在平面幾何的學(xué)習(xí)中,“圓”是極其重要的一章。它涉及的知識(shí)面廣,綜合性強(qiáng),幾乎可以把其它平面中的內(nèi)容都結(jié)合到有關(guān)圓的題目中去,因而難度大,在證明有關(guān)圓的題目時(shí),常用到一些重要的定理,圓冪定理就是其中的一個(gè)。它包括“相交弦定理”及推論;“切割線定理”及推論,熟悉圓冪定理的內(nèi)容,深刻領(lǐng)會(huì)它的作用,靈活地應(yīng)用這些定理是證明與圓有關(guān)的比例線段問題的前提和基礎(chǔ),希望同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)時(shí)引起高度的重視,下面就圓冪定理的學(xué)習(xí)及應(yīng)用提出一些個(gè)人的認(rèn)識(shí),以期對(duì)同學(xué)們有所幫助。

弦切角定義：頂點(diǎn)在圓上，一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角叫做弦切角。

滿足三個(gè)條件：（1）頂點(diǎn)在圓上；（2）一邊和圓相交；（3）一邊和圓相切。

判斷下列圖形中的∠ BAC 是不是弦切角：

圖 A 中，缺少“頂點(diǎn)在圓上”的條件；

圖 B 中，缺少“一邊和圓相交”的條件；

圓 C 中，缺少“一邊和圓相切”的條件；

圓 D 中，缺少“頂點(diǎn)在圓上”和“一邊和圓相切”兩個(gè)條件。

所以，圖中的∠BAC都不是弦切角。

分類（以圓心的位置分）：

（1）圓心在角的外部；（ 2）圓心在角的一邊上；（ 3）圓心在角的內(nèi)部。

弦切角的度理定理：

弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧的度數(shù)的一半。

推論 1：弦切角定理：弦切角等于它所夾的弧對(duì)的圓周角。

推論 2：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)弦切角所夾的弧相等，那么這兩個(gè)弦切角也相等。

必刷好題

如圖 1（4）， 有 PA2=PC·PD

當(dāng)點(diǎn) P 從圓內(nèi)運(yùn)動(dòng)到圓上、圓外時(shí)（從圖 1（1）到圖 1（3））， 總有 PA·PB＝PC·PD，圖 1（2）中，點(diǎn) B、D 與點(diǎn) P 重合，PB＝PD＝0，PA·PB＝PC·PD 同樣成立。

當(dāng)割線 PBA 繞著點(diǎn) P 旋轉(zhuǎn)到切線 PA 的位置時(shí)，點(diǎn) B 與 A 重合，結(jié)論不變，仍有 PA·PB

＝PC·PD，此時(shí)PA=PB，所以PA2=PC·PD

當(dāng)割線 PDC 也變?yōu)榍芯€ PC 時(shí)，總有 PA·PB＝PC·PD，因?yàn)?PC＝PD，PA＝PB，所以PA2=PC2，即PA＝PC，此為切線長(zhǎng)定理。

當(dāng)圖 1（1）中的兩條相交弦的位置調(diào)整為：其中一條為直徑，另一條弦與直徑垂直，

根據(jù)相交弦定理，同樣有 PA·PB＝PC·PD 又根據(jù)垂徑定理， 2＝PC·PD。當(dāng)圖 1（1）中的兩條相交弦的位置調(diào)整為：其中一條為直徑，另一條弦與直徑垂直，根據(jù)相交弦定理，同樣有 PA·PB＝PC·PD 又根據(jù)垂徑定理，有PA=PB，所以PA2 ＝PC·PD。

在上面的圖形變化中，點(diǎn) P 的位置和 AB、CD 的位置在不斷地變化，而變化中有不變量，即 PA·PB＝PC·PD 的關(guān)系是不變的。我們應(yīng)抓住圖形的本質(zhì)特征，我們把相交弦定理、割線定理、切割線定理統(tǒng)稱為圓冪定理。

考點(diǎn)一 弦切角

1．如圖，AB 是⊙O的直徑，C為圓周上一點(diǎn)，BD 是⊙O的切線，B為切點(diǎn)．

（1）在圖（1）中，∠ BAC＝30°，求∠ DBC 的度數(shù)；

（2）在圖（2）中，∠ BA1C＝40°，求∠ DBC 的度數(shù)；

（3）在圖（3）中，∠ BA2C＝α，求∠ DBC 的度數(shù)；

（4）通過（1）（2）（3）的探究你發(fā)現(xiàn)了什么？用你自己的語言敘述你的發(fā)現(xiàn)．

2．如圖，已知 AB 是圓 O的弦，AC 是圓 O的切線，∠ BAC 的平分線交圓 O于 D，連 BD

并延長(zhǎng)交 AC 于點(diǎn) C，若∠ DAC＝40°，則∠ B＝（ ） 度，∠ ADC＝（ ）度．

3．如圖為△ABC 和一圓的重迭情形，此圓與直線 BC 相切于 C點(diǎn)，且與 AC 交于另一點(diǎn) D．若∠ A＝70°，∠ B＝60°，則CD 的度數(shù)為（ ）．

4．如圖，割線 PAB 過圓心 O，PD 切⊙O于 D，C是BD上一點(diǎn)，∠ PDA＝20°，則∠ C的度數(shù)是（ ）度．

5．如圖，已知 AB 是⊙O的直徑，PC 切⊙O于點(diǎn) C，∠ PCB＝35°，則∠ B等于 度．

6．定義：由圓的切線和過切點(diǎn)的弦所組成的角叫做弦切角．如圖 1，已知 AB 切⊙O于 D

點(diǎn)，CD 是⊙O的弦，則圖中∠ BCD 與∠ ADC 都是弦切角．

（1）如圖 2，作出∠ BCD 所夾弧 CD 所對(duì)的圓周角∠ M，求證：∠ BCD＝∠ M；

（2）請(qǐng)用文字語言總結(jié)（1）中的結(jié)論 ；

（3）如圖 3，PB 切⊙O于 B點(diǎn)，PAB 交⊙O于A、B兩點(diǎn)，利用（2）中的結(jié)論，求證PC2＝PA· PB．

重點(diǎn)關(guān)注題

小明是個(gè)愛動(dòng)腦筋的孩子，他在學(xué)完與圓有關(guān)的角圓周角、圓心角后，意猶未盡，又查閱到了與圓有關(guān)的另一種角﹣﹣﹣﹣﹣﹣弦切角．請(qǐng)同學(xué)們先仔細(xì)閱讀下面的材料，再完成后面的問題．

材料：頂點(diǎn)在圓上，一邊與圓相交，另一邊與圓相切的角叫做弦切角．如圖 1，弧AMB是弦切角∠ PAB 所夾的弧，他發(fā)現(xiàn)弦切角與它所夾的弧所對(duì)的圓周角有關(guān)系．

問題 1：如圖 2，直線 DB 切⊙O于點(diǎn) A，∠ PCA 是圓周角，當(dāng)圓心 O位于邊 AC 上時(shí)，

求證：∠ PAD＝∠ PCA，請(qǐng)你寫出這個(gè)證明過程．

問題拓展：

問題 1：如果圓心 O不在∠ PCA 的邊上，∠ PAD＝∠ PCA 還成立嗎？如圖 3，當(dāng)圓心 O在∠ PCA 的內(nèi)部時(shí)，小明證明了這個(gè)結(jié)論是成立的．他的思路是：作直線 AE，聯(lián)結(jié) PE，由問題 1的結(jié)論可知∠ PAD＝∠ PEA，而∠ PCA＝∠ PEA，從而證明∠ PAD＝∠ PC．

問題 2：如圖 4，當(dāng)圓心 O在∠ PCA 的外部時(shí)，∠ PAD ＝∠ PCA 仍然成立．請(qǐng)你仿照小明

的思路證明這個(gè)結(jié)論．

運(yùn)用：如圖 5，AD 是△ABC 中∠ BAC 的平分線，經(jīng)過點(diǎn) A的⊙O與 BC 切于點(diǎn) D，與 AB、

AC 分別相交于 E、F．求證：EF∥ BC．（ 提示：可以直接使用本題中的結(jié)論）

數(shù)學(xué)思想在教學(xué)過程中的滲透有利于鍛煉學(xué)生的邏輯思維與創(chuàng)造性思維.圓冪定理揭示了過同一點(diǎn)的弦,切線及割線之間存在的比例關(guān)系.本文主要探討圓冪定理在中學(xué)平面幾何運(yùn)用中的三類數(shù)學(xué)思想,旨在對(duì)圓冪定理的教學(xué)提供一些參考.