點(diǎn)擊上方「襄子的箱子」→右上角菜單欄→設(shè)為星標(biāo)【瘋狂的中國(guó)數(shù)學(xué)家】第 07 篇文章無理數(shù)是實(shí)數(shù)中的一部分，也被稱為無限不循環(huán)小數(shù)，無法轉(zhuǎn)換成兩個(gè)整數(shù)之比。按照字面意思，很多人會(huì)將其中的“理”理解成“道理”，所謂無理數(shù)，便是沒有道理的數(shù)，不講道理的數(shù)。
這么理解倒不能說錯(cuò)，但在數(shù)學(xué)中，“理”的意思是比，無理數(shù)是不能比的數(shù)，也就是不能轉(zhuǎn)換成整數(shù)之比的數(shù)。在日常生活中，在早期的文明中，有理數(shù)就已經(jīng)夠用了，但隨著文明的進(jìn)展，無論是東西方，都會(huì)面臨無理數(shù)這一個(gè)概念。和負(fù)數(shù)的被接受概念一樣，東方人在接受無理數(shù)的時(shí)候，并沒有太大的心理排斥，而在西方，西方人從認(rèn)識(shí)到接受無理數(shù)，也經(jīng)歷了一番曲折的道路，甚至還在古希臘世界中引發(fā)了一起“無理數(shù)殺人案件”。在古希臘，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派可謂是研究數(shù)學(xué)的扛把子，將其稱為數(shù)學(xué)中的戰(zhàn)斗機(jī)學(xué)派也不為過。在今天的人看來，畢達(dá)哥拉斯是一個(gè)很古怪的人，他相信“靈魂說”，甚至認(rèn)為靈魂會(huì)轉(zhuǎn)世，比如有一次他看到一個(gè)人在打一條狗，他立即上去制止了這種虐狗行為，并說：“請(qǐng)停下來，我從這條狗的叫聲中聽出了我以前一個(gè)朋友的聲音?！?o:p>畢達(dá)哥拉斯似乎天生就是一個(gè)愛流浪的人，他出生于希臘的薩摩斯島，位于愛琴海上，這里距離米利都僅有一箭之遙。我們有理由相信，畢達(dá)哥拉斯在自己的家鄉(xiāng)度過了他的童年。家鄉(xiāng)的人都比較保守，信奉一種奧菲教的教義，這是一種古老的宗教，還殘有很多迷信的味道。有傳言稱，畢達(dá)哥拉斯是阿波羅的兒子，據(jù)說他的大腿是金子，閃閃發(fā)光，而且他是一個(gè)素食主義者，不吃肉。我們現(xiàn)在知道畢達(dá)哥拉斯的大名，源于他在數(shù)學(xué)上的貢獻(xiàn)，可是在當(dāng)時(shí)來講，他的名聲主要來源于他是一個(gè)傳奇人物，是大仙級(jí)別的。長(zhǎng)大后，畢達(dá)哥拉斯前往米利都留學(xué)，米利都生活著哲學(xué)之王泰勒斯，但泰勒斯以自己年齡太大為由，拒絕收畢達(dá)哥拉斯為徒，可能是泰勒斯覺得，自己還不配給大仙當(dāng)老師。后來畢達(dá)哥拉斯前往埃及，在那里呆了數(shù)十年之久，在那里學(xué)習(xí)古埃及人的數(shù)學(xué)。在埃及逗留期間，恰逢波斯入侵，波斯人看著這個(gè)外鄉(xiāng)人-希臘人，倒也沒有為難他，而是將他抓到了巴比倫。自此之后，畢達(dá)哥拉斯又在巴比倫逗留了近五年。幸運(yùn)的是，畢達(dá)哥拉斯的身體還不錯(cuò)，這一路上的輾轉(zhuǎn)并沒有讓他一命嗚呼。有傳言說他還到達(dá)過今天的印度和英國(guó)，但對(duì)此我們只有保持沉默，因?yàn)槲覀円矡o法確定其真?zhèn)巍?o:p>在當(dāng)時(shí)的世界來講，古埃及和古巴比倫在數(shù)學(xué)上的造詣已遠(yuǎn)超周邊的地區(qū)，古埃及人和古代中國(guó)人一樣，側(cè)重于實(shí)用數(shù)學(xué)，他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)一般都是為了實(shí)際的用途，比如造金字塔，一位英國(guó)史學(xué)家說：“埃及是一個(gè)建筑的民族。”而古巴比倫相對(duì)來講就抽象了一些，希臘的十二黃道宮最早就來源于巴比倫，巴比倫人喜歡仰望星空，他們的數(shù)學(xué)中一些思辨的影子。在外面晃悠了小半輩子，當(dāng)畢達(dá)哥拉斯學(xué)成歸來回到家鄉(xiāng)后，本以為自己會(huì)成為全村最靚的仔，畢竟自己算是在古埃及和古巴比倫都混過，相當(dāng)于今天混完牛津又混哈佛?？蓻]想到，家鄉(xiāng)人太保守了，接受不了畢達(dá)哥拉斯的那一套，甚至還有人將他當(dāng)成了瘋子。這真可謂是“少小離家老大回，鄉(xiāng)音無改鬢毛衰。兒童相見不相識(shí)，笑問瘋子何處來？”也有可能，是畢達(dá)哥拉斯的希臘語中夾雜了埃及口音和巴比倫口音，讓家鄉(xiāng)人接受不了。不過據(jù)說在家鄉(xiāng)，畢達(dá)哥拉斯有了他的第一個(gè)學(xué)生，歷史學(xué)家認(rèn)為畢達(dá)哥拉斯的第一個(gè)學(xué)生也叫畢達(dá)哥拉斯，簡(jiǎn)稱小畢，可能是畢達(dá)哥拉斯的一個(gè)親戚，也有可能是畢達(dá)哥拉斯的小號(hào)。有意思的是，小畢是畢達(dá)哥拉斯自己花錢買來的。一般是老師給學(xué)生上課，然后學(xué)生付錢給老師，而畢達(dá)哥拉斯則是反過來的，他不僅要給學(xué)生上課，上完課之后還要付錢給學(xué)生，據(jù)說一節(jié)課要付給小畢3個(gè)銀幣。這么上了一段時(shí)期后，畢達(dá)哥拉斯注意到，小畢已經(jīng)將學(xué)習(xí)從外驅(qū)動(dòng)轉(zhuǎn)到了內(nèi)驅(qū)動(dòng)，于是他說自己已經(jīng)沒錢支付學(xué)費(fèi)了，因此課程只能停止。而小畢竟然表示，學(xué)習(xí)使我快樂，我熱愛學(xué)習(xí)，不給我錢也無所謂。可是，除了小畢之外，畢達(dá)哥拉斯就算是花錢也買不到任何學(xué)生了。萬般無奈之下，畢達(dá)哥拉斯再一次離開了家鄉(xiāng)，前往意大利半島南部的移民城市克羅內(nèi)托。移民城市，相對(duì)來講更開放一些，也更容易接受一些新奇的觀念與想法。或許，此時(shí)此刻的畢達(dá)哥拉斯心中想的，是此地不留爺，自有留爺處，正如那直角三角形中，斜邊的平方等于兩條直角邊的平方和。到了新的家園后，畢達(dá)哥拉斯開始有了自己的追隨者，不再是之前那種花錢買流量的人了，于是他一改往日的陰郁，在當(dāng)?shù)芈鋺舭布?，并建立了屬于自己的學(xué)派“畢達(dá)哥拉斯學(xué)派”。這是一個(gè)類似兄弟會(huì)的組織，內(nèi)部講究平等，還吸收了不少女學(xué)生，畢達(dá)哥拉斯的老婆就是這些女學(xué)員中的一位轉(zhuǎn)換過來的。畢達(dá)哥拉斯的數(shù)學(xué)傾向于古巴比倫人的抽象，似乎他不愿回想起在埃及的那十年歲月，他一點(diǎn)都不實(shí)際。比如在他的哲學(xué)中，他認(rèn)為“形式”比“質(zhì)料”更重要，而且人都是先認(rèn)識(shí)“形式”而后再認(rèn)識(shí)“質(zhì)料”的。這什么意思呢？就比如集合與個(gè)體，我這個(gè)人，我是一個(gè)個(gè)體，而人類則是一個(gè)抽象的名詞概念。舉個(gè)例子，我走在大街上，可能我今天碰到的人，我一個(gè)也不認(rèn)識(shí)，之前沒見過，但我不需要懷疑，在我用余光瞥一眼他們的同時(shí)，我就能知道，他們是人類中的一員?？善婀值氖?，我之前就沒見過他們，也沒有人告訴我，他們是和我一樣的人類。這是因?yàn)?，關(guān)于“人類”這個(gè)抽象名詞的概念，我已經(jīng)認(rèn)識(shí)了，這就是“形式”。畢達(dá)哥拉斯可能是古希臘世界中第一個(gè)系統(tǒng)地研究“數(shù)”的人，當(dāng)泰勒斯認(rèn)為，這個(gè)世界由水構(gòu)成的時(shí)候，這位曾經(jīng)被泰勒斯拒之門外的畢達(dá)哥拉斯，儼然唱起了不同的論調(diào)，他認(rèn)為，這個(gè)世界是由數(shù)構(gòu)成的。他意識(shí)到從音樂的和聲到行星的軌道，一切事物中皆藏有數(shù)。比如，他認(rèn)為，數(shù)字是萬物之靈，“1”是數(shù)的第一原則，萬物之母，也是智慧；“2”是對(duì)立和否定的原則，是意見；“3”是萬物的形體和形式；“4”是正義，是宇宙創(chuàng)造者的象征；“5”是奇數(shù)和偶數(shù)，雄性與雌性的結(jié)合，也是婚姻；“6”是神的生命，是靈魂；“7”是機(jī)會(huì)；“8”是和諧，也是愛情和友誼；“9”是理性和強(qiáng)大；“10”包容了一切數(shù)目，是完滿和美好。畢達(dá)哥拉斯搞的這個(gè)兄弟會(huì)，非常神秘，外面的人幾乎都不知道里面的人都在干啥，而且內(nèi)部證明的數(shù)學(xué)題都是保密的，很顯然，這是一個(gè)偏向于宗教的一個(gè)組織。內(nèi)部的成員有很多禁忌，比如不能吃豆子，睡醒之后要疊好被子，人是神的財(cái)產(chǎn)，因此人不能放縱欲望，也不能自殺等等。最重要的是，要想成為畢達(dá)哥拉斯的學(xué)生，是一件很痛苦的事，因?yàn)槲迥曛畠?nèi)不能說話，要保持沉默，專心聽課，因此，畢達(dá)哥拉斯的學(xué)生中幾乎沒有話癆，話癆也不可能成為他的學(xué)生。話癆也容易說漏嘴，泄露組織的秘密，將畢氏定理一不小心告訴給了外面的人，就不好了。（畢氏定理=勾股定理）畢氏定理是畢達(dá)哥拉斯一生中最重要的成就，他在邏輯上證明了直角三角形的一個(gè)永恒不變的性質(zhì)，即“直角三角形中，斜邊的平方等于直角邊的平方之和”，這適用于一切的直角三角形，當(dāng)然，是在平面幾何內(nèi)。這并不是來自于簡(jiǎn)簡(jiǎn)單單的歸納，而是演繹，因此可以從個(gè)別推及整體。與中國(guó)的勾股定理相比，他有完整的證明過程。畢達(dá)哥拉斯自己也為發(fā)現(xiàn)的這個(gè)定理而興奮，以致于他破戒了，要知道，他以前一直都是一個(gè)素食主義者。在畢氏定理誕生后，他舉辦了一次盛大的百牛大祭，殺了一百頭牛用來祭祀，儀式完成后還來了一場(chǎng)熱熱鬧鬧的“獲獎(jiǎng)感言”，他沒有感謝CCTV，而是感謝了繆斯女神。一般而言，宗教組織都有崇拜的神，而畢達(dá)哥拉斯的兄弟會(huì)不崇拜宙斯，也不崇拜上帝，而是崇拜數(shù)。他們相信，通過了解數(shù)與數(shù)之間的關(guān)系，他們能夠揭示宇宙的神圣秘密，使他們自己更接近神。畢達(dá)哥拉斯相信，這個(gè)世界是講理的，他們研究數(shù)與數(shù)之間的關(guān)系，認(rèn)為世間所有的數(shù)都可以轉(zhuǎn)換成兩個(gè)整數(shù)之比，這些數(shù)被稱為“有理數(shù)”。那么這個(gè)世界上有沒有不講道理的數(shù)呢？有！就是無理數(shù)。舉個(gè)例子，比如0.38，它可以轉(zhuǎn)換成38:100,0.345是整數(shù)345和整數(shù)1000之比，它們都是有理數(shù)。而無理數(shù)就不行，比如π，比如根號(hào)二。兄弟會(huì)里面有一個(gè)學(xué)生叫希帕索斯，他就提出了，比如一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形，它的對(duì)角線長(zhǎng)是多少呢？現(xiàn)在我們可以非常方便地計(jì)算出它的數(shù)值，是根號(hào)二，可在當(dāng)時(shí)來講，并沒有根號(hào)二的概念，也沒有無理數(shù)的概念。希帕索斯的這一疑問，無疑是給畢達(dá)哥拉斯的世界觀造成了劇烈的沖擊，也引爆了數(shù)學(xué)史上的第一次危機(jī)。于是，天真的希帕索斯被兄弟會(huì)的人給扔進(jìn)海里淹死了。畢達(dá)哥拉斯用這種“掩耳盜鈴”、“自欺欺人”的辦法來解決了那個(gè)挑戰(zhàn)有理數(shù)世界的挑戰(zhàn)者。不過據(jù)說這位學(xué)生是因?yàn)樾孤读私M織的秘密，因此在畢達(dá)哥拉斯死后才被成員扔進(jìn)海里淹死的。不管怎么說，因?yàn)楦?hào)二這個(gè)奇怪的數(shù)字出現(xiàn)，在古希臘引發(fā)了一場(chǎng)不小的危機(jī)。首先，根號(hào)二為何是一個(gè)無理數(shù)，它能被證明是一個(gè)無理數(shù)嗎？（根號(hào)二是后來人的叫法，當(dāng)時(shí)的人只是認(rèn)識(shí)到了這個(gè)奇怪的數(shù)）其實(shí)是可以的，我們用反證法就能證明。根據(jù)對(duì)數(shù)的定義，有理數(shù)可以轉(zhuǎn)換成兩個(gè)整數(shù)之比，而無理數(shù)不行，因此，我們先假定，根號(hào)二是有理數(shù)，是可以轉(zhuǎn)換成兩個(gè)整數(shù)之比的，我們令根號(hào)2=p/q（其中，p/q是已經(jīng)約分了的數(shù)，意思就是，這個(gè)分?jǐn)?shù)已經(jīng)是最簡(jiǎn)化的了，無法再約分）接著，我們?cè)诘仁絻蛇呴_個(gè)平方，即可以轉(zhuǎn)換成2=p2/q2我們仔細(xì)觀察一下這個(gè)等式，等式的右邊是一個(gè)偶數(shù)，因?yàn)榈仁阶筮厽o論是什么數(shù)，都有一個(gè)乘積因子是2，因此我們不難得出，“p2”是一個(gè)偶數(shù)，再進(jìn)一步也可以推出“p”是一個(gè)偶數(shù)。我們?cè)倭頿=2m，等式就可以轉(zhuǎn)換成，（2m）2=2q2，展開來，得4m2=2q2，兩邊同時(shí)除以“2”，得2m2=q2，我們不難發(fā)現(xiàn)，等式右邊是一個(gè)偶數(shù)，即q也是一個(gè)偶數(shù)。既然q與p都是偶數(shù)，那么它們至少有一個(gè)公約數(shù)是2，因此p/q就不是最簡(jiǎn)化的分?jǐn)?shù)，是可以再約分的，這與之前的條件“p/q是已經(jīng)約分了的數(shù)”相矛盾，因此前提假設(shè)“根號(hào)二是一個(gè)有理數(shù)”是錯(cuò)的。由此我們通過反證法得出，根號(hào)二是一個(gè)無理數(shù)。我們回頭來看畢達(dá)哥拉斯，由于無理數(shù)的出現(xiàn)，幾近摧毀了畢達(dá)哥拉斯建立的數(shù)字大廈，因此導(dǎo)致很長(zhǎng)一段時(shí)間，人們都像避瘟疫一樣將無理數(shù)視而不見，甚至將其當(dāng)成荒謬的存在。大概兩百年后，古希臘世界又蹦出了一個(gè)數(shù)學(xué)家，叫歐多克索斯，雖然曾在柏拉圖學(xué)院中學(xué)習(xí)過，但他無比貧窮，他在數(shù)學(xué)上的貢獻(xiàn)便是構(gòu)建了一個(gè)比例的世界。雖然他的著作大都已經(jīng)失傳，但我們可以從古希臘數(shù)學(xué)的集大成者《幾何原本》中回溯他的理論，因?yàn)檫@本書保留了歐多克索斯的比例理論。通過歐多克索斯的比例理論，為無理數(shù)提供了邏輯基礎(chǔ)。與負(fù)數(shù)相比，后來的歐洲人在接受無理數(shù)的時(shí)候更快了一些。眾所周知，西方人在數(shù)學(xué)上很認(rèn)死理，如果一個(gè)數(shù)在邏輯上說不通，那么就很難被廣泛接受。相比于負(fù)數(shù)，歐多克索斯在公元前的世界就已經(jīng)給無理數(shù)提供了邏輯基礎(chǔ)，因此這也導(dǎo)致無理數(shù)在歐洲在15,16世紀(jì)的時(shí)候就已被廣泛接受。不過，在很長(zhǎng)的一段時(shí)間里，還是有許多人對(duì)其持保留意見。比如帕斯卡就認(rèn)為，像這樣的數(shù)只能作為幾何上的量來理解。也就是說，它能被用來計(jì)算，但僅僅只是一個(gè)記號(hào)。甚至就連牛頓也保持這種觀念。這種情況一直持續(xù)到19世紀(jì)下半葉，當(dāng)時(shí)的歐洲數(shù)學(xué)家重新建構(gòu)了數(shù)學(xué)大廈，對(duì)所有的數(shù)學(xué)領(lǐng)域都進(jìn)行了公理化的奠基之作，無理數(shù)的地位才算是真正被確立下來。在中國(guó)，無理數(shù)出現(xiàn)地也比較早，《九章算術(shù)》中就已經(jīng)提到了“若開之不盡者，為不可開，當(dāng)以面命之”。這句話的意思是說，如果碰上開方開不盡的，就是不可開，當(dāng)以面命之。由于古代漢語中的字詞經(jīng)常具有模糊性，有很多種解釋，因此如何理解“當(dāng)以面命之”，也并非是唯一的。有些學(xué)者認(rèn)為，面就是邊，意思是說，如果遇到開方開不盡的數(shù)，我們可以取一個(gè)分?jǐn)?shù)，以面作為分母以其根命名一個(gè)分?jǐn)?shù)。在劉徽之前，人們?cè)谔幚磉@些數(shù)的時(shí)候，大都取一個(gè)平方根的近似值，可以用公式來表示：x=根號(hào)（a2+r）=a+a/r，如果我們要求根號(hào)2，可以通過公式求出近似值：根號(hào)2=根號(hào)（12+1）=1+1/1=2因此，劉徽在做注的時(shí)候指出，用這種辦法是極不準(zhǔn)確的。他在前人的基礎(chǔ)上，提供了更為精準(zhǔn)的求近似值的辦法，由此提出了十進(jìn)制的數(shù)學(xué)理念，因此大部分主流學(xué)者認(rèn)為，劉徽對(duì)我國(guó)成為世界上最早使用小數(shù)的國(guó)家，做出了巨大的貢獻(xiàn)。我們通過他留下來的注，也可以發(fā)現(xiàn)，在他求近似值的方法中，有極限論的思想。當(dāng)然，還有另一些學(xué)者認(rèn)為，“若開之不盡者，為不可開，當(dāng)以面命之”，這句話的意思是說，如果我們碰上了開方開不盡的數(shù)，我們可以將其命名為“面”，這實(shí)際上就是關(guān)于什么是無理數(shù)的定義。根據(jù)這派學(xué)者的說法，這句話就可以變成“若開之不盡者，為不可開，當(dāng)以無理數(shù)命之”。對(duì)于無理數(shù)，我們中國(guó)古人并沒有過多的糾結(jié)，既然有這種數(shù)，那就接受這種數(shù)，并想方設(shè)法不斷逼近它的近似值。在《九章算術(shù)》中，除了開平方開不盡的無理數(shù)，還有對(duì)開立方中不可開的問題也有同樣的認(rèn)識(shí)，我們的古人一并接受。我國(guó)古代對(duì)無理數(shù)的引入，實(shí)際上也是出于實(shí)用角度的考量，在這點(diǎn)上，我們不像西方人那么執(zhí)拗，非得要在邏輯上先證明這種數(shù)是可行的才去接受。我們的古人很少糾結(jié)無理數(shù)究竟是什么玩意，它到底是不是數(shù)。這也是中國(guó)與西方對(duì)數(shù)學(xué)理解上的區(qū)別，東方人重實(shí)用，西方人重邏輯。這或許也是為什么中國(guó)的古代數(shù)學(xué)，一直沒有建立起公理化的數(shù)學(xué)大廈的最重要的原因吧。
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