波粒二象性
祁曉亮（斯坦福大學教授）
許岑珂（加州大學圣塔芭芭拉分校教授）
文小剛（麻省理工學院教授）
名不正則言不順
2014年，《科技日報》報道了一個新發(fā)現(xiàn)：“馬約拉納費米子是一種由物質和反物質組成的神秘粒子，已經困擾了物理學家80年。美國科學家近日宣布，他們已經找到了這種神秘莫測的粒子，這不僅有助于量子計算機的研制，還有助于科學家們進一步弄清暗物質的性質?！?br>
其實當時普林斯頓的美國科學家發(fā)現(xiàn)的并不是馬約拉納費米子，而是馬約拉納零能模。（到底有沒有真的發(fā)現(xiàn)馬約拉納零能模目前還有爭議。）馬約拉納零能模有助于量子計算，但和暗物質毫無關系。而馬約拉納所預言的那種自己就是自己的反粒子的費米子，早就在（有自旋軌道耦合的）超導體中被發(fā)現(xiàn)，但當時被叫做另外一個名字：玻戈留玻夫(Bogoliubov)準粒子。超導體中的馬約拉納準費米子（或玻戈留玻夫準粒子）的確和暗物質的一個候選粒子有點像（即自己是自己的反粒子）。
所有這些混淆都起源于，人們把馬約拉納所預言的費米子，和不是馬約拉納所預言的零能模這兩個完全不同的東西，叫成一個名字“馬約拉納費米子”。在這篇文章中，我們將比較詳細地介紹馬約拉納費米子和馬約拉納零能模。我們發(fā)現(xiàn)，馬約拉納零能模根本不是一個粒子，而是粒子的一個性質，就像質量是粒子的一個性質一樣。而馬約拉納零能模這一性質的本質，就是一個非整數(shù)的自由度（半個量子比特）。
在《賽先生》刊登的 《奧妙神奇的量子世界》 一文中，我們介紹了量子比特、薛定諤貓這些量子怪獸。在這篇文章中，我們將遇到一個更加不可思議的量子怪獸：半個量子比特。這些非整數(shù)的量子比特，將是拓撲量子計算的主角。
宇宙中的基本粒子：
狄拉克、外爾和馬約拉納費米子
宇宙中的物質是由各種各樣的基本粒子所組成的。這些基本粒子有各種不同的性質。有些是玻色子，有些是費米子。（玻色子和費米子的概念在《賽先生》刊登的《文小剛：世界多彩的起源》中有詳細介紹。）玻色子是傳播力的粒子，而費米子是組成物質的粒子。但費米子也不僅僅只有一種，自然界還有各種各樣的費米子。為了紀念他們的發(fā)現(xiàn)者，這些不同種類的費米子被稱之為狄拉克費米子、外爾費米子、馬約拉納費米子，等等。大家熟知的電子、夸克都是有質量的狄拉克費米子。以前大家認為中微子是無質量的外爾費米子，但中微子的質量被發(fā)現(xiàn)后，大家現(xiàn)在認為它有可能是有質量的狄拉克費米子，或者是有質量的馬約拉納費米子。到底是哪一種，這是目前高能粒子物理中的一個重大課題。
我們的宇宙十分豐富，但我們的材料更加豐富。同樣的電子在不同的材料中，可以表現(xiàn)為各種各樣不同的費米子。研究這些材料中被模擬的各種各樣的費米子是目前凝聚態(tài)物理研究的一個前沿。請注意，在材料中模擬以上各種費米子的都是電子，電子只是在這些材料中的行為像以上的各種費米子。
為什么同樣的電子，在不同的材料中會表現(xiàn)為不同的費米子？這是因為在我們這個量子世界中，電子有波粒二象性。當電子這個波在不同的晶格中傳播時，其波動方程受到晶格的調制改變。由此導致的不同波動方程，就模擬了不同種類的費米子。
在這篇文章中，讓我們接著《文小剛：世界多彩的起源》的故事，通過介紹一些相關的概念：內部自由度、自旋、狄拉克費米子、外爾費米子、馬約拉納費米子，等等，一起欣賞我們這個非常豐富的量子世界。
左起：狄拉克、外爾、馬約拉納
什么是粒子的內部自由度？
什么是電子的自旋？
除了玻色性費米性之外，粒子還可以有很多其它的內在性質。其中一個就是粒子的內部自由度。有的粒子，即使我們把它的位置完全固定下來之后，它還可以處于不同的狀態(tài)。這些不同的狀態(tài)就被稱之為粒子的內部狀態(tài)。我們需要引入新的數(shù)據(jù)
也就是說一個粒子如果有兩個內部狀態(tài)，
電子就是一個帶有內部狀態(tài)的粒子。而電子的內部狀態(tài)還有一個特殊的性質：當我們把一個電子旋轉一個角度后，這個內部狀態(tài)還會改變。這樣的內部狀態(tài)像一個箭頭，或者更準確地說像一個旋轉的陀螺，有其旋轉方向。這種類型的內部狀態(tài)被稱之為自旋，我們通常用一個箭頭來描寫它。當然還有其它類型的內部狀態(tài)不受旋轉的影響，這類內部狀態(tài)更像不同的顏色。其實夸克，除了帶有自旋型的內部狀態(tài)之外，還帶有這種不受旋轉影響的3個內部狀態(tài)，我們稱其為紅綠藍（也就是說夸克總共有6個內部狀態(tài)）。
我們把一個粒子內部狀態(tài)的數(shù)目，叫做內部自由度。電子有兩個內部狀態(tài)，其內部自由度是2?？淇说膬炔孔杂啥染褪?，源于2個自旋態(tài)和3個顏色態(tài)的不同組合。 按照這個定義，當內部自由度為1的時候，我們說這個粒子沒有內部自由度（因為沒有變化的可能）。（當內部自由度為0時，連粒子都沒有了，更談不上其有沒有內部結構。）
其實處于不同內部狀態(tài)的粒子，也可以被認為是不同種類的粒子，這取決于我們的語境。如果一個粒子的內部狀態(tài)很難相互轉換，我們通常把處于不同內部狀態(tài)的粒子稱為不同種類的粒子。如果不同種類的粒子之間很容易相互轉換，我們就把不同的種類認為是粒子不同的內部狀態(tài)。
什么是反粒子？
什么是狄拉克方程？
如果兩個粒子可以相互湮滅而轉化為純能量（如環(huán)境中其它粒子的動能），那么我們就說這兩個粒子互為反粒子。兩個光子相互碰撞可以轉化為純能量，所以光子就是自己的反粒子。兩個電子不論如何碰撞都不能轉化為純能量，所以電子不是自己的反粒子。但電子和正電子碰撞可以轉化為純能量，所以電子和正電子互為反粒子。
我們知道電子帶有自旋，像一個旋轉的陀螺，其內部自由度是2，對應于不同的自旋狀態(tài)。根據(jù)上節(jié)的描述，電子的量子狀態(tài)是由兩個波函數(shù)
我們?yōu)槭裁匆颜措娮臃旁谝黄鹉兀窟@是因為在極高的能量下，電子正電子波函數(shù)的時間演化會有相互影響。我們必須同時考慮四個波函數(shù)的時間演化。這樣我們得到一個漂亮精簡的方程——這就是有名的狄拉克方程：
上面是狄拉克方程的矩陣形式。
紅色：右手費米子(R)；藍色：左手費米子(L)；沒胡子：粒子( )；有胡子：反粒子(-)。
其實歷史上關于狄拉克方程和正電子的故事更加精彩。一開始大家是用薛定諤方程來描寫電子波函數(shù)的時間演化。但薛定諤方程沒有相對論中的洛倫茲不變性。所以用薛定諤方程來描寫電子一定是錯的。狄拉克想把薛定諤方程推廣成一個有洛倫茲不變性的方程，結果發(fā)現(xiàn)新的方程要求波函數(shù)有四個分量，這不僅要把電子的自旋包括進來，還要加一個莫名其妙的帶自旋的反粒子。你可以因為世界上沒有這個莫名其妙的反粒子而放棄你自己所發(fā)現(xiàn)的新方程。但狄拉克方程太美了，這么美的東西不應該是錯的，所以狄拉克把這個莫名其妙的反粒子變成了一個預言，預言了正電子的存在。兩年以后正電子就在實驗中被發(fā)現(xiàn)了。
發(fā)現(xiàn)正電子的故事
關于正電子的發(fā)現(xiàn)，維基百科有比較詳細的描寫：德米特里·斯科別利岑（Dmitri Skobeltsyn）最早于1929年觀測到正電子。在嘗試用威爾遜云室來偵測宇宙射線中伽馬輻射的時候，斯科別利岑探測到一種行動像電子的粒子，但它在磁場中的彎曲方向與電子相反。
同樣地，加州理工學院的一名研究生趙忠堯在1929年也注意到類似的實驗結果，顯示有一種性質像電子的粒子，但其電荷為正，不過由于實驗結果并非決定性的，所以趙忠堯并沒有繼續(xù)追查這個現(xiàn)象。
現(xiàn)在的標準說法是，卡爾·D·安德森于1932年8月2日發(fā)現(xiàn)正電子，亦因此于1936年獲頒諾貝爾物理學獎?！罢娮印保╬ositron）一詞是由安德森所創(chuàng)的。它是第一種被發(fā)現(xiàn)的反物質，因此當時成了反物質存在的證據(jù)。在發(fā)現(xiàn)時，安德森讓宇宙射線通過云室及鉛片。儀器被磁鐵包圍，而這些磁鐵使不同電荷的粒子向不同的方向彎曲。每一粒通過照相底片的正電子，都會有一條離子軌跡，其曲率對應電子的質荷比，但軌跡方向與電子相反，意味著它的電荷也與電子相反。
后來安德森在憶述往事時寫道，假若之前趙忠堯的研究有后續(xù)的話，那么正電子在那個時候就會被發(fā)現(xiàn)了。在安德森公布發(fā)現(xiàn)正電子的時候，巴黎的弗雷德里克·約里奧-居里與伊雷娜·約里奧-居里夫婦已經持有有正電子軌跡的老照片，不過他們當時認為那軌是屬于質子的，因此不予理會。
做實驗真的需要仔細。有人說最重要的實驗數(shù)據(jù)是在廢紙簍中的數(shù)據(jù)。那些自己不理解，覺得做錯的要被扔掉的實驗數(shù)據(jù)，有時可能是重大發(fā)現(xiàn)。
發(fā)現(xiàn)正電子的照片：照片中粒子的軌跡，在鉛板上面彎曲得比較厲害，表示其速度比較低；在鉛板下面彎曲得不厲害，表示其速度比較高。所以粒子運行的方向是從鉛板下面到鉛板上面。這時，再通過粒子是往左拐還是往右拐，就能判斷出粒子帶的電荷是和電子相同還是相反。通過粒子軌跡彎曲的程度可以算出粒子的電荷質量比。
什么是外爾費米子？
粒子物理中的外爾費米子（Weyl fermion）是定義在3維空間中（3 1維時空中）的一種費米子。從數(shù)學公式上看，外爾費米子可以看作是無質量狄拉克費米子的“一半”：一個無質量的四分量狄拉克費米子，相當于兩個兩分量外爾費米子，這兩個兩分量的外爾費米子的自旋分別平行和反平行于其動量方向。也就是說，狄拉克費米子中“R ”、“L-”兩個狀態(tài)對應于一個外爾費米子。另兩個狀態(tài)“L ”、“R-”對應于另一個外爾費米子。
用凝聚態(tài)物理的語言來說，外爾費米子有很強的“自旋軌道耦合”：外爾費米子的哈密頓量不再有動量和自旋的各自獨立的旋轉對稱性，而只有動量和自旋共同的旋轉對稱性。也就是說，在凝聚態(tài)系統(tǒng)中如果要實現(xiàn)類似于外爾費米子的現(xiàn)象，這個材料必須要有很強的自旋軌道耦合。著名的外爾半金屬（Weyl semimetal）就有很強的自旋軌道耦合。
一般我們把自旋和動量平行的外爾費米子叫做右手費米子，而反平行的外爾費米子叫做左手費米子。但是3維空間中的左手和右手費米子的定義并沒有那么明確，因為當我們對左手外爾費米子做一個粒子-空穴變換（particle-hole transformation），它就會變成一個右手的外爾費米子。也就是說，3維空間中外爾費米子的手性定義，只有當我們確定了粒子的電荷（或者其他的量子數(shù)）以后才能確定。假如在一個凝聚態(tài)物理的材料中，處于某個動量的電子的行為類似于左手費米子，那么它相對應的空穴就會是右手費米子。
正是因為3維空間中外爾費米子的左右手定義的不確定性，粒子物理中對于標準模型有兩種等價的描述。在標準模型中，如果我們忽略其他所有玻色場的影響（也忽略希格斯場的凝聚），這時候所有的費米子都變成了無質量費米子。比如，我們可以說標準模型中既有左手費米子，又有右手費米子，我們也可以說標準模型中只有左手費米子（或者只有右手費米子）。在大統(tǒng)一理論中，一般把所有的費米子都看作是左手（或者都看作是右手）費米子。同樣，在外爾半金屬中，我們既可以說低能下看到的電子有一半是左手費米子，另一半是右手費米子（左手和右手處在不同的動量上），也可以等價地說低能下所有的費米子都是左手費米子。只不過這里所謂的“所有的費米子”中，一半是電子，一半是空穴。
但是并不是在所有空間維度中都有這樣的手征定義不確定性。外爾費米子在任何的奇數(shù)維空間（偶數(shù)維時空）中都能定義，但是在偶數(shù)維空間（奇數(shù)維時空）中不能定義。但是不同的奇數(shù)維空間中，外爾費米子的行為也不一樣。比如，在1維空間中的外爾費米子，左手和右手的定義是完全確定的，沒有任何粒子-空穴變換可以把左手變成右手費米子；而在3維空間中的外爾費米子有這樣的手征定義的不確定性。比如，量子霍爾效應的邊界態(tài)是1維的外爾費米子，這個邊界態(tài)的手征性是完全確定的，與電荷或者空穴的描述無關；而前面提到的外爾半金屬里面的費米子的手征性就不太確定了。
同樣，如果我們想給外爾費米子一個質量，那么在不同的空間維度中也需要采用不同的辦法。在3維空間中，有兩種給外爾費米子質量的辦法。辦法一是保持系統(tǒng)整體的U(1)電荷的守恒，但是混合左手和右手費米子。這樣產生的質量就是普通的狄拉克費米子質量，在外爾半金屬中這樣的質量相當于電荷密度波（charge density wave）。這一辦法需要有兩種外爾費米子才行得通。辦法二是破壞整體的U(1)電荷守恒，這樣我們不需引入另一個手征的費米子，只需要單個的左手或者右手外爾費米子就能產生質量。這樣產生的質量在粒子物理中叫“Majorana mass”，在凝聚態(tài)物理中就是簡單的庫伯對（Cooper pair）。一個重要區(qū)別是，在1維空間中，只有辦法一能給外爾費米子質量，辦法二不能給外爾費米子質量。
綜上所述，如果不考慮規(guī)范場，那么標準模型中的費米子在希格斯場不凝聚的時候和外爾半金屬中的物理非常類似。兩個系統(tǒng)都有左手和右手的外爾費米子。稍有不同的是，標準模型中沒有右手的中微子（盡管在大部分大統(tǒng)一理論中都引了右手中微子），所以左右手費米子的數(shù)量并不相同；而外爾半金屬中左右手費米子數(shù)量是完全相同的。
什么是馬約拉納費米子？
簡單地說，Ettore Majorana在1937年預言的馬約拉納費米子，是滿足狄拉克方程再加上一個額外條件的粒子，這個額外的條件就是它是它自己的反粒子。也就說把一個狄拉克費子米粒子的四個內部狀態(tài)“R ”、“L ”、“R-”、“L-”中的“R ”、“R-”看作一個狀態(tài)，把“L ”、“L-”看作一個狀態(tài)。這樣只有兩個內部狀態(tài)“R”、“L”的費米子就是馬約拉納費米子。
為了進一步解釋什么是馬約拉納費米子，我們先用圖像解釋一下什么是反粒子。狄拉克方程跟之前提出的薛定諤方程的重要區(qū)別就是存在著負能量的解。比如說對于一個沒有質量的費米子，如果它動量是
明白了什么是反粒子，我們繼續(xù)說馬約拉納費米子。從費米-狄拉克海的圖像中我們很難理解為什么會有一種粒子是它自己的反粒子。這就好像說海平面以上的雨滴和海平面以下的氣泡是同一種東西。當一場雨落在海面的時候，總會有跟雨滴等量的氣泡沿著鏡像對稱的軌跡向上走，在海平面上跟雨滴湮沒掉，從而保持海平面的位置一直不變。任何觀測雨滴的人都無法判斷它是空氣中下落的雨滴，還是海水中上升的氣泡……這聽起來簡直是天方夜譚，但我們的世界總是比我們最離奇的想象還要離奇。雖然我們迄今仍然不確定馬約拉納的預言是否是正確的（他預言中微子是一種馬約拉納費米子），但在凝聚態(tài)物理中，我們已經可以很確信地說，馬約拉納費米子是存在的，它就存在于一大類材料——超導體中。超導體發(fā)現(xiàn)于1911年，直到1957年才被Bardeen、Cooper和Schrieffer的BCS理論成功解釋。BCS理論的核心概念是庫伯對（Cooper pair），粗略地說就是兩個電子配成對一起在材料中運動。因為兩個電子放在一起看就變成了玻色子，而玻色子喜歡很“團結”地聚集到同一個狀態(tài)上，結果是體系中大量的電子配成對集體行動，使得電流可以完全無阻尼地傳播。大量玻色子聚集到同一個狀態(tài)上的相稱為玻色-愛因斯坦凝聚，所以超導體可以用一句話來描述，就是庫伯對的玻色-愛因斯坦凝聚態(tài)。
那么這一切跟馬約拉納費米子有什么關系呢？在超導體中的電子，當然還是具有守恒的電荷。他們的反粒子還是正電子，所以直觀來看似乎沒有可能存在馬約拉納費米子。使得電子變成了馬約拉那費米子——或者更確切地說是使得電子在低能量下看起來像是馬約拉那費米子——的關鍵原因，就是庫伯對的玻色凝聚。在玻色凝聚態(tài)中的玻色子，因為有大量粒子處于同一個狀態(tài)，如果在體系中某一點忽然拿走其中一個粒子的話，體系的狀態(tài)幾乎是沒有變化的（聯(lián)想一下濫竽充數(shù)的故事）。當然，如果仔細地數(shù)一下整個體系的粒子數(shù)，就會發(fā)現(xiàn)有一個粒子被拿走了，但是在被拿走粒子的地方附近做局部的測量，卻看不出任何區(qū)別。這就有點像電梯里進去一個人，電梯門再開的時候卻消失了，我們知道他其實是去了其他樓層，但在局部看起來好像是人可以憑空消失一樣。超導體就像是這樣一架電梯，但是一定要成對的電子才可以乘坐。
那么如果現(xiàn)在我們在超導體里加上一個單個的電子會發(fā)生什么呢？這個電子可以從費米-狄拉克海中“捕獲”一個負能量的電子，形成一個庫伯對，然后消失在庫伯對的凝聚體中。這樣的過程發(fā)生了之后，唯一剩下來的就是那個負能海中的電子被帶走留下來的空穴。因為看不到已經處于凝聚狀態(tài)的庫伯對，整個過程看起來就好像是一個電子直接“變成”了空穴，也就是它的反粒子。既然電子可以變成空穴，空穴也可以再變回電子，所以超導體中電子和空穴都不再是真正的“粒子”了，因為你不能說有一個電子處于某某單粒子狀態(tài)上（因為它隨時可能變成一個帶正電荷的空穴），把它叫做粒子就沒有意義了。取代了電子和空穴的，是他們的量子疊加態(tài)，稱為玻戈留玻夫(Bogoliubov)準粒子。既然已經沒有確定的電荷，玻戈留玻夫準粒子就有可能是它自己的反粒子了。但并非所有的玻戈留玻夫準粒子都是馬約拉納費米子。在大部分超導體中，自旋向上的電子只和自旋向下的電子配成庫伯對。因此一個自旋向上的電子捕獲一個自旋向下的負能電子之后得到的是一個自旋向上的空穴，由此生成的準粒子雖然沒有確定的電荷，但還是具有確定的自旋。在這樣的超導體中，是自旋向上和向下的準粒子互為反粒子，因此它們都不是馬約拉納費米子。只有當庫伯對可以發(fā)生在相同自旋之間，或者自旋在這個系統(tǒng)中根本就不守恒的時候，馬約拉納費米子才可能存在。最常見的這樣的超導體稱為p波超導體，更多的細節(jié)在這里就不解釋了。順便說一下，在氦3的超流體中，氦原子處于跟p波超導體中的電子一樣的狀態(tài)，但因為氦原子是不帶電荷的，我們叫它超流體而不是超導體。在低能下氦3超流體中也有馬約拉納費米子的激發(fā)。
什么是馬約拉納零能模？
講完什么是馬約拉納費米子，我們說說它有什么有趣的性質?；氐胶Ｆ矫娴挠甑魏蜌馀莸谋扔?，對于狄拉克費米子來說，海平面以上和以下的自由度是獨立的；而對馬約拉納費米子來說，它們是上下嚴格地鏡像對稱。因此比起狄拉克費米子，馬約拉納費米子只有一半的自由度。可以說，一個馬約拉納費米子等于半個狄拉克費米子。當我們用量子場論描述這兩種費米子的時候，他們的關系很像實數(shù)和復數(shù)。狄拉克費米子就像一個復數(shù)，而馬約拉納費米子像一個實數(shù)。在任何電子組成的系統(tǒng)中，盡管我們可以通過超導庫伯對來實現(xiàn)馬約拉納費米子，總的自由度的數(shù)目卻不會變。所以N個電子的體系，馬約拉納費米子的數(shù)目一定是偶數(shù)2N。
既然這樣，那么說一個馬約拉納費米子具有半個自由度不就沒有任何意義了嗎？反正他們總是成對出現(xiàn)。事實并非如此。前面說的玻色凝聚體中，局部看起來玻色子（庫伯對）好像可以憑空產生或者消失，只有看整個系統(tǒng)才會發(fā)現(xiàn)總的玻色子數(shù)是守恒的。跟這個邏輯非常類似，馬約拉納費米子的數(shù)目在整個系統(tǒng)中一定是偶數(shù)，但局部卻可以出現(xiàn)奇數(shù)。為了實現(xiàn)這個單個的馬約拉納費米子，我們需要把它的波函數(shù)限制在一個局域的地方。一個最簡單的實現(xiàn)是下圖里的模型（稱為Kitaev chain，或者Kitaev Majorana chain，由Alexei Kitaev在2001年提出）?？紤]一個簡單的體系，每個原子周圍只有一個電子態(tài)能級，所有原子排成一列。每個電子能級可以被看成是兩個馬約拉納零能模。粗略地講，這兩個馬約拉納零能模是能級的占據(jù)態(tài)（
說一個東西只有半個自由度似乎很難理解，但如果我們回到整個系統(tǒng)，把左邊和右邊端點的孤立的馬約拉納費零模合起來看就比較容易理解了。左右兩個馬約拉納非零模合起來等價于一個能級，具有一個自由度。也就是說，左右合起來一共有兩個狀態(tài)
馬約拉納零能模不僅可以在一維原子鏈中實現(xiàn)，也可以存在于二維超導體的渦旋中。如果一個超導體中有很多渦旋（渦旋的數(shù)目是可以通過磁場來簡單調節(jié)的），每個渦旋的中心有一個孤立的馬約拉納費米子，則每兩個渦旋有兩個能量為0的內部狀態(tài)。值得注意的是，在量子體系中狀態(tài)數(shù)目是相乘而不是相加的，所以2N個渦旋就有
一個帶有馬約拉納零能模的粒子，既不是玻色子也不是費米子，而是一種全新的粒子，叫做非阿貝爾統(tǒng)計粒子。這些名字實在是繞口，但我們現(xiàn)在遇到的都是一些全新的概念，這些概念還沒有一個好的簡單的名字。非阿貝爾統(tǒng)計粒子只存在于固體材料中，而不存在于我們的空間中。所以說固體材料比我們宇宙中的空間還要豐富得多。
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