經(jīng)驗預(yù)測法具有良好的在線運算能力，但較差的預(yù)測性能難以滿足電動汽車的實際需求。從狀態(tài)估計的角度出發(fā)可以改善該方法的精度和收斂性，但又增加了算法對模型的依賴性和計算的復(fù)雜程度。此外，為了確保壽命經(jīng)驗?zāi)Ｐ偷倪m應(yīng)性，經(jīng)驗預(yù)測法和濾波預(yù)測法往往都需要對大量的動力電池離線老化實驗數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，耗費大量的資源和時間。因此，本節(jié)將詳細(xì)介紹一種能夠有效解決上述問題的新型經(jīng)驗預(yù)測法——基于Box-Cox變換的動力電池RUL預(yù)測方法。該方法不僅可以改善RUL的預(yù)測精度和收斂性能，還可以免去大量的動力電池離線老化實驗，提高了傳統(tǒng)經(jīng)驗預(yù)測法的工程適用性。
由表6-1可見，除了線性模型以外，其他壽命經(jīng)驗?zāi)Ｐ投季哂休^強(qiáng)的非線性和復(fù)雜的表達(dá)形式。因此，傳統(tǒng)的經(jīng)驗預(yù)測法在對動力電池歷史容量數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合時，極易受到數(shù)據(jù)波動的影響（特別是歷史末端數(shù)據(jù)波動的影響），進(jìn)而產(chǎn)生發(fā)散的RUL預(yù)測結(jié)果。線性模型的擬合性能最為穩(wěn)定，且參數(shù)最少，但由于動力電池的容量衰減軌跡通常呈非線性，直接采用線性模型難以實現(xiàn)準(zhǔn)確的RUL預(yù)測。為此，Box-Cox變換可提供一種有效的解決途徑。
Box-Cox變換是由George Box和Sir David Cox在1964年提出的一種參數(shù)化廣義冪變換方法。該方法建立在線性、正態(tài)以及同方差性的基本假設(shè)之上，常用于減少數(shù)據(jù)在統(tǒng)計建模中的非相加性、非正態(tài)性和異方差性等不規(guī)則現(xiàn)象。
自最初提出以來，Box-Cox變換技術(shù)就得到了廣泛關(guān)注和應(yīng)用，特別是各領(lǐng)域的經(jīng)驗函數(shù)確定過程。Box-Cox變換的核心思想是通過引入?yún)?shù)來創(chuàng)建一個數(shù)據(jù)單調(diào)變換的函數(shù)族，從而達(dá)到降低樣本偏離正態(tài)特性的目的。對于動力電池的RUL預(yù)測，Box-Cox變換可利用一個簡單的變換系數(shù)將非線性的動力電池容量衰減軌跡線性化，有效降低RUL預(yù)測的難度，為精準(zhǔn)化的線性模型預(yù)測提供了可能性。下面詳細(xì)介紹基于Box-Cox變換的動力電池RUL預(yù)測過程。
基于Box-Cox變換的動力電池RUL預(yù)測流程如圖6-4所示。
圖6-4 基于Box-Cox變換的動力電池RUL預(yù)測流程圖
該方法首先需要對動力電池的歷史容量數(shù)據(jù)進(jìn)行Box-Cox變換，將非線性的容量衰減軌跡線性化，從而獲取Box-Cox變換系數(shù)以及Box-Cox變換后的歷史容量觀測值。Box-Cox變換的數(shù)學(xué)表達(dá)式為
式中，為數(shù)據(jù)變換后的歷史容量觀測值； λbc為Box-Cox變換系數(shù)。為了使上述變換得以進(jìn)行，一般采用極大似然估計法對參數(shù)λbc進(jìn)行求解，具體的求解過程等價于尋找能夠最大化以下數(shù)學(xué)表達(dá)式的λbc作為最終的變換系數(shù)：
式中， L*（λbc ） 為對數(shù)自然函數(shù)； ns 為歷史容量觀測值的樣本規(guī)模；的數(shù)學(xué)表達(dá)式為
式中， C為歷史容量觀測向量； K為歷史容量所對應(yīng)的循環(huán)次數(shù)向量；而的數(shù)學(xué)表達(dá)式為
在完成Box-Cox變換后，動力電池的歷史容量數(shù)據(jù)已經(jīng)基本完成線性化。由于容量衰減軌跡的非線性程度減弱，RUL預(yù)測難度降低，因此只需采用線性模型作為壽命經(jīng)驗?zāi)Ｐ图纯蓾M足精度要求。線性模型的擬合表達(dá)式為
式中，線性模型的系數(shù)可通過最小二乘法求解，具體的求解表達(dá)式為
式中，為變換后歷史容量數(shù)據(jù)的平均值；為歷史循環(huán)次數(shù)的平均值。
在完成線性模型系數(shù)的計算后，需要對規(guī)定的容量失效閾值進(jìn)行Box-Cox變換，并將變換后的結(jié)果代入式(6-10)，求解容量失效閾值所對應(yīng)的循環(huán)次數(shù)。此時，通過當(dāng)前循環(huán)次數(shù)的減法運算，即可獲得動力電池的RUL。
下面介紹利用MC方法計算RUL概率密度函數(shù)的詳細(xì)過程。
經(jīng)驗預(yù)測法的預(yù)測不確定性主要來源于壽命經(jīng)驗?zāi)Ｐ偷臄M合過程。因此，BMS首先需要根據(jù)擬合過程的不確定性隨機(jī)生成若干個參數(shù)樣本。為了求解線性模型系數(shù)c1和c2在擬合過程中的方差，需要求解以下的數(shù)學(xué)方程：
式中，Var(c1)和Var(c2)分別為c1和c2的方差；s2為誤差項方差的估計值，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為
式中，SSR為殘差的平方和，其計算表達(dá)式為
基于MC方法的操作流程，以c1和c2為均值、Var（c1）和Var（c2）為方差隨機(jī)生成N個線性模型系數(shù)樣本，隨后根據(jù)式（6-10）分別基于每一組樣本開展RUL的預(yù)測模擬，獲得N個RUL預(yù)測結(jié)果。此時，根據(jù)式（6-4）和式（6-5）即可估計動力電池RUL的概率密度函數(shù)。需要指出的是，增大線性模型系數(shù)的樣本規(guī)模有助于提高所求概率密度函數(shù)的可靠性，但同時也會顯著增大了計算量。
為了評價上述方法的性能表現(xiàn)，下面以動力電池6-單體25和26為例對該方法的預(yù)測效果進(jìn)行詳細(xì)分析。為了便于描述，下文將該方法簡稱為Box-Cox變換預(yù)測法。
1.與傳統(tǒng)經(jīng)驗預(yù)測法的對比
Box-Cox預(yù)測變換法和傳統(tǒng)經(jīng)驗預(yù)測法的RUL預(yù)測結(jié)果如圖6-5所示。其中，傳統(tǒng)經(jīng)驗預(yù)測法的RUL結(jié)果基于表6-2中的雙指數(shù)模型和多項式模型計算獲得。
圖6-5 RUL預(yù)測結(jié)果（見彩插）
a）Box-Cox變換預(yù)測法的結(jié)果（單體25） b）Box-Cox變換預(yù)測法的結(jié)果（單體26）c）傳統(tǒng)經(jīng)驗預(yù)測法的結(jié)果（單體25）d）傳統(tǒng)經(jīng)驗預(yù)測法的結(jié)果（單體26）
圖6-5a所示為單體25基于前300次循環(huán)數(shù)據(jù)的RUL預(yù)測結(jié)果。從圖中可見，Box-Cox變換能夠有效地將非線性的容量衰減軌跡線性化。經(jīng)計算，Box-Cox變換后的容量與循環(huán)次數(shù)之間的皮爾森相關(guān)系數(shù)達(dá)到-0.9888，呈現(xiàn)出強(qiáng)烈的線性關(guān)系。經(jīng)過MC方法的模擬運算，Box-Cox變換預(yù)測法得到該單體在到達(dá)壽命失效閾值點時將要經(jīng)歷505次循環(huán)，僅比測試結(jié)果高出5次，預(yù)測誤差僅為1%。此時，RUL預(yù)測的95%置信區(qū)間為［495,515］，區(qū)間的跨度僅覆蓋20次循環(huán)，表明了Box-Cox變換預(yù)測法具有很高的可信度。
圖6-5b所示為單體26基于前310次循環(huán)數(shù)據(jù)的RUL預(yù)測結(jié)果。經(jīng)計算，皮爾森相關(guān)系數(shù)達(dá)到-0.9769。與測試結(jié)果相比，Box-Cox變換預(yù)測法的預(yù)測誤差僅為12次循環(huán)，即預(yù)測誤差為2.4%，而RUL的95%置信區(qū)間為［474,502］，區(qū)間的跨度僅有28次循環(huán)。由此可見，Box-Cox變換預(yù)測法在兩個不同的動力電池單體上均能表現(xiàn)出優(yōu)異的RUL預(yù)測性能。需要說明的是，上述的RUL預(yù)測運算在Intel Core i7-6700HQ 3.5GHz處理器MATLAB R2016b運算環(huán)境下的仿真計算時間≤2.25s。這說明Box-Cox變換預(yù)測法具備良好的在線運行能力。
圖6-5c和d分別是以多項式模型和雙指數(shù)模型作為壽命經(jīng)驗?zāi)Ｐ偷膫鹘y(tǒng)經(jīng)驗預(yù)測法的RUL預(yù)測結(jié)果。從圖中可見，隨著循環(huán)次數(shù)增多，多項式模型和雙指數(shù)模型的預(yù)測能力逐漸惡化，甚至出現(xiàn)容量軌跡反常上升的現(xiàn)象。這說明傳統(tǒng)的經(jīng)驗預(yù)測法在數(shù)據(jù)波動的影響下產(chǎn)生了發(fā)散的預(yù)測結(jié)果，因此未能正常預(yù)測動力電池的容量衰減軌跡。
綜上所述，Box-Cox變換預(yù)測法能夠有效降低動力電池RUL的預(yù)測難度，大大提高了線性模型的預(yù)測精度，改善了傳統(tǒng)經(jīng)驗預(yù)測法的預(yù)測性能。
2.在線預(yù)測的性能評價
Box-Cox變換系數(shù)直接影響著容量衰退軌跡線性化的優(yōu)劣程度。一般來說，負(fù)變換系數(shù)誤差將導(dǎo)致過于樂觀的RUL預(yù)測，而正變換系數(shù)誤差將引起過于保守的RUL預(yù)測。因此，評價Box-Cox變換系數(shù)的準(zhǔn)確程度具有十分重要的意義。
圖6-6所示為Box-Cox變換預(yù)測法RUL在線預(yù)測結(jié)果，其中，動力電池從第50次循環(huán)開始，每隔10次循環(huán)運行一次Box-Cox變換法運算。
圖6-6a和b所示為兩個動力電池單體在不同循環(huán)下的Box-Cox變換系數(shù)預(yù)測結(jié)果。所示參考值均基于離線的全壽命實驗數(shù)據(jù)獲得，上邊界的設(shè)置比參考值高2，下邊界的設(shè)置比參考值低1。結(jié)果表明，Box-Cox變換系數(shù)的估計值在動力電池的老化初期呈現(xiàn)波動的趨勢，在第180次循環(huán)后開始快速收斂到參考值。單體25和26的變換系數(shù)估計值分別在250次和310次循環(huán)后進(jìn)入上下邊界的范圍內(nèi)。
圖6-6c和d中的RUL預(yù)測結(jié)果呈現(xiàn)出與Box-Cox變換系數(shù)相同的變化趨勢。單體25的RUL預(yù)測大約在60次循環(huán)以后收斂到真實值。值得注意的是，一旦收斂到真實值，動力電池RUL的誤差大多數(shù)被控制在10次循環(huán)以內(nèi)。而單體26的RUL預(yù)測結(jié)果在距離測試值20次循環(huán)附近呈現(xiàn)穩(wěn)定的走勢。圖6-6e和f表明Box-Cox變換預(yù)測法能夠有效地將RUL預(yù)測的標(biāo)準(zhǔn)差控制在7次循環(huán)以內(nèi)，而預(yù)測標(biāo)準(zhǔn)差將隨著歷史老化數(shù)據(jù)的增多而下降。
圖6-6 基于Box-Cox變換法的動力電池RUL在線預(yù)測結(jié)果（見彩插）
a）λ估計值（單體25） b）λ估計值（單體26） c）預(yù)測結(jié)果（單體25）d）預(yù)測結(jié)果（單體26） e）預(yù)測標(biāo)準(zhǔn)差（單體25） f）預(yù)測標(biāo)準(zhǔn)差（單體26）
綜上所述，Box-Cox變換預(yù)測法具有穩(wěn)定的在線預(yù)測性能，其預(yù)測結(jié)果具有良好的精確度。
3.與濾波預(yù)測法的對比
Box-Cox變換預(yù)測法與濾波預(yù)測法均可視為在不同預(yù)測思路下對經(jīng)驗預(yù)測法的改進(jìn)方案。因此，下面對兩者進(jìn)行對比評價。需要說明的是，濾波預(yù)測法采用最為常見的粒子濾波作為狀態(tài)估計算法。為了方便討論，將基于粒子濾波的動力電池RUL預(yù)測方法簡稱為粒子濾波法。圖6-7所示為Box-Cox變換預(yù)測法與粒子濾波法分別對單體25的RUL預(yù)測結(jié)果。
圖6-7 Box-Cox變換預(yù)測法與粒子濾波法的RUL預(yù)測（單體25）
a）預(yù)測誤差 b）預(yù)測標(biāo)準(zhǔn)差
圖6-7a表明，Box-Cox變換預(yù)測法和粒子濾波法都需要經(jīng)過約130次循環(huán)以后才能收斂到RUL的真實值附近。而在大多數(shù)情況下，Box-Cox變換法的預(yù)測精度均略高于粒子濾波法。經(jīng)計算，Box-Cox變換法和粒子濾波法的平均預(yù)測誤差分別為53.7次和56.5次(測試的RUL值為500次)。由此可見，Box-Cox變換預(yù)測法在整體上的預(yù)測精度高于粒子濾波法。
圖6-7b所示為兩種方法的RUL預(yù)測標(biāo)準(zhǔn)差。從圖中可見，兩種方法的預(yù)測標(biāo)準(zhǔn)差都隨著老化數(shù)據(jù)量的增多而降低，但Box-Cox變換法的預(yù)測標(biāo)準(zhǔn)差明顯低于粒子濾波法，并且從預(yù)測初期到末期均能維持在較低的水平。經(jīng)計算，Box-Cox變換預(yù)測法和粒子濾波法的平均預(yù)測標(biāo)準(zhǔn)差分別為7.2次和30.8次。
綜上所述，Box-Cox變換法在準(zhǔn)確度和精確度上都具有更優(yōu)異的性能。
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