數學思想方法是在數學知識的學習過程中,形成具有獨特的解決問題的策略和方法.數學知識的學習是數學思想方法形成的基礎,而數學思想對數學知識的學習、理解以及解決問題具有指導意義.
本講主要學習幾個重要的數學思想:“正”、“逆”互化、歸納類比、整體代入、分類討論、配方構造、待定系數的數學思想方法.
【點撥】正向應用多項式乘法公式,觀察每個乘積的結果,得出規(guī)律
【解答】
【反思與小結】對于結論探究問題,一般利用“特殊——一般——特殊”的規(guī)律,觀察最初的結論,從而找到規(guī)律,再進行證明。本例觀察最初的兩個等式或三個等式,猜想規(guī)律,再進行證明。
【點撥】對于(1)能否利用例1的結論進行計算與化簡?對于(2)、(3)如何將其轉化成例1的形式從而應用例1的公式進行解答.
【解答】
【點撥】“分析法”要求的式子值,要對所求的式子進行通分變形,也要對已知的式子進行變形,變形成次數相同的式子,帶入解決。
【解答】
【反思與小結】分析法主要是從結論出發(fā),逆向推理,通過分析要得到結論,需要怎樣的條件,從而逐步接近已知條件的分析過程。本例要得到,就要得到,觀察已知條件,怎樣得到?需要將與的兩邊分別次方和次方,從而得出解答。
【點撥】思考一:能否從一個因數開始逐步應用“不完全歸納”進行解答?
思考二:觀察每個因式的特點,能否“正”或“逆”用平方差公式?應用公式后根據每個因數的特點進行解答?
【解答】
【反思與小結】應用不完全歸納法需要大膽猜想,小心驗證與證明。本例既可以根據各因數的特點利用乘法交換律和結合律進行組合解決,又可以利用不完全歸納法進行歸納探究。
【點撥】能否通過“正”或“逆”用公式化簡所求的代數式,然后再證明呢?這也是求代數式的值的常用辦法。
【證明】
【證明】
【點撥】“分析法”思考一:要求代數式的值,觀察已知條件,能否用含x的一次代數式分別表示出所求式子中的每一項,再進行化簡求解呢?這種“各個擊破”的方法是解決此問題的關鍵。
思考二:要求代數式的值,能否將已知的條件作為一個整體代入求解?這種整體代入的方法也是一種常用方法。
【解答】
【反思與小結】對于含“零值多項式”的問題一般將要求代數式當成被除式,“零值多項式”作為除式,將要求代數式寫成“被除式=除式×商式+余式”的形式,一般的余式為已知常數。從而得出解答。也可以根據“零值多項式”的特點,用含多項式中字母的一次式表示高次式,采取逐步“降次代入”,從而得出解答。本例采用兩種方法均可。
【點撥】本題的解決策略與例4一樣,可以考慮“各個擊破”法。
【解答】
【點撥】思考一:根據題意列出算式,能否根據對應項的系數相等解決問題?
思考二:能否用“方程、等式”的觀點分析解決?觀察得到的方程解有何特點?能否代入幾個特殊解進行解答?
【解答】
【反思與小結】解決多項式的整除、含因式問題一般有兩種解決策略。第一種:利用待定系數法寫成等式形式,利用對應系數相等,解決問題;第二種:寫成等式形式,對于含未知數的等式看成方程,而這個方程有無數個解(每個數都是它的解),可以利用幾個特殊的數進行解答。
【點撥】根據已知條件將其轉化成等式形式解答.
【解答】
【反思與小結】本例既可以利用待定系數法又可以應用等式方程法解答。
49,4489,444889,44448889,4444488889,………,
這列數中的每個數是否是完全平方數?如果是,請說明它們是完全平方數的理由.
【點撥】觀察49=7*2,能否得到4489=( )2?作出猜想,思考如何表示這列數?如何證明它們是完全平方數?
【解答】
【反思與小結】對于猜想驗證或證明完全平方式的問題,一般采用字母表示要驗證的式子,從而利用多項式的完全平方式解決問題。解答此類問題,主要注意的應用。
【例8】若m為正整數,求證:m*3+11m必定能被6整除;
【點撥】“分析法”要證明能被6整除,只要證明能被2整除和能被3整除即可.
對于能被2整除,只要說明是偶數即可;對于能被3整除,則需要分類說明能被3整除,則問題解決.
【解答】
【反思與小結】對于含m多項式能被具體數字n整除的問題的解決策略是分類討論,將m分成n類,分類討論,分別進行證明,從而問題得證。
①試說明:a、b、c中至少有一個能被3整除;
②試說明:a、b、c中至少有一個能被5整除;
【點撥】要證明:a、b、c中至少一個能被3整除,不容易證明,能否假設a、b、c都不能被3整除,推出矛盾,從而說明a、b、c中至少一個能被3整除?進一步思考:正整數a、b、c被3除的余數如何表示?有幾種情況?能否對每種情況分析討論?
同樣方法證明:a、b、c中至少有一個能被5整除;
【解答】
【課后練習】①若a為奇數,說明:a*2被8除的余數是1;
②利用①證明:若正整數a、b、c滿足a*2+b*2=c*2,且a、b、c的最大公約數為1,
試說明:a、b、c中至少有一個能被4整除;
本講主要學習了公式的“正”、“逆”的應用以及歸納類比、整體代入、分類討論、配方構造、待定系數的數學思想方法。關于多項式的理論中含有的數學思想方法比較廣泛,在進行恒等式變形時,要注意應用數學思想方法解決問題,從而提高解決問題的能力。
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