不做作業(yè)母慈子孝，一做作業(yè)雞飛狗跳！孩子難，家長(zhǎng)更難
近日，家長(zhǎng)因?yàn)榕淖鳂I(yè)退群事件引發(fā)廣泛的關(guān)注和討論
青海中考數(shù)學(xué)考試的題目類型比較固定，整體的考察難度和創(chuàng)新在西部地區(qū)還是非常值得肯定的，對(duì)于幾何綜合的考察，青海則借助探究的基本形式進(jìn)行拓展和創(chuàng)新，對(duì)于孩子的啟發(fā)還是很有一定的幫助，在幾何的探究過程中，相似，全等，勾股幾何工具涉及的比較全面，大家可以感受青海題目的綜合幾何難度。
實(shí)操真題講解
1．（2020·青海）在△ABC中，AB＝AC，CG⊥BA交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G．
特例感知：
（1）將一等腰直角三角尺按圖1所示的位置擺放，該三角尺的直角頂點(diǎn)為F，一條直角邊與AC重合，另一條直角邊恰好經(jīng)過點(diǎn)B．通過觀察、測(cè)量BF與CG的長(zhǎng)度，得到BF＝CG．請(qǐng)給予證明．
猜想論證：
（2）當(dāng)三角尺沿AC方向移動(dòng)到圖2所示的位置時(shí)，一條直角邊仍與AC邊重合，另一條直角邊交BC于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DE⊥BA垂足為E．此時(shí)請(qǐng)你通過觀察、測(cè)量DE、DF與CG的長(zhǎng)度，猜想并寫出DE、DF與CG之間存在的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．
聯(lián)系拓展：
（3）當(dāng)三角尺在圖2的基礎(chǔ)上沿AC方向繼續(xù)移動(dòng)到圖3所示的位置（點(diǎn)F在線段AC上，且點(diǎn)F與點(diǎn)C不重合）時(shí)，請(qǐng)你判斷（2）中的猜想是否仍然成立？（不用證明）
【分析】（1）證明△FAB≌△GAC即可解決問題．
（2）結(jié)論：CG＝DE+DF．利用面積法證明即可．
（3）結(jié)論不變，證明方法類似（2）．
【解答】（1）證明：如圖1中，
∵∠F＝∠G＝90°，∠FAB＝∠CAG，AB＝AC，
∴△FAB≌△GAC（AAS），
∴FB＝CG．
（2）解：結(jié)論：CG＝DE+DF．
理由：如圖2中，連接AD．
∵S△ABC＝S△ABD+S△ADC，DE⊥AB，DF⊥AC，CG⊥AB，
∴·AB·CG＝·AB·DE+·AC·DF，
∵AB＝AC，
∴CG＝DE+DF．
（3）解：結(jié)論不變：CG＝DE+DF．
理由：如圖3中，連接AD．
∵S△ABC＝S△ABD+S△ADC，DE⊥AB，DF⊥AC，CG⊥AB，
∴1/2·AB·CG＝1/2·AB·DE+1/2·AC·DF，
∵AB＝AC，
∴CG＝DE+DF．
【點(diǎn)評(píng)】本題屬于三角形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的面積等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用面積法證明線段之間的關(guān)系，屬于中考?？碱}型．
2．（2019·青海）我國(guó)南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶在他的著作《數(shù)書九章》中提出了“三斜求積術(shù)”，三斜即指三角形的三條邊長(zhǎng)，可以用該方法求三角形面積．若改用現(xiàn)代數(shù)學(xué)語(yǔ)言表示，其形式為：設(shè)a，b，c為三角形三邊，S為面積，則S＝
這是中國(guó)古代數(shù)學(xué)的瑰寶之一．
而在文明古國(guó)古希臘，也有一個(gè)數(shù)學(xué)家海倫給出了求三角形面積的另一個(gè)公式，若設(shè)p＝（a+b+c）/2（周長(zhǎng)的一半），則S＝√p·√(p-a)·√(p-b)·√(p-c) ②
（1）嘗試驗(yàn)證．這兩個(gè)公式在表面上形式很不一致，請(qǐng)你用以5，7，8為三邊構(gòu)成的三角形，分別驗(yàn)證它們的面積值；
（2）問題探究．經(jīng)過驗(yàn)證，你發(fā)現(xiàn)公式①和②等價(jià)嗎？若等價(jià)，請(qǐng)給出一個(gè)一般性推導(dǎo)過程（可以從①?②或者②?①）；
（3）問題引申．三角形的面積是數(shù)學(xué)中非常重要的一個(gè)幾何度量值，很多數(shù)學(xué)家給出了不同形式的計(jì)算公式．請(qǐng)你證明如下這個(gè)公式：如圖，△ABC的內(nèi)切圓半徑為r，三角形三邊長(zhǎng)為a，b，c，仍記p＝(a+b+c)/2，S為三角形面積，則S＝pr．
【分析】
（1）由公式①得：S＝
＝10，
由②得：p＝(5+7+8)/2＝10，S＝√10×√(10-5)×√(10-7)×√(10-8)＝10√3；
（2）求出2p＝a+b+c，把①中根號(hào)內(nèi)的式子可化為：1/4(ab+(a2+b2-c2)/2)·(ab﹣(a2+b2-c2)/2）＝1/16（a+b+c）（a+b﹣c）（c+a﹣b）（c﹣a+b）＝1/16×2p×（2p﹣2c）（2p﹣2b）（2p﹣2a）＝p（p﹣a）（p﹣b）（p﹣c），即可得出結(jié)論；
（3）連接OA、OB、OC，S＝S△AOB+S△AOC+S△BOC，由三角形面積公式即可得出結(jié)論．
【解答】解：（1）由①得：S＝
＝10√3，
由②得：p＝(5+7+8)/2＝10，
S＝√10×√(10-5)×√(10-7)×√(10-8)＝10√3；
（2）公式①和②等價(jià)；推導(dǎo)過程如下：
∵p＝(a+b+c)/2
∴2p＝a+b+c，
①中根號(hào)內(nèi)的式子可化為：
1/4(ab+(a2+b2-c2)/2)·(ab﹣(a2+b2-c2)/2）
＝1/16（2ab+a2+b2﹣c2）（2ab﹣a2﹣b2+c2）
＝1/16[（a+b)2﹣c2][c2﹣（a﹣b)2]
＝1/16（a+b+c）×（a+b﹣c）×（c+a﹣b）×（c﹣a+b）
＝1/16×2p×（2p﹣2c）（2p﹣2b）（2p﹣2a）
＝p（p﹣a）（p﹣b）（p﹣c），
∴
＝√p·√(p-a)·√(p-b)·√(p-c) ；
（3）連接OA、OB、OC，如圖所示：
S＝S△AOB+S△AOC+S△BOC＝1/2rc+1/2rb+1/2ra＝（a+b+c)/2×r＝pr．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的內(nèi)切圓、數(shù)學(xué)常識(shí)以及三角形面積公式；熟練掌握三角形面積的計(jì)算方法是解題的關(guān)鍵．
3．（2018·青海）請(qǐng)認(rèn)真閱讀下面的數(shù)學(xué)小探究系列，完成所提出的問題：
（1）探究1：如圖1，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，將邊AB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段BD，連接CD．求證：△BCD的面積為a2．（提示：過點(diǎn)D作BC邊上的高DE，可證△ABC≌△BDE）
（2）探究2：如圖2，在一般的Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，將邊AB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段BD，連接CD．請(qǐng)用含a的式子表示△BCD的面積，并說明理由．
（3）探究3：如圖3，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，BC＝a，將邊AB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段BD，連接CD．試探究用含a的式子表示△BCD的面積，要有探究過程．
【分析】
（1）如圖1，過點(diǎn)D作BC的垂線，與BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，由垂直的性質(zhì)就可以得出△ABC≌△BDE，就有DE＝BC＝a．進(jìn)而由三角形的面積公式得出結(jié)論；
（2）如圖2，過點(diǎn)D作BC的垂線，與CB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，由垂直的性質(zhì)就可以得出△ABC≌△BDE，就有DE＝BC＝a．進(jìn)而由三角形的面積公式得出結(jié)論；
（3）如圖3，過點(diǎn)A作AF⊥BC于F，過點(diǎn)D作DE⊥BC，與CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，由等腰三角形的性質(zhì)可以得出BF＝1/2BC，由條件可以得出△AFB≌△BED就可以得出BF＝DE，由三角形的面積公式就可以得出結(jié)論．
【解答】解：（1）如圖1，過點(diǎn)D作DE⊥CB交CB的延長(zhǎng)線于E，
∴∠BED＝∠ACB＝90°，
由旋轉(zhuǎn)知，AB＝BD，∠ABD＝90°，
∴∠ABC+∠DBE＝90°，
∵∠A+∠ABC＝90°，
∴∠A＝∠DBE，
在△ABC和△BDE中，
∠ACB=∠BED
∠A=∠DBE
AB=BD，
∴△ABC≌△BDE（AAS）
∴BC＝DE＝a．
∵S△BCD＝1/2BC·DE
∴S△BCD＝1/2a2；
解：（2）△BCD的面積為1/2a2．
理由：如圖2，過點(diǎn)D作BC的垂線，與CB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E．
∴∠BED＝∠ACB＝90°，
∵線段AB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段BE，
∴AB＝BD，∠ABD＝90°．
∴∠ABC+∠DBE＝90°．
∵∠A+∠ABC＝90°．
∴∠A＝∠DBE．
在△ABC和△BDE中，
∠ACB=∠BED
∠A=∠DBE
AB=BD，
∴△ABC≌△BDE（AAS）
∴BC＝DE＝a．
∵S△BCD＝1/2BC·DE
∴S△BCD＝1/2a2；
（3）如圖3，過點(diǎn)A作AF⊥BC于F，過點(diǎn)D作DE⊥BC交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，
∴∠AFB＝∠E＝90°，BF＝1/2BC＝1/2a．
∴∠FAB+∠ABF＝90°．
∵∠ABD＝90°，
∴∠ABF+∠DBE＝90°，
∴∠FAB＝∠EBD．
∵線段BD是由線段AB旋轉(zhuǎn)得到的，
∴AB＝BD．
在△AFB和△BED中，
∠AFB=∠E
∠FAB=∠EBD
AB=BD，
∴△AFB≌△BED（AAS），
∴BF＝DE＝1/2a．
∵S△BCD＝1/2BC·DE＝1/2·1/2a·a＝1/4a2．
∴△BCD的面積為1/4a2．
【點(diǎn)評(píng)】
此題是幾何變換綜合題，主要考查了直角三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，等腰三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，三角形的面積公式的運(yùn)用，判斷出△ABC≌△BDE是解本題的關(guān)鍵．
4．（2017·青海）請(qǐng)完成如下探究系列的有關(guān)問題：
探究1：如圖1，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，點(diǎn)D為BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接AD，以AD為邊在AD的右側(cè)作正方形ADEF，連接CF，則線段CF，BD之間的位置關(guān)系為 ，數(shù)量關(guān)系為 ．
探究2：如圖2，當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到線段BC的延長(zhǎng)線上，其余條件不變，探究1中的兩條結(jié)論是否仍然成立？為什么？（請(qǐng)寫出證明過程）
探究3：如圖3，如果AB≠AC，∠BAC≠90°，∠BCA仍然保留為45°，點(diǎn)D在線段BC上運(yùn)動(dòng)，請(qǐng)你判斷線段CF，BD之間的位置關(guān)系，并說明理由．
【分析】
探究1：（1）只要證明△BAD≌△CAF（SAS），推出CF＝BD，推出∠B＝∠ACF，推出∠B+∠BCA＝90°，推出∠BCA+∠ACF＝90°即可；
探究2：結(jié)論不變．證明方法與探究1類似；
探究3：當(dāng)∠ACB＝45°時(shí)，過點(diǎn)A作AG⊥AC交CB或CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，則∠GAC＝90°，可推出∠ACB＝∠AGC，所以AC＝AG，于是得到CF⊥BD．
【解答】
解：探究1：∵∠BAC＝90°，
∴∠BAD+∠CAD＝90°，
∵四邊形ADEF為正方形，
∴∠DAF＝90°，
∴∠CAD+∠CAF＝90°，
∴∠BAD＝∠CAF．
∴在△ABD和△ACF中，
AB=AC，
∠BAD=∠CAF
AD=AF
∴△ABD≌△ACF（SAS），
∴CF＝BD，∠ACF＝∠B＝45°，
∴∠BCF＝90°，
∴CF⊥BD；
故答案為：CF⊥BD，CF＝BD；
探究2：探究1中的兩條結(jié)論是否仍然成立．
理由如下：
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAD＝90°+∠CAD，
∵四邊形ADEF為正方形，
∴∠DAF＝90°，∠CAF＝90°+∠CAD，
∴∠BAD＝∠CAF．
∴在△ABD和△ACF中，
AB=AC，
∠BAD=∠CAF
AD=AF
∴∠PAD＝∠CAF，
∴△APD≌△ACF（SAS），
∴∠ACF＝45°，
∴∠BCF＝∠BCA+∠ACF＝90°，
∴線段CF，BD之間的位置關(guān)系是CF⊥BD．
，
∴△ABD≌△CAF（SAS），
∴CF＝BD，∠ACF＝∠B＝45°，
∴∠BCF＝90°，
∴CF⊥BD．
探究3：線段CF，BD之間的位置關(guān)系是CF⊥BD．
理由如下：
如圖，過點(diǎn)A作AP⊥AC，交BC于點(diǎn)P．
∵∠BCA＝45°，∴∠APD＝45°，AP＝AC．
∵四邊形ADEF為正方形，
∴AD＝AF，
∵∠CAP＝∠DAF＝90°，
【點(diǎn)評(píng)】
本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，余角的性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
5．（2016·青海）如圖1，2，3分別以△ABC的AB和AC為邊向△ABC外作正三角形（等邊三角形）、正四邊形（正方形）、正五邊形，BE和CD相交于點(diǎn)O．
（1）在圖1中，求證：△ABE≌△ADC．
（2）由（1）證得△ABE≌△ADC，由此可推得在圖1中∠BOC＝120°，請(qǐng)你探索在圖2中，∠BOC的度數(shù)，并說明理由或?qū)懗鲎C明過程．
（3）填空：在上述（1）（2）的基礎(chǔ)上可得在圖3中∠BOC＝ （填寫度數(shù)）．
（4）由此推廣到一般情形（如圖4），分別以△ABC的AB和AC為邊向△ABC外作正n邊形，BE和CD仍相交于點(diǎn)O，猜想得∠BOC的度數(shù)為 （用含n的式子表示）．
【分析】
（1）根據(jù)等邊三角形證明AB＝AD，AC＝AE，再利用等式性質(zhì)得∠DAC＝∠BAE，根據(jù)SAS得出△ABE≌△ADC；
（2）根據(jù)正方形性質(zhì)證明△ABE≌△ADC，得∠BEA＝∠DCA，再由正方形ACEG的內(nèi)角∠EAC＝90°和三角形外角和定理得∠BOC＝90°；
（3）根據(jù)正五邊形的性質(zhì)證明：△ADC≌△ABE，再計(jì)算五邊形每一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為108°，由三角形外角定理求出∠BOC＝72°；
（4）根據(jù)正n邊形的性質(zhì)證明：△ADC≌△ABE，再計(jì)算n邊形每一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為180°﹣360°/n，由三角形外角定理求出∠BOC＝360°/n．
【解答】
證明：（1）如圖1，∵△ABD和△ACE是等邊三角形，
∴AB＝AD，AC＝AE，∠DAB＝∠EAC＝60°，
∴∠DAB+∠BAC＝∠EAC+∠BAC，
即∠DAC＝∠BAE，
∴△ABE≌△ADC；
（2）如圖2，∠BOC＝90°，理由是：
∵四邊形ABFD和四邊形ACGE都是正方形，
∴AB＝AD，AC＝AE，∠DAB＝∠EAC＝90°，
∴∠BAE＝∠DAC，
∴△ADC≌△ABE，
∴∠BEA＝∠DCA，
∵∠EAC＝90°，
∴∠AMC+∠DCA＝90°，
∵∠BOC＝∠OME+∠BEA＝∠AMC+∠DCA，
∴∠BOC＝90°；
（3）如圖3，同理得：△ADC≌△ABE，
∴∠BEM＝∠DCA，
∵∠BOC＝∠BEM+∠OME＝∠DCA+∠AMC，
∵正五邊形ACIGE，
∴∠EAC＝180°﹣360°/5＝108°，
∴∠DCA+∠AMC＝72°，
∴∠BOC＝72°；
故答案為：72°；
（4）如圖4，∠BOC的度數(shù)為360°/n，理由是：
同理得：△ADC≌△ABE，
∴∠BEA＝∠DCA，
∵∠BOC＝∠BEA+∠OME＝∠DCA+∠AMC，
∵正n邊形AC…E，
∴∠EAC＝180°﹣360°/5，
∴∠DCA+∠AMC＝180°﹣（180﹣360°/5）°，
∴∠BOC＝360°/5．
【點(diǎn)評(píng)】
本題是四邊形的綜合題，考查了全等三角形、等邊三角形、正四邊形等圖形的性質(zhì)，關(guān)鍵是利用正n邊形各邊相等證明兩三角形全等，運(yùn)用了類比的方法，同時(shí)還要熟練掌握正n邊形每一個(gè)內(nèi)角的求法：可以利用外角和求，也可以利用內(nèi)角和求；根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和列式并綜合對(duì)頂角相等分別得出結(jié)論．
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