引言
2021 年中國(guó)數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽已經(jīng)結(jié)束，本文分享第六題的詳細(xì)解答，適合高中學(xué)歷的讀者。
問(wèn)題
對(duì)整數(shù)，設(shè)為多項(xiàng)式的展開(kāi)式系數(shù)中，3 的倍數(shù)的個(gè)數(shù)。例如：
則. 對(duì)任意正整數(shù)，設(shè)為
中的最小值。
（1）求證：存在無(wú)窮多個(gè)正整數(shù)，使得
（2）求證：對(duì)任意正整數(shù)，
分析
本題使用到一個(gè)結(jié)論
那么利用這一結(jié)論，第一問(wèn)將任意正整數(shù)拆分成形如的數(shù)之和，并試圖構(gòu)造出使得 3 的倍數(shù)的個(gè)數(shù)最多的情形，不難分析出是符合條件的，證明之即可。第二問(wèn)，常規(guī)使用數(shù)學(xué)歸納法，利用好遞推關(guān)系，并找到序數(shù)大的項(xiàng)與序數(shù)小的項(xiàng)之間的關(guān)聯(lián)，本題迎刃而解。下面給出本題的詳細(xì)解答。
解答
（1）我們證明,均滿足要求。
我們令，那么我們將寫(xiě)作
注意到
那么
注意到展開(kāi)式的系數(shù)中非 3 的倍數(shù)的個(gè)數(shù)不超過(guò)上式的展開(kāi)式的項(xiàng)數(shù)，而上式的展開(kāi)式的項(xiàng)數(shù)，于是
所以
（2）由（1），只需證存在使在的意義下至少有項(xiàng)系數(shù)非 0，我們記，設(shè)滿足的構(gòu)成集合.
對(duì)歸納證明：，從而.
直接驗(yàn)證即可，假設(shè)時(shí)，結(jié)論已成立，
當(dāng)時(shí)，假設(shè)，記，
注意到
故
從而;
當(dāng)時(shí)，對(duì)，記，
注意到
而，，故
從而;
當(dāng)時(shí)，假設(shè)，記，
注意到
故
從而;
那么
再由可知
故，歸納即證.
點(diǎn)評(píng)
此題是本次競(jìng)賽的壓軸題，難度較大，計(jì)算量較多，第一問(wèn)需要一些猜測(cè)和運(yùn)氣，第二問(wèn)需要很多的耐心去嘗試和觀察。
