圖形的對稱、平移、旋轉(zhuǎn)與位似是初中數(shù)學(xué)中幾種重要的圖形變換問題,也是各地中考的難點．解決這類問題需在平面直角坐標(biāo)系中作出變換的圖形，或根據(jù)圖形變換求點的坐標(biāo)；需要綜合運用圖形變換的性質(zhì)特征,運用點的坐標(biāo)的變化規(guī)律,根據(jù)圖形的性質(zhì)找到各點對應(yīng)點的位置,從而得到解決問題的途徑和方法．
下面舉一例，對坐標(biāo)系中圖形變換的規(guī)律進(jìn)行剖析．
題目 如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中,?ABC的三個頂點都在格點上,點A的坐標(biāo)為(2,4),請解答下列問題:
(1)畫出?ABC關(guān)于y軸對稱的?A1B1C1,并寫出點A1的坐標(biāo);
(2)將?A1B1C1先向下平移2個單位,再向右平移5個單位,得到?A2B2C2,畫出這個三角形,并說出點A2的坐標(biāo);
(3)以圓心O為位似中心作出?A2B2C2的位似圖形?A3B3C3,要求?A2B2C2與?A3B3C3的相似比為2∶1.
解析 這道例題可分以下三步來思考.
對稱規(guī)律是:點P(x,y)關(guān)于x軸對稱的點P1的坐標(biāo)為(x,-y);關(guān)于y軸對稱的點P2的坐標(biāo)為(-x,y);關(guān)于原點對稱的點P3的坐標(biāo)為(-x,y-y).可歸納為:與 誰對稱誰不變,另一個變號,關(guān)于原點對稱,橫變縱也變.
方法一 如圖2所示,根據(jù)軸對稱圖形的對應(yīng)點的連線段被對稱軸垂直平分的性質(zhì),找出A、B、C三點關(guān)于y軸的對稱點A1、B1、C1的位置；再順次連接,可得關(guān)于y軸對稱的圖形?A1B1C1；然后根據(jù)圖形寫出點A1的坐標(biāo)(-2,4)．
方法二 根據(jù)圖形和點A的坐標(biāo)(2,4),分別找出點B和點C的坐標(biāo)B(1,2)、C(5,3)；再根據(jù)軸對稱規(guī)律,分別找出A、B、C三點關(guān)于y軸的對稱點的坐標(biāo)A1(-2,4)、B1(-1,2)、C1(-5,3),然后順次連結(jié),可得關(guān)于y軸對稱的圖形?A1B1C1．
2.關(guān)于平移
平移規(guī)律是:左右移動時,橫坐標(biāo)左減右加,縱坐標(biāo)不變;上下移動時,縱坐標(biāo)上加下減,橫坐標(biāo)不變．
1.關(guān)于軸對稱和中心對稱
方法二 觀察圖形和A1點的坐標(biāo)(-2,4),根據(jù)點的平移規(guī)律“左減右加、上加下減”直接計算,得A2(-2+5,4-2)即A2(3,2),B2(-1+5,2-2)，即B2(4,0),C2(-5+5,3-2)，即C2(0,1)．由坐標(biāo)確定點A2、B2、C2的位置,再順次連結(jié),可得平移的圖形?A2B2C2．
3.關(guān)于位似變換
位似的規(guī)律:兩個位似圖形是指它們的每組對應(yīng)點所在的直線都經(jīng)過同一點的特殊的相似圖形．
觀察?A2B2C2.若以以原點為位似中心,相似比是2∶1,則由(2)中A2的坐標(biāo)(3,2),它的對應(yīng)點A3的坐標(biāo)就是(kx,ky)或(-kx,-ky).這里
求出A3(1.5,1)或A3′(-1.5,-1).同理求出B3(B3′),C3(C3′)的坐標(biāo),合理連線(如圖2),?A3B3C3和?
即為符合要求的位似圖形．
總結(jié) 利用圖形變化確定點的坐標(biāo),關(guān)鍵是掌握點的坐標(biāo)的變化規(guī)律,根據(jù)圖形的性質(zhì)找到各點的對應(yīng)點位置,順次連結(jié)可得變化后的圖形．
下面歸納出各種變換的特點和變換方法.
對稱變換 成軸對稱的兩個圖形中,其中一個圖形上的所有點關(guān)于對稱軸的對稱點都在另一個圖形上,軸對稱圖形的對應(yīng)點的連線段被對稱軸垂直平分．對應(yīng)線段相等,對應(yīng)角相等．對應(yīng)線段或其延長線相交,那么交點在對稱軸上．
旋轉(zhuǎn)變換 圖形通過旋轉(zhuǎn),圖形中每一點都繞著旋轉(zhuǎn)中心沿相同的方向旋轉(zhuǎn)了同樣大小的角度.任意一對對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心的連線的夾角都與旋轉(zhuǎn)角相等,對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等,對應(yīng)線段相等,對應(yīng)角相等.旋轉(zhuǎn)過程中,圖形的形狀、大小都沒有發(fā)生變化．
平移變換 圖形的平移包含兩要素,一是平移的方向；二是平移的距離.判斷平移的時候,只需要沿平移的“路徑”進(jìn)行平移便可確定其兩要素．
在平面直角坐標(biāo)系中,如果把一個圖形向左或向右平移a(a>0)個單位長度,那么圖形上各個點的橫坐標(biāo)都減或加a;如果把一個圖形向上或向下平移a(a>0)個單位長度,那么圖形上各個點的縱坐標(biāo)都加或減去a．
位似變換 位似圖形上任意一對對應(yīng)點到位似中心的距離之比等于位似比,兩個位似圖形的周長的比等于位似比,面積的比等于位似比的平方．如果位似變換是以原點為位似中心,相似比為k,那么位似圖形對應(yīng)點的坐標(biāo)的比等于k或-k；點(x,y)的對應(yīng)點的坐標(biāo)是(kx,ky)或(-kx,-ky).根據(jù)位似比找出另一個圖形的關(guān)鍵點．
位似圖形是相似圖形的特例,不僅要求形狀形同,而且還要求對應(yīng)點的連線相交于同一點.因此位似圖形一定是相似圖形,但相似圖形不一定是位似圖形.可能在圖形的中間、兩個圖形的同一側(cè)或圖形上．作一個圖形的位似圖形的基本步驟是:選定位似中心——連點——延長——截倍(分)等,而得到放大或縮小的圖形,新圖形與原圖形就是位似圖形．
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