問題

如圖，正方形 ABCD 邊長為 1，以 A 為圓心 AD 為半徑畫得 BD 弧，以 BC 為直徑在正方形內(nèi)畫得半圓，求 BD 弧與半圓相交所得陰影部分的面積。

方法一：幾何方法

如圖，弧 BD 交半圓于 E，取 BC 中點(diǎn) O，連接 AE, AO, OE。

由于 BC 為半圓直徑，則 O 為圓心。注意到 AB = AE, OB = OE，AO 為公共邊，因此我們有

令

，則

根據(jù)扇形面積的計(jì)算公式可知，扇形 ABE 面積為

扇形 OBE 面積為

四邊形 ABOE 的面積為

那么陰影面積為

如圖，以 B 為原點(diǎn)，BC 為

軸正方向建立平面直角坐標(biāo)系。為了書寫方便，令

那么有

弧 BD 的方程為

半圓 BC 的方程為

聯(lián)立兩個方程可解得 E 坐標(biāo)為 (0.8, 0.4)。

先計(jì)算扇形上的弧 BE 與

軸所圍的面積

，如下圖

令

得

再計(jì)算半圓上的弧 BE 與

軸圍成的面積

，如下圖

令

得

那么陰影部分面積為

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