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§2  回歸分析

一.回歸分析

    在試驗中因變量與自變量有以下兩種關系。
    函數(shù)關系: 即因變量與自變量之間有確定的數(shù)學關系式表達，且具有一一對應的關系。
    相關關系: 即因變量與自變量之間并不具有確定的函數(shù)關系，但它們之間確實存在某種密切的關系，這種關系可以通過試驗或其他方法建立起來。 
    通常采用試驗數(shù)據(jù)的回歸分析確定變量之間的關系?；貧w分析即采用數(shù)理統(tǒng)計方法，從大量試驗數(shù)據(jù)中尋求變量之間相關關系的數(shù)學表達式，并對確定的數(shù)學表達式的可信度進行統(tǒng)計檢驗。
    回歸分析有一元線性回歸分析、一元多項式回歸分析、多元線性回歸分析、非線性回歸分析等。

二.最小二乘法

    利用回歸分析建立試驗數(shù)據(jù)的經(jīng)驗公式有許多方法，其中以最小二乘法這最優(yōu)級。
    若給出n次測量數(shù)據(jù)x₁，y₁；x₂，y₂；…；x_n，y_n，用最小二乘法建立經(jīng)驗公式時，假設自變量x_i為給定值，均無誤差，而因變量y_i則帶有測量誤差。兩變量之間不管是何種關系，總可以用一個m階多項式來逼近，即
   

       (3-1)
    式中，B₀，B₁，B₂，…，B_m為待定常數(shù)或回歸系數(shù) 。
    式(3-1)還可以寫成：
       (3-2)
    如果測試的結(jié)果無誤，則正確的常數(shù)求得后，各結(jié)果均應適合于式式(3-3)。但因試驗結(jié)果不可避免的有誤差，故將試驗結(jié)果代入式(3-3)，則等號右方不為零，而為某一微量d(稱剩余偏差)
   
    式(3-3)稱為觀測方程組。
    據(jù)最小二乘法原理,如各系數(shù)B之值能使各剩余偏差之平方和為最小，其值即為最佳值。亦即各系數(shù)B之最佳值應使式子為最小。那么，其一階微分等于零，二階微分為正值。由此可得一系列正態(tài)方程。
   
    解方程組(3-4)即得 B₀，B₁，B₂，…，B_m 。

三.一元線性回歸分析

    作為一般方程回歸分析的特例，一元線性回歸是工程中常遇到的情況。在此著重加以介紹。
    一元線性回歸方程可由式(3-1)簡化為
                 

    (3-5)
    則其剩余偏差為：
               

    若進行k次測量，則剩余偏差的平方為，獲得最小值的條件是其對回歸系數(shù)的一次導數(shù)為零，即
                          
    便可得: 
                     
                     
    聯(lián)立可解得：
                        
     式中:即為x_i平均值, 即為y_i平均值。
   式(3-6)及后續(xù)各式中,均指。
     若令
             
    則式(3-6)可改寫為：
               
    在用最小二乘法計算回歸系數(shù)的過程中，假設變量之間呈線性相關，并用線性回歸方程式表示。但是試驗數(shù)據(jù)是否有良好的線性度，應予以檢驗。這就是通常稱作回歸方程似合程序的檢驗，它是采用相關系數(shù)R的大小來描述兩個變量的線性相關的密切程序，數(shù)學表達式為:
             
    即
              
     結(jié)論：R的絕對值越近于1，則回歸直線與試驗數(shù)據(jù)點擬合得越好。R與測量組數(shù)k有關 ，找到直線方程后，根據(jù)k查出R的顯著值，再作出擬合程度的判別.　

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