jié)構(gòu)有了一個(gè)穩(wěn)定的基樁，使整體內(nèi)容都建立在學(xué)生已有知識(shí)之上，降低了難度。
2．以思維的相互轉(zhuǎn)化為主線，構(gòu)建“平行與垂直”雙基平臺(tái)
在教學(xué)時(shí)，要突出建構(gòu)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，在解題實(shí)踐中領(lǐng)悟其中蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想和方法，并切實(shí)掌握．本章節(jié)的教學(xué)幫助學(xué)生建立完整的知識(shí)體系，如結(jié)構(gòu)圖（圖1），感受空間圖形中的轉(zhuǎn)化思想，如維度的調(diào)整。“要證線面垂直，只需線線垂直，要找線面垂直，只需面面垂直?！?/span>
3、通過(guò)變式題組，優(yōu)化學(xué)生知識(shí)結(jié)構(gòu)，發(fā)散學(xué)生思維
創(chuàng)造性思維的核心一是發(fā)散性的加工能力，如流暢性，靈活性，精細(xì)性，獨(dú)創(chuàng)性等，這些特征都是思維發(fā)散性所具有的。通過(guò)題組，加深學(xué)生對(duì)平行與垂直的認(rèn)知，如既要證明垂直，也要說(shuō)明不垂直。通過(guò)重組材料及重新整理知識(shí)體系，加深對(duì)重要定理的理解。
例2 如圖，為矩形，
平面
為
上的點(diǎn)，且
平面。
⑴ 求證：；
⑵ 求三棱錐的體積；
⑶ 設(shè)在線段上，且滿足，試在線段上確定一點(diǎn)，使得平面。
分析：
第一問(wèn)就是證明線線垂直，只需要證明線面垂直。既證明垂直于過(guò)的一個(gè)平面，或是證明垂直于過(guò)的一個(gè)平面。同時(shí)過(guò)的一個(gè)平面也是不唯一的，都具有不確定性，要求學(xué)生具有靈活性。同時(shí)，對(duì)于選定的平面如平面，是平面所找的垂面么？如何證明？
第二問(wèn)，求體積。作為求體積運(yùn)算，其中高與底面的確定與選取，也是具有選擇性。
第三問(wèn)，要找一點(diǎn)，使得平面，如何在平面內(nèi)找到與平行的直線，即如何作出過(guò)與平面相交的平面。或者是如何作出過(guò)點(diǎn)M，與平面平行的平面。
教學(xué)之中鼓勵(lì)學(xué)生追根溯源，在走走停停之間尋找它與其它事物之間的聯(lián)系，并成為一種思維習(xí)慣。通過(guò)系統(tǒng)思維與本質(zhì)的追問(wèn)，則可以回到本質(zhì)。對(duì)于證明在整體上的把握，不僅是理解證明的關(guān)鍵，而且也是證明何以導(dǎo)致對(duì)于相關(guān)內(nèi)容更深刻的理解的主要原因。因此在證明的教學(xué)中，我們就應(yīng)當(dāng)注意揭示證明的結(jié)構(gòu)。這是幾何思維向更高水平發(fā)展的一個(gè)標(biāo)志。
通過(guò)本題的分析就可以看出，轉(zhuǎn)化是其核心。作為學(xué)生的實(shí)際處理，則可以有一種方法就是直覺(jué)法。學(xué)生直觀感知所尋找的對(duì)象，教師教學(xué)時(shí)也有時(shí)易感知。直觀感知、直覺(jué)思維都是較重要的。愛(ài)因思坦曾有一個(gè)精辟的見(jiàn)解，他認(rèn)為“直覺(jué)依賴于對(duì)經(jīng)驗(yàn)的共鳴。”直覺(jué)思維始于對(duì)問(wèn)題的自覺(jué)的思考，也有一個(gè)有意識(shí)的接受、集、整理的過(guò)程。直覺(jué)思維在個(gè)體身上的發(fā)展主要依賴于已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)在大腦中的長(zhǎng)期積累和積淀，正是這種積累和積淀例得頭腦形成一種一旦接受相關(guān)的外部信息就能很快做出直覺(jué)判斷的能力。
通過(guò)以上三點(diǎn)，可以看到，在思維發(fā)展的基礎(chǔ)上，構(gòu)建了學(xué)生思維發(fā)展的結(jié)構(gòu)圖，使學(xué)生學(xué)到的不僅僅是定理，而是定理的來(lái)源，定理之間的關(guān)系，這種圖示的建構(gòu)，使學(xué)生思維得到了有序發(fā)展，使學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu)建立在更高的數(shù)學(xué)思想的下位。
二、基于“聯(lián)系與變化”觀點(diǎn)下的問(wèn)題探究
從學(xué)科角度看，數(shù)學(xué)中的化歸與轉(zhuǎn)化無(wú)疑是重要的一種原則。不管如何轉(zhuǎn)化，都是聯(lián)系與變化的觀點(diǎn)下的一種應(yīng)用。用聯(lián)系的眼光看待問(wèn)題，這是化歸原則的根本出發(fā)點(diǎn)。如動(dòng)與靜、分與合，數(shù)與形，進(jìn)與退，正與反等。從教育的角度看，數(shù)學(xué)教學(xué)就是如何作好規(guī)范性與個(gè)體的發(fā)展性的適當(dāng)平衡。因此，“聯(lián)系與變化”的這種上位知識(shí)下的學(xué)習(xí)就是非常重要的。
（一）空間問(wèn)題平面化
創(chuàng)造性思維的核心潛在來(lái)源是轉(zhuǎn)化能力。如何培養(yǎng)學(xué)生的的這些核心能力，立體幾何初步章節(jié)中主要體現(xiàn)的思維就是空間問(wèn)題平面化。其中主要有三種方式，展開(kāi)圖，三視圖（投影）及截面圖。通過(guò)三種方式探究構(gòu)成幾何體的特征元素，如點(diǎn)、線、面、體。
1．幾何體的展開(kāi)圖
展開(kāi)是一種比較簡(jiǎn)單的化成平面的方法。對(duì)于展開(kāi)圖的處理，要充分關(guān)注展開(kāi)前后的變量
之間的關(guān)系。如圓錐的展開(kāi)圖，底面半徑與母線溝通了幾何體與展開(kāi)圖之間的關(guān)系。
通過(guò)閱讀，學(xué)生自己對(duì)本章節(jié)的常見(jiàn)幾何體進(jìn)行了歸納總結(jié)，如圖4、圖5，并作出了空間正多面體的學(xué)生的展開(kāi)圖。同時(shí)生成問(wèn)題：
正方體的展開(kāi)圖有多少種？球面有沒(méi)有展開(kāi)圖？
世界地圖的繪制是不是展開(kāi)圖，什么原理？
2．空間幾何體的三視圖：
（1）三視圖的直接應(yīng)用
例3．已知某個(gè)幾何體的三視圖如下，根據(jù)圖中標(biāo)出 的尺寸（單位：cm），可得這個(gè)幾
何體的體積是（ ）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
通過(guò)三視圖，可作出相應(yīng)幾何體的直觀圖，求出體積；也可以從圖中找到幾何體求體積的相關(guān)量，優(yōu)化思維。
（2）三視圖的錯(cuò)例辯析：
例4． 如果一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示(單位長(zhǎng)度：)，則此幾何體的體積是( )。
A．96 B 80 C D
解析：由于思維定勢(shì)作用，同學(xué)很易得出是柱體與錐體的組合幾何體，如圖8所示。經(jīng)過(guò)認(rèn)真思考，由于組合體中幾何體之間的遮蓋，還有兩種幾何體的三視圖也是所給圖形，從而使同學(xué)打破了學(xué)生已有的潛在的錯(cuò)誤的思維定勢(shì)：三視圖與幾何體是一一對(duì)應(yīng)的。從而發(fā)現(xiàn)這是一道錯(cuò)題。
例5．如圖，某空間幾何體的三視圖是三個(gè)全等的單位正方形，如下圖，試求出其幾何體的體積。
分析：由于有了上圖的基礎(chǔ)，同學(xué)們能夠認(rèn)真思考，全面考慮，得出正確結(jié)論，如圖11-12。
⑶三視圖的探究性學(xué)習(xí)
例6．如圖，某幾何體由單位正方體構(gòu)成，其三視圖如圖14所示，試判斷該幾何體的形狀。
分析：①常規(guī)思維，可以得到魔方的幾何體。
②是否是唯一的呢？能不能減少呢？（如圖15）
③最少可以用多少單位正方體組成呢？（如圖16-17）
④上述幾何體是否真正最少圖形呢？（如圖18）
⑤通過(guò)題組，學(xué)生的思維在連續(xù)高效的運(yùn)轉(zhuǎn)，既要從常規(guī)中去理解，又要考慮如何少，通過(guò)思維的本質(zhì)變化，得到最少幾何體。
通過(guò)一個(gè)小的探究性題目，使學(xué)生思維不斷的變化，更重要的是使學(xué)生有了質(zhì)疑的意識(shí)。質(zhì)疑是思考問(wèn)題的出發(fā)點(diǎn)，不管是探索性質(zhì)疑還否定性疑，都需要學(xué)生不趨同，不盲從，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生批判性思維。
3．空間幾何體的截面圖
實(shí)驗(yàn)中的截面圖：
如圖19，正方體的截面。對(duì)于正方體的截面，學(xué)生易得出幾種特殊圖形，但其中五邊形不易想到。學(xué)生通過(guò)演示，得出其截面是連續(xù)變化的，有四邊形，有六邊形，就應(yīng)存在五邊形。
如圖20，圓柱的截面。
對(duì)于圓柱的幾種特殊截面，通過(guò)實(shí)際觀察，學(xué)生很容易得出。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)應(yīng)應(yīng)來(lái)源于生活情節(jié)，而不總是教學(xué)情境。
同學(xué)作出了一個(gè)“實(shí)物模型 ”：“在圓柱形玻璃杯中盛半杯水。當(dāng)杯體直立時(shí)，水面的邊界是一個(gè)圓；當(dāng)杯體傾斜一個(gè)角度時(shí)(水面與杯壁四周都相交)，水面的邊界會(huì)變成另一種曲線。這一曲線，就是橢圓的直觀形象”。將它抽象成“數(shù)學(xué)模型”：“如果用一個(gè)與圓柱軸線斜交的平面截這個(gè)圓柱，那么平面與這個(gè)圓柱側(cè)面的交線是橢圓”。學(xué)生提出問(wèn)題，此時(shí)展后之后，這個(gè)橢圓在展開(kāi)圖中是什么平面曲線呢？通過(guò)實(shí)驗(yàn)，如圖，學(xué)生得出其曲線為正弦曲線。
如圖23：圓錐的軸截面，平行于旋轉(zhuǎn)軸的截面，平行于母線的截面。其中學(xué)生對(duì)于平行母線的截面沒(méi)有直接經(jīng)驗(yàn)，直觀感知為三角形。通過(guò)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，觀察到其實(shí)際圖形。
（二）運(yùn)動(dòng)變化中的探究問(wèn)題
立體幾何初步一章的第二個(gè)核心思維就是運(yùn)動(dòng)變化的思維。立體幾何中的運(yùn)動(dòng)變化并不比函數(shù)中的運(yùn)動(dòng)變化少。如通過(guò)平移與旋轉(zhuǎn)變換，點(diǎn)動(dòng)成線，線動(dòng)成面，面動(dòng)成體。在運(yùn)動(dòng)變化中幫助學(xué)生建立空間圖形的感覺(jué)。如到定點(diǎn)距離為定值的點(diǎn)的軌跡，到定直線距離為定值的點(diǎn)的軌跡等。特別是如“旋轉(zhuǎn)正方體”，從學(xué)生熟悉的模型出發(fā)，對(duì)本章節(jié)內(nèi)容有一整體的認(rèn)知。讓學(xué)生對(duì)于直覺(jué)與數(shù)學(xué)的嚴(yán)格有一定的分辨。如直線的旋轉(zhuǎn)，學(xué)生往往是線段在轉(zhuǎn)，誰(shuí)在轉(zhuǎn)？
例7．在正方體中，求下列圖形以為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)所成的幾何圖形：線段。
解析：由圖可得以為旋轉(zhuǎn)軸所得軌跡為圓柱的側(cè)面，如圖25；以為旋轉(zhuǎn)軸所得軌跡為圓錐的側(cè)面，如圖26；
對(duì)于以為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)，如何思考呢？點(diǎn)動(dòng)成線：考慮上任何一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為圓；線動(dòng)成面：圓的運(yùn)動(dòng)為一列圓所構(gòu)成曲面，如圖27?；蛘邚哪Ｐ涂啥嗝襟w可知，其幾何體為圖28。這正是冷卻塔(如圖29-30)的形狀----旋轉(zhuǎn)雙曲面。其兩種構(gòu)成方式各有特點(diǎn)，從物理上、或是從實(shí)際生活中都有相應(yīng)的解釋。
例8．如圖，是平面的斜線段，為斜足，若點(diǎn)在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，使得的面積為定值，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是（ ）
A．圓 B．橢圓 C．一條直線 D．兩條平行直線
分析：因?yàn)?/span>是平面的斜線段，且的面積為定值，所以動(dòng)點(diǎn)到定線段的距離為常數(shù)(不妨記為)，于是點(diǎn)在以直線為軸、半徑為的圓柱側(cè)面上。由已知，軸與平面不垂直，于是圓柱面與平面斜交。因此，平面內(nèi)的點(diǎn)的軌跡就是圓柱側(cè)面被平面所截得的橢圓。故選B。
（三）“抽象與具體“及”模式識(shí)別“的數(shù)學(xué)思維在立體幾何初步教學(xué)中的體現(xiàn)
抽象與具體及模式識(shí)別是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的首要的思維模式。即數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中通過(guò)模式識(shí)別也就是問(wèn)題的歸類直接找到相應(yīng)的工具。
實(shí)驗(yàn)1：校園中的三個(gè)平面的位置關(guān)系。利用所學(xué)幾何模型，從交線條數(shù)，分類說(shuō)清。學(xué)生從生活中的模型(照片)，到數(shù)學(xué)中的模型，到動(dòng)手實(shí)驗(yàn)的模型（學(xué)生手中的模型）都認(rèn)真參與：并得出了相應(yīng)的數(shù)據(jù)。其中有的學(xué)生歸納出三個(gè)平面相交，則其形狀可記為（“恒等，不等，星號(hào)，田”字）。
實(shí)驗(yàn)2：空間正多面體（證明與動(dòng)手）
通過(guò)歸納得出空間幾何體頂點(diǎn)數(shù)、棱數(shù)、面數(shù)之間的關(guān)系，即歐拉定理，如圖35。在歐拉定理的基出上，證明了多面體的種數(shù)及側(cè)面形狀，如圖36-37。并做出了模型（圖33-34）。
（四）整體與部分的數(shù)學(xué)思維促進(jìn)學(xué)生的空間想象力
思維如果只是被局限于一定的概念、判斷和推理之中進(jìn)行，在達(dá)到一定的極限之后，必然會(huì)陷入到思維定之中停滯不前。想象蘊(yùn)含著創(chuàng)造。視野中是當(dāng)前的事物，思維里卻是當(dāng)前事物引發(fā)出的其他事物。想象力做為一種創(chuàng)新的認(rèn)識(shí)能力，是一強(qiáng)大的認(rèn)識(shí)能力，想像力創(chuàng)造出第二自然。其中實(shí)物模型、長(zhǎng)方體(正方體)模型、三棱錐模型就是其中的重要模型。
對(duì)于教材中關(guān)于三棱錐體積公式的推導(dǎo)，由三棱柱可以分為三個(gè)三棱錐之和，如圖，通過(guò)分割與組合已經(jīng)滲透了整體與部分的思想。
對(duì)于這種思想，教材在開(kāi)始就在應(yīng)用，如棱柱與棱錐的定義：
棱柱的描述性定義：有兩個(gè)互相平行的面，而且?jiàn)A在這兩個(gè)平行平面間的每相鄰兩個(gè)面的交線都互相平行。
棱錐的描述性定義：有一個(gè)面是多邊形，而其余各面是有公共頂點(diǎn)的三角形。
整體與部分這種轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思維在立體幾何的計(jì)算中也有重要的應(yīng)用。
例9．若正方體的棱長(zhǎng)為，則以該正方體各個(gè)面的中心為頂點(diǎn)的凸多面體的體積為 ( )
例10．在棱長(zhǎng)為的正方體的表面上任取4個(gè)點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)三棱錐，則這個(gè)三棱錐體積的取值范圍是( )
A. B. C. D.
解析：由圖可知，正方體中蘊(yùn)含的特殊三棱錐，則可得。
其實(shí)，可以看到，四個(gè)面都是直角三角形的四面體，古人以鱉臑取名?！靶苯舛聣q，其一為陽(yáng)馬，一為鱉臑”。數(shù)學(xué)史告訴我們，不要草率的作任何結(jié)論，看上去相差甚遠(yuǎn)的兩個(gè)圖形之間往往含著意想不到的聯(lián)系。
整體與部分這種轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思維在立體幾何中存在性問(wèn)題中的應(yīng)用。
例11．如圖45，M是正方體的棱的中點(diǎn)，給出下列命題，過(guò)M點(diǎn)有且只有一條直線與直線、都相交。
例12．如圖46，在正方體的中，分別為棱的中點(diǎn)，則在空間中與直線都相交的直線有( )條。
整體之中的識(shí)別，擴(kuò)展了解題空間，使思維有了完整性，明確了變化規(guī)律。
（5）多變的三棱錐
通過(guò)題組：體積的處理，讓學(xué)生體會(huì)三棱錐的靈活應(yīng)用。
例13．設(shè)三棱柱 的體積為，分別為棱上的點(diǎn)，且，則四棱錐的體積為（ ）。
法1：中點(diǎn)（特殊值）法2：（特殊值法）極限法，法3：等底面積等高法。
通過(guò)多組題目的，讓學(xué)生感受長(zhǎng)方體（單位正方體）的作用。組合與分割。幾種特殊錐體（分割）。
例14．空間四邊形中，依次為四邊的中點(diǎn)，稱四邊形為中點(diǎn)四邊形。
⑴則所得四邊形為 ；
⑵若空間四邊形的兩條對(duì)角線相等，則中點(diǎn)四邊形為 ；
⑶若空間四邊形的兩條對(duì)角線垂直，則中點(diǎn)四邊形為 ；
⑷如果對(duì)角線AC＝4，BD＝2，那么EG2＋HF2的值等于 。
例15．定點(diǎn)不在所在平面內(nèi)，過(guò)點(diǎn)作平面使的三個(gè)頂點(diǎn)到該平面距離相等，這樣的平面其有 。
上面幾題可以看出，誰(shuí)是整體呢？都是不共面四點(diǎn)的整體。精彩的都是整體之中的精彩。
三、改變教師的思維
教師要明確教學(xué)之中，應(yīng)當(dāng)有意識(shí)的將自已的思維過(guò)程明明白白地展示給學(xué)生。如通過(guò)“出聲思維”的方法使學(xué)生獲得一個(gè)思考范例。而不是簡(jiǎn)單通過(guò)算法的規(guī)定使學(xué)生遵循，即要明白算法的意義，而不是簡(jiǎn)單操作。
為了有效地啟動(dòng)學(xué)生思維，需要有效的運(yùn)用提問(wèn)。學(xué)記中要求教師要善問(wèn)和善待問(wèn)：“善問(wèn)者如攻堅(jiān)木，先其易者，后其節(jié)目，及其久也相說(shuō)（脫）以解。善待問(wèn)者如撞鐘，叩之以小者則小鳴，叩之以大者則大鳴，待其從容，然后盡其聲?！?/span>
立體幾何初步中有著豐富的資源，如詩(shī)：
錐頂柱身立海天，一點(diǎn)一線面相連。
平行垂直皆風(fēng)景，有棱有角足壯觀。
課堂教學(xué)之中要挖掘知識(shí)結(jié)內(nèi)部的數(shù)學(xué)思維。建立合理的思維結(jié)構(gòu)，改變一些錯(cuò)誤的思維習(xí)慣；優(yōu)化已有的思維習(xí)慣；形成創(chuàng)新性思維特點(diǎn)。
更為重要的是，“能夠喚起學(xué)生新的理智興趣，把自己對(duì)知識(shí)的熱情傳導(dǎo)給學(xué)生，使學(xué)生有探究的渴望，找到本身的動(dòng)力?！睂?duì)于課堂教學(xué)來(lái)說(shuō)，這是一件最為重要的事情。
聯(lián)系客服
