「譯者 | 實驗室的貓」語：黃金比例，這個神秘的詞匯常常被賦予深奧而完美的意義，似乎在藝術(shù)、建筑和自然界中無處不在。然而，下面 Chris Budd 教授這篇文章中，他用理性的觀點揭示了這種看似神奇色彩的比例，其實可能并非我們想象中的那樣。
首先，黃金比例在本質(zhì)上并無特別神奇之處，與我們生活中遇到的其他比例一樣。是的，它在歷史長河中曾被贊譽為藝術(shù)和建筑的黃金法則，然而，實際證據(jù)卻并不完全支持這種說法。帕特農(nóng)神廟，被人們譽為“黃金比例”的典范，仔細(xì)測量卻發(fā)現(xiàn)其并無完全符合。音樂大師莫扎特和貝多芬的作品，也并未嚴(yán)格遵循黃金比例。
自然界中的黃金比例神跡也并未得到科學(xué)的證實。許多植物、生物的生長模式，并未完全契合黃金比例。牛頓認(rèn)為太陽系的運轉(zhuǎn)遵循黃金比例，但現(xiàn)今的模型計算已經(jīng)否定了這一觀點。
不過，盡管黃金比例并無我們想象中的那般神秘，但也不能否認(rèn)，它在藝術(shù)創(chuàng)作中的應(yīng)用，確實能帶來一種平衡和美感，觸動人們的審美神經(jīng)。不過將其神化為一種完美比例，無疑是種過度的夸大和神秘化。
作者：Chris Budd, plus.maths.org/content/myths-maths-golden-ratio
譯者：實驗室的貓
我相信，大多數(shù)人都聽過數(shù)學(xué)中一個被贊譽為神奇的數(shù)——黃金比例(或黃金分割比)。
許多書籍、電影、文章和學(xué)校課程中都出現(xiàn)了它的身影，這些作品旨在展示數(shù)學(xué)在現(xiàn)實世界中的重要性。
許多作者（包括《達(dá)·芬奇密碼》的作者丹·布朗）將黃金分比例述為自然界美麗圖案的基石，有時甚至被稱為神圣比例。
有人甚至宣稱在藝術(shù)和建筑中，諸如帕特農(nóng)神廟和金字塔等，也都遵循著黃金分割的比例；人體的比例，例如成年人的身高與肚臍高度之比，或者前臂長度與手掌長度之比，也被認(rèn)為與黃金分割有關(guān)。
然而，在我數(shù)十載用數(shù)學(xué)解決現(xiàn)實問題的職業(yè)生涯中，確僅有兩次遇到過黃金分割比。是的，只有兩次！那么，關(guān)于黃金分割的那些美好傳說，究竟可信度有多高呢？
首先讓我們快速回顧一下黃金分割究竟是什么。它是由古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得定義的。設(shè)想有一條線段，整個線段與較長的那一段之比等于較長的那一段與較短的那一段之比。那么這個比值應(yīng)該是多少？
經(jīng)過一些數(shù)學(xué)推導(dǎo)，我們算出這個比值應(yīng)該是：
定義為兩個長度的比值，意味著在觀察任何能夠丈量的事物時——無論是面部還是建筑物，都有可能找到黃金分割的身影。
黃金分割被認(rèn)為人體中就存在許多黃金比。這些比例包括完美面部的形狀，以及肚臍高度與身高的比例。事實上，有人聲稱幾乎所有完美人臉的比例都與黃金分割有關(guān)。
然而，這些說法并非正確，甚至可以說是毫無根據(jù)。
人體有許多可能的比例，其中很多都在 到 之間。如果您仔細(xì)觀察足夠多的比例，最終必然會找到接近黃金分割值（約為 ）的數(shù)字。
這種現(xiàn)象尤其明顯，當(dāng)所測量的事物沒有特別明確的定義（如上圖所示），而且可以通過改變定義來獲得想要找到的比例。
甚至說，只要仔細(xì)尋找，還會發(fā)現(xiàn)人體中接近 、、、、 等等的比例。事實上， 到 之間的大多數(shù)數(shù)字都可以用兩個身體部位的比例來近似表示。類似的偽規(guī)律也在太陽系中被觀察到——太陽系中有太多不同的比例可供選擇。
有一點需要注意，由于黃金分割是一個無理數(shù)（即無限不循環(huán)小數(shù)），任何比例都只能是黃金分割的近似值。
所有這些都是人類大腦發(fā)現(xiàn)偽相關(guān)性的例子。事實上，只要有足夠的數(shù)據(jù)，就有可能找到與幾乎任何假設(shè)相符的模式。
一個很好的例子是在晴朗的日子里走出戶外，仔細(xì)觀察云彩，早晚你能發(fā)現(xiàn)一朵符合某種新奇模式的云。
這種現(xiàn)象實際上可能相當(dāng)危險，當(dāng)在數(shù)據(jù)中發(fā)現(xiàn)偽相關(guān)性來證明某一觀點時。例如，它們可能導(dǎo)致錯誤的指控，甚至錯誤的定罪。
如果你將一條線段分成兩段 和 ，使得 是黃金分割，然后用 和 構(gòu)成一個矩形，那么這個矩形被稱為黃金矩形。
黃金矩形是由一個大正方形（白色部分）和一個較小的矩形（灰色部分）組成的。這個較小的矩形也是一個黃金矩形。
我們剛剛構(gòu)成的黃金矩形包括一個正方形和一個較小的矩形，而這個較小的矩形本身也是一個黃金矩形。這個黃金矩形又包括一個正方形和一個較小的矩形，這個較小的矩形也是一個黃金矩形。如此循環(huán)往復(fù)。
通過這一系列越來越小的黃金矩形，我們可以構(gòu)成一個類似螺旋的圖形。只需在黃金矩形中出現(xiàn)的每個正方形內(nèi)畫一個四分之一圓。
這種類似螺旋的形狀常被認(rèn)為在自然和藝術(shù)領(lǐng)域的許多地方都有出現(xiàn)。例如，鸚鵡螺殼的形狀、星系的形狀、颶風(fēng)的形狀，甚至是波浪的形狀。
這里有兩個問題。首先，這個形狀并不是真正的螺旋曲線，而是一系列的圓弧拼接而成。當(dāng)從一個弧線過渡到另一個弧線時，實際上曲率會突然改變。在自然現(xiàn)象中，不太可能看到這樣的跳躍。
實際上，這個形狀只近似螺旋曲線。它近似的螺旋形式是對數(shù)螺旋的一個例子。這種螺旋在自然界中非常常見。它們具有極坐標(biāo)方程
其中 是自然對數(shù)的底數(shù)。在自然界中，我們可以看到各種各樣的這種螺旋，其中 和 的值取決于具體情境。這些螺旋之所以如此普遍，是因為它們具有自相似性質(zhì)。這意味著，如果你將螺旋旋轉(zhuǎn)固定角度，得到的螺旋將是原螺旋的重新縮放。所謂的黃金螺旋具有特定的 值，
其中 是黃金比例（角度以弧度為單位）。
這個數(shù)字沒有任何特殊之處。鸚鵡螺殼之所以是對數(shù)螺旋，是因為自相似性質(zhì)使得殼體可以在保持形狀不變的情況下生長。觀察到的鸚鵡螺殼的 值與上述值無關(guān)，實際的殼體中最常見的 值為 。
在探討黃金比例與藝術(shù)建筑的關(guān)系時，就需要謹(jǐn)慎對待了。因為確實有一些藝術(shù)家和設(shè)計師，如勒·柯布西耶，在他們的藝術(shù)作品中刻意運用了黃金比例。
這是因為有人聲稱，黃金矩形在審美上特別悅目，相較于其他矩形，人們會更為欣賞。因此，在藝術(shù)作品中使用它們是有道理的。于是，又有人聲稱，幾乎所有的藝術(shù)品與建筑作品都能找到黃金比例的痕跡。
事實上，黃金矩形極具吸引力的觀點并無充分證據(jù)支撐。心理學(xué)研究顯示，人們對矩形的喜好范圍相當(dāng)廣泛，開方比例為二比一的矩形往往更受青睞。試試看，你更偏愛下面哪個矩形？
根據(jù)基思·德夫林的書《永不消逝的神話》，黃金比例與美學(xué)之間存在任何關(guān)系的觀點主要來自兩個人。
其中一人就是盧卡·帕西奧利，他在 1509 年寫了《神圣比例》一書。這本書似乎是以黃金比例命名的，但里面并沒有提出基于黃金比例的美學(xué)理論，也沒有主張將其應(yīng)用于藝術(shù)和建筑。但在 1799 年，有人將此書與黃金比例聯(lián)系起來，然后把這種無中生有的觀點歸于帕西奧利頭上的。
帕西奧利與萊昂納多·達(dá)·芬奇關(guān)系密切，人們常常聲稱，達(dá)·芬奇在其繪畫作品中運用了黃金比例。然而，并無確鑿證據(jù)支持這一觀點。最著名的例子莫過于《維特魯威人》，但該作品中的比例并非黃金比例。實際上，達(dá)·芬奇在作品中僅提及整數(shù)比例。他的畫作中所謂的黃金比例出現(xiàn)的例子，與在自然界中發(fā)現(xiàn)黃金比例的道理類似。
而另一個人是 19 世紀(jì)的德國心理學(xué)家阿道夫·澤辛（Adolf Zeising），他認(rèn)為黃金分割是一種普遍規(guī)律，描述了“自然和藝術(shù)領(lǐng)域中的美與完整性，作為一種卓越的精神理想，滲透在宇宙或個體、有機或無機、聲學(xué)或光學(xué)的所有結(jié)構(gòu)、形式和比例中?！?然而，這不過是一個看似有規(guī)律的虛假模式。盡管如此，澤辛的觀點仍影響了許多人，為神話黃金比例奠定了基礎(chǔ)。
其中一則關(guān)于黃金分割的神話是，它出現(xiàn)在希臘雅典衛(wèi)城的帕特農(nóng)神廟的比例之中。
在希臘學(xué)術(shù)研究中沒有任何證據(jù)支持這一觀點，認(rèn)為帕特農(nóng)神廟的比例是由黃金分割給出的觀念僅可以追溯到 19 世紀(jì) 50 年代。此外，對帕特農(nóng)神廟的實際測量并未顯示出特別接近黃金分割的比例，除非你刻意地選擇矩形。
實際上，帕特農(nóng)神廟的和諧外觀源于巧妙地運用看似平行，實則相交或彎曲的線條，因此幾乎不可能進(jìn)行足夠精確的測量以得出確切的比例。由于帕特農(nóng)神廟的比例隨著其高度而變化，因此不可能找到一個與黃金分割相符的總體比例。
同樣的道理也適用于其他希臘建筑：沒有任何證據(jù)表明希臘人將黃金分割視為美的象征，以至于要在他們的藝術(shù)和建筑中特意應(yīng)用它。
同樣的道理也適用于音樂。有人宣稱黃金分割在音樂創(chuàng)作中至關(guān)重要。然而，關(guān)于這一點的證據(jù)少之又少。
實際上，在音樂創(chuàng)作中，音階才是關(guān)鍵，而音階與 的 次方根息息相關(guān)。正是這個后者位于音樂的核心，而非黃金分割。
在正視了曾神話了黃金分割這些事實之后，我卻想強調(diào)一下黃金分割本身是多么驚人——它真的不需要那些虛假的主張來裝扮它的獨特魅力。
首先，讓我們來看看確實與黃金分割有關(guān)的自然現(xiàn)象。黃金分割與著名的斐波那契數(shù)列有著密切的聯(lián)系。
斐波那契數(shù)列確實出現(xiàn)在自然界中，因為它既與人口增長的方式有關(guān)，也與形狀的拼接方式有關(guān)。
例如,我們可以在向日葵的螺旋中觀察到這個數(shù)列,它們需要有序地排列在一起;我們也可以在某些植物的葉子上觀察到，它們需要排列在一起獲得最大的陽光。因此,在某些自然現(xiàn)象中,我們可以觀察到接近黃金分割的比例。
這些現(xiàn)象包括蜂巢中雄蜂與雌蜂的分布，這與蜜蜂多代繁殖的方式有關(guān)。因此，確實可以在花園中觀察到黃金分割，這有非常好的數(shù)學(xué)原因。
但也許更有趣的是黃金分割具有的許多迷人的數(shù)學(xué)性質(zhì)。這里，我想指出一個特別吸引人且確實使黃金分割區(qū)別于其他數(shù)字的性質(zhì)：極端的無理性。
無理數(shù)不能用分?jǐn)?shù)表示，就是說它是無限不循環(huán)小數(shù)。
黃金分割具有驚人的特征,它是所有無理數(shù)中最無理的數(shù)。這意味著它不僅無法用分?jǐn)?shù)精確表示,甚至很難用分?jǐn)?shù)來近似表達(dá)它。
由于用分?jǐn)?shù)近似黃金分割的難度，它對研究同步過程的數(shù)學(xué)家和科學(xué)家們非常有用。同步是指具有自然頻率的系統(tǒng)受到不同頻率的驅(qū)動，采用強迫頻率。一個例子是人體對陽光的日常頻率進(jìn)行同步。第二個例子是地球的氣候，它根據(jù)繞太陽運行的自然周期進(jìn)行同步。
然而，同步本身可能會產(chǎn)生一個大問題，導(dǎo)致系統(tǒng)出現(xiàn)不必要的共振（例如，如果一個行進(jìn)的樂隊走過懸索橋，橋可能會出現(xiàn)嚴(yán)重振動）。通過選擇以 ： 的比例的兩個頻率，我們可以避免由于黃金分割的極端無理性導(dǎo)致的同步。這個非常有用的特征似乎被大腦、昆蟲種群、氣候科學(xué)家甚至飛機制造商所利用。
因此,黃金分割的確在當(dāng)代很多場合里扮演了主角,但這并非您在與之相關(guān)的神話中常常讀到的那種。這真是太可惜了！黃金分割最有趣的地方在于它不是一個比例，這是一個可愛的悖論。
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