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一、引進(jìn)的背景

為什么要在基礎(chǔ)教育階段引進(jìn)圖形變換的內(nèi)容，怎樣認(rèn)識(shí)這一引進(jìn)的必要性和可能性？不妨從數(shù)學(xué)本身和數(shù)學(xué)教育的歷史視角切入討論。

我們知道，約公元前300年，古希臘著名數(shù)學(xué)家歐幾里得在前人基礎(chǔ)上所寫(xiě)成的不朽名著《幾何原本》，幾乎包括了中小學(xué)所學(xué)習(xí)的平面幾何、立體幾何的全部?jī)?nèi)容。如此古老的幾何內(nèi)容，自然成了歷次數(shù)學(xué)課程改革關(guān)注的焦點(diǎn)。其中最為激進(jìn)的，如法國(guó)布爾巴基學(xué)派主要人物狄?jiàn)W東尼（J.A.Dieadonne），甚至喊出了“歐幾里得滾出去”的口號(hào)。但改來(lái)改去，歐幾里得幾何的一些內(nèi)容，仍然構(gòu)成了多數(shù)國(guó)家中小學(xué)數(shù)學(xué)幾何部分的主要內(nèi)容。有人稱之為“不倒翁現(xiàn)象”。這是因?yàn)?，歐氏幾何從數(shù)學(xué)的視角，提供了現(xiàn)實(shí)世界的一個(gè)基本模型，非常直觀地反映了我們?nèi)祟惖纳婵臻g，刻畫(huà)了我們視覺(jué)所觀察到的物體形狀及其相互位置關(guān)系。所以，這個(gè)模型的基本內(nèi)容是學(xué)生能夠理解和掌握的，而且應(yīng)用廣泛的基礎(chǔ)知識(shí)。它比較適合中小學(xué)生學(xué)習(xí)，也有利于引導(dǎo)中小學(xué)生從形的角度去認(rèn)識(shí)我們周圍的物體和生活空間。

那么，怎樣改造這些傳統(tǒng)的、古老的幾何內(nèi)容呢？

一條途徑是教學(xué)法方面的改進(jìn)。首先是內(nèi)容的精簡(jiǎn)與演繹體系的通俗化。如精選一些具有實(shí)用價(jià)值和對(duì)繼續(xù)學(xué)習(xí)發(fā)揮基礎(chǔ)作用的內(nèi)容，打破封閉的公理體系，擴(kuò)大公理系統(tǒng)，降低證明難度等等。其次是突出幾何事實(shí)與幾何應(yīng)用，重視幾何直觀，以及合情推理對(duì)于演繹推理的互補(bǔ)作用等非形式化策略。

另一條途徑是用近現(xiàn)代數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)，高屋建瓴地處理傳統(tǒng)的內(nèi)容。其中幾何圖形的運(yùn)動(dòng)變換觀點(diǎn)就是這樣的重要觀點(diǎn)之一。

從數(shù)學(xué)發(fā)展的角度來(lái)看，1872年，德國(guó)大數(shù)學(xué)家克萊茵（kIein，1849?1925）在愛(ài)爾蘭根大學(xué)宣讀了現(xiàn)在大家叫做“愛(ài)爾蘭根綱領(lǐng)”的演說(shuō)，提出用變換群將幾何分類，認(rèn)為一種幾何無(wú)非是研究某種變換群下的不變量。這是一個(gè)里程碑式的論斷，它改變了近兩千年來(lái)人們用靜止的觀點(diǎn)研究幾何的傳統(tǒng)方法，從變換的視角整體考慮幾何學(xué)的問(wèn)題，使當(dāng)時(shí)的各種幾何學(xué)有了統(tǒng)一的形式，對(duì)幾何學(xué)的發(fā)展起到了重大的推動(dòng)作用。“愛(ài)爾蘭根綱領(lǐng)”公開(kāi)發(fā)表后，很快被人們接受，一些新的幾何分支相繼建立，幾何學(xué)的理論及應(yīng)用呈現(xiàn)出前所未有的局面。必然地，這一觀點(diǎn)也會(huì)對(duì)基礎(chǔ)教育數(shù)學(xué)課程中幾何教學(xué)的改革產(chǎn)生影響。

按照這種觀點(diǎn)，我們所研究的幾何圖形的種種性質(zhì)，只不過(guò)是研究幾何圖形在各種幾何變換下的不變性和不變量。例如，線段的長(zhǎng)度不變、角的大小不變和直線的性質(zhì)不變，等等，都是在全等變換下的不變量和不變性。但線段的長(zhǎng)度不變，在相似變換下就不再存在(相似比為1除外)。于是兩線段的比不變，又成了相似變換下的不變量。正是這些建筑在不變量和不變性基礎(chǔ)上的圖形性質(zhì)，構(gòu)成了我們所研究的幾何基本內(nèi)容。

從國(guó)際上數(shù)學(xué)課程改革的歷程來(lái)看，第二次世界大戰(zhàn)以后，特別是在上世紀(jì)60年代的“新數(shù)學(xué)”改革的浪潮中，將運(yùn)動(dòng)觀點(diǎn)引入幾何，成了一種時(shí)尚。確實(shí)，圖形的變換是研究幾何問(wèn)題的有效工具，引進(jìn)變換能使圖形動(dòng)起來(lái)，有助于發(fā)現(xiàn)圖形的幾何性質(zhì)。相關(guān)的許多實(shí)驗(yàn)，有的因觀點(diǎn)太高而失敗，但也有許多成功的嘗試。特別是平移、旋轉(zhuǎn)以及軸對(duì)稱、中心對(duì)稱等觀念已被不少國(guó)家的中小學(xué)教材所吸收，并放在比較重要的位置。

由此可以說(shuō)，將圖形變換的觀點(diǎn)和內(nèi)容適當(dāng)?shù)匾胛覈?guó)基礎(chǔ)教育的數(shù)學(xué)課程中，順應(yīng)了數(shù)學(xué)科學(xué)和數(shù)學(xué)教育的發(fā)展趨向。

從兒童的生活世界來(lái)看，他們已經(jīng)接觸到了大量的物體、圖形的平移、旋轉(zhuǎn)或軸對(duì)稱變換現(xiàn)象。例如，電梯、地鐵列車在平行移動(dòng)，時(shí)針、電風(fēng)扇葉片在旋轉(zhuǎn)，許多動(dòng)物、建筑物的形狀具有對(duì)稱性。這些現(xiàn)象為兒童學(xué)習(xí)圖形的變換提供了豐富多彩的現(xiàn)實(shí)背景。反過(guò)來(lái)，學(xué)習(xí)一點(diǎn)圖形的變換知識(shí)，也有助于兒童更好地觀察、認(rèn)識(shí)周圍生活中的這些現(xiàn)象。

從兒童的年齡特征與認(rèn)知特點(diǎn)來(lái)看，小學(xué)生正處在好奇心濃厚的階段，通過(guò)圖形的變換，可以引出無(wú)數(shù)美妙的圖案，可以使數(shù)學(xué)更生動(dòng)地與現(xiàn)實(shí)世界聯(lián)系起來(lái)。從而誘發(fā)學(xué)生主動(dòng)探索其中的奧秘，激勵(lì)他們用圖形變換的觀點(diǎn)去審視周圍的事物。

這些，都是在小學(xué)引進(jìn)圖形變換的有利條件?？梢哉f(shuō)，通過(guò)感知和初步學(xué)習(xí)圖形的變換，不僅有助于學(xué)生從運(yùn)動(dòng)變化的角度去認(rèn)識(shí)事物，去了解圖形之間的聯(lián)系，從中發(fā)展他們的空間觀念和幾何直覺(jué)，而且還有利于學(xué)生感受、欣賞圖形的美，感受數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界的聯(lián)系，有利于他們體驗(yàn)學(xué)習(xí)“空間與圖形”的樂(lè)趣，增強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)的好奇心，激發(fā)創(chuàng)造潛能。

二、概念的理解

以往的中小學(xué)數(shù)學(xué)課程，在平面幾何與立體幾何中，一般只討論圖形的對(duì)稱性，圖形的平移變換與旋轉(zhuǎn)變換，是在解析幾何的坐標(biāo)變換中討論的。而在過(guò)去的一段時(shí)期內(nèi)，坐標(biāo)變換又被作為較高要求略去不講。中學(xué)師范學(xué)校的數(shù)學(xué)課程大多也這樣處理。教師在職進(jìn)修大專學(xué)歷的數(shù)學(xué)課程通常直接從空間解析幾何或數(shù)學(xué)分析切入。所以有關(guān)平面圖行平移與旋轉(zhuǎn)的知識(shí)成了多數(shù)小學(xué)教師數(shù)學(xué)知識(shí)的盲點(diǎn)。因此，盡管整個(gè)義務(wù)教育階段都不要求從比較嚴(yán)格的幾何變換定義出發(fā)來(lái)研究變換的性質(zhì)，但為了搞好這部分內(nèi)容的教學(xué)，教師有必要較透徹地理解圖形變換的有關(guān)概念。

通俗地講，所謂平移，就是將一個(gè)圖形按一定的方向移動(dòng)一定的距離；所謂旋轉(zhuǎn)，就是將一個(gè)圖形繞一個(gè)頂點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)一定的角度。這樣描述，比較適合中小學(xué)生的認(rèn)知水平，但對(duì)教師來(lái)說(shuō)，絕對(duì)是不夠的。請(qǐng)看一個(gè)案例。

在一堂教學(xué)平移與旋轉(zhuǎn)的公開(kāi)課中，老師創(chuàng)設(shè)了一個(gè)玩游樂(lè)場(chǎng)的情境。當(dāng)討論到摩天輪的運(yùn)動(dòng)時(shí)，起初同學(xué)們都認(rèn)為是旋轉(zhuǎn)。不料一位同學(xué)執(zhí)著地要求發(fā)言，他說(shuō)：老師，我坐過(guò)摩天輪，我坐在上面，始終是頭朝上、腳朝下，所以我認(rèn)為我坐在上面是平移，不是旋轉(zhuǎn)。大家一時(shí)都愣住了，教師的應(yīng)變對(duì)策是讓學(xué)生小組討論。這下熱鬧了，有的同意，認(rèn)為人的方向沒(méi)變；有的反對(duì)，理由是人在轉(zhuǎn)圈。直到下課，都沒(méi)有搞清楚是平移，是旋轉(zhuǎn)，還是兩者都不是。課后，前來(lái)觀摩的教師也都議論紛紛，多數(shù)認(rèn)為坐在摩天輪上的人與座倉(cāng)的運(yùn)動(dòng)不是平移，也有少數(shù)認(rèn)為是平移的。那么是否旋轉(zhuǎn)呢？同樣有兩種意見(jiàn)，莫衷一是。由此可見(jiàn)教師自身搞清楚概念是十分必要的。

這里，把最主要的概念與性質(zhì)盡可能以淺顯的方式描述如下。

1.什么是變換？

變換是近代數(shù)學(xué)中的重要基本概念之一。一般地說(shuō)，所謂變換是指某個(gè)集合中符合一定要求的一種對(duì)應(yīng)規(guī)律。就圖形的變換來(lái)講，因?yàn)閹缀螆D形都是點(diǎn)的集合，所以圖形變換可以通過(guò)點(diǎn)的變換來(lái)實(shí)現(xiàn)。

如果一個(gè)平面圖形的每一個(gè)點(diǎn)，都對(duì)應(yīng)于該平面內(nèi)某個(gè)新圖形的一個(gè)點(diǎn)，并且新圖形中的每一個(gè)點(diǎn)只對(duì)應(yīng)于原圖形中的一個(gè)點(diǎn)，這樣的對(duì)應(yīng)就叫做變換。

幾何變換中最重要的是全等變換與相似變換。

能夠保持圖形的形狀和大小不變的變換就是全等變換。在全等變換中，原圖形任何兩點(diǎn)之間的距離，都等于新圖形中兩對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間的距離，所以又稱為保距變換。

能夠保持圖形的形狀不變，而只改變圖形大小的變換就是相似變換。在相似變換中，原圖形中所有角的大小都保持不變，所以又稱為保角變換。

在小學(xué)數(shù)學(xué)中主要引進(jìn)了平移變換、旋轉(zhuǎn)變換和軸對(duì)稱變換，這三種變換都是全等變換。相似變換只是在第二學(xué)段中有所滲透，如學(xué)習(xí)比例尺時(shí)兩個(gè)圖形按比例放大或縮小，實(shí)際上就是一種相似變換。

2.什么是平移變換、旋轉(zhuǎn)變換和軸對(duì)稱變換？

先說(shuō)平移與旋轉(zhuǎn)。

如果原圖形中任意一個(gè)點(diǎn)到新圖形中相對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線，方向相同，長(zhǎng)度相等，這樣的全等變換稱為平移變換，簡(jiǎn)稱平移。也就是說(shuō)，平移的基本特征是，圖形移動(dòng)前后“每一點(diǎn)與它對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間的連線互相平行（或者重合），并且相等”。顯然，確定平移變換需要兩個(gè)要素：一是方向，二是距離。

如果新圖形中的每個(gè)點(diǎn)都是由原圖形中的一個(gè)點(diǎn)繞著一個(gè)固定點(diǎn)（叫做旋轉(zhuǎn)中心）轉(zhuǎn)動(dòng)相等角度得到的，這樣的全等變換稱為旋轉(zhuǎn)變換，簡(jiǎn)稱旋轉(zhuǎn)。也就是說(shuō)，旋轉(zhuǎn)的基本特征是，圖形旋轉(zhuǎn)前后“對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，并且各組對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中連線的夾角都等于旋轉(zhuǎn)的角度”。顯然，確定旋轉(zhuǎn)變換需要三個(gè)要素：旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向與旋轉(zhuǎn)角度。

現(xiàn)在我們可以回答摩天輪座倉(cāng)里的人是否在平移或旋轉(zhuǎn)的問(wèn)題了。

摩天輪在旋轉(zhuǎn)，但上面的座倉(cāng)及里面的人始終頭朝上，腳朝下，是不是在平移呢？我們可以依據(jù)平移的基本特征，畫(huà)出運(yùn)動(dòng)過(guò)程中任意兩個(gè)位置上座倉(cāng)上下部中點(diǎn)的連線（如圖1），它們平行并且相等，所以是平移。

           圖1                                      圖2

那么座倉(cāng)及里面的人是否在旋轉(zhuǎn)呢？依據(jù)旋轉(zhuǎn)的基本特征，畫(huà)出座倉(cāng)下部中點(diǎn)與摩天輪旋轉(zhuǎn)中心的連線（如圖2），它們的長(zhǎng)明顯不相等。

明明摩天輪在旋轉(zhuǎn)，而座倉(cāng)與里面的人卻不是在旋轉(zhuǎn)，是在平移，這是怎么回事呢？原來(lái)，摩天輪在帶動(dòng)座倉(cāng)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的同時(shí)，地球的引力使得掛在吊鉤上的座倉(cāng)也在逆時(shí)針細(xì)微地轉(zhuǎn)動(dòng)，從而使座倉(cāng)與里面的人始終保持向上的方向，并且座倉(cāng)與人上的每個(gè)點(diǎn)都移動(dòng)相同的距離。

再說(shuō)對(duì)稱。對(duì)稱是一個(gè)許多學(xué)科都在使用的名詞，在數(shù)學(xué)中它占有相當(dāng)重要的地位。與對(duì)稱有關(guān)的概念如對(duì)稱多項(xiàng)式、對(duì)稱空間、對(duì)稱原理等等，都是數(shù)學(xué)中比較重要的概念。小學(xué)數(shù)學(xué)所討論的，僅限于圖形的對(duì)稱，而且僅指平面圖形關(guān)于一條直線的對(duì)稱。至于圖形的其他形形色色的對(duì)稱，如旋轉(zhuǎn)對(duì)稱及其特例中心對(duì)稱等等，都不在我們討論的范圍之類。但是當(dāng)學(xué)生提到這類現(xiàn)象時(shí)，如平行四邊形、電扇葉片等，教師不應(yīng)斷然否定它們的對(duì)稱性，只要指出它們不是軸對(duì)稱圖形就行了。

如果連接新圖形與原圖形中每一組對(duì)應(yīng)點(diǎn)的線段都和同一條直線垂直且被該直線平分，這樣的全等變換稱為軸對(duì)稱變換，每組對(duì)應(yīng)點(diǎn)互為對(duì)稱點(diǎn)，垂直平分對(duì)稱點(diǎn)所連線段的直線叫做對(duì)稱軸。也就是說(shuō)，軸對(duì)稱的基本特征是，“連接任意一組對(duì)應(yīng)點(diǎn)的線段都被對(duì)稱軸垂直平分”。顯然，確定軸對(duì)稱變換的關(guān)鍵在于找到對(duì)稱軸。

構(gòu)成軸對(duì)稱的圖形可以是一個(gè)，通常就叫做軸對(duì)稱圖形；也可以是兩個(gè)，通常叫做這兩個(gè)圖形關(guān)于某條直線對(duì)稱。

成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形，任何一個(gè)都可以看作是由另一個(gè)圖形經(jīng)過(guò)軸對(duì)稱變換后得到的。一個(gè)軸對(duì)稱圖形，也可以看作以它的一半為基礎(chǔ)，經(jīng)過(guò)軸對(duì)稱變換而成的。

我們也可以用更通俗的語(yǔ)言，對(duì)軸對(duì)稱圖形做出直觀的描述：將一個(gè)圖形對(duì)折，如果折痕兩邊的圖形完全重合，這個(gè)圖形就叫做軸對(duì)稱圖形，折痕叫做對(duì)稱軸。當(dāng)然這種描述偏重于圖形性質(zhì)的刻畫(huà)，運(yùn)動(dòng)變換觀點(diǎn)的滲透就不那么突出了。

在數(shù)學(xué)中，為了刻畫(huà)平移的方向與距離，通常采用有向線段或向量，并放在特定的坐標(biāo)系內(nèi)討論。為了刻畫(huà)旋轉(zhuǎn)的要素，最簡(jiǎn)捷的方式就是采用極坐標(biāo)。因?yàn)閳D形的變換作為點(diǎn)與點(diǎn)之間的一種對(duì)應(yīng)，要精確刻畫(huà)它是離不開(kāi)坐標(biāo)系的。就是把圖形的變換看作一種運(yùn)動(dòng)，同樣需要參照系。事實(shí)上，過(guò)去一直把平移與旋轉(zhuǎn)放在解析幾何里討論，主要就是這個(gè)原因。在小學(xué)數(shù)學(xué)中，討論平移和旋轉(zhuǎn)時(shí)經(jīng)常利用方格紙，也是這個(gè)道理。

3.平移變換、旋轉(zhuǎn)變換與軸對(duì)稱變換有什么聯(lián)系？

前面，我們?cè)诿枋鋈N全等變換時(shí)，特別強(qiáng)調(diào)它們各自的基本特征，以便于正確識(shí)別和區(qū)分。那么，這三種全等變換又有什么聯(lián)系呢？

首先這三種變換都能保持圖形的形狀、大小不發(fā)生變化，這是它們最主要的共同點(diǎn)。其次，如果連續(xù)進(jìn)行兩次軸對(duì)稱變換，在一般情況下：

（1）當(dāng)兩條對(duì)稱軸平行時(shí)，那么這兩次軸對(duì)稱變換的最后結(jié)果相當(dāng)于一次平移變換，平移的方向與對(duì)稱軸垂直，平移的距離為兩條對(duì)稱軸之間距離的2倍。簡(jiǎn)略地說(shuō)，兩次翻折（對(duì)稱軸互相平行）相當(dāng)于一次平移。

（2）當(dāng)兩條對(duì)稱軸相交時(shí)，那么這兩次軸對(duì)稱變換的最后結(jié)果相當(dāng)于一次旋轉(zhuǎn)變換，旋轉(zhuǎn)中心為對(duì)稱軸交點(diǎn)，旋轉(zhuǎn)角度為兩條對(duì)稱軸夾角的2倍。簡(jiǎn)略地說(shuō)，兩次翻折（對(duì)稱軸相交）相當(dāng)于一次旋轉(zhuǎn)。

上面兩條結(jié)論是針對(duì)圖形的一般情況來(lái)說(shuō)的。有些特殊的圖形，也可能只經(jīng)過(guò)一次軸對(duì)稱變換，就能達(dá)到平移或旋轉(zhuǎn)的效果。例如圖3中“帶煙囪的房子”

    圖3                                               圖4

經(jīng)過(guò)兩次軸對(duì)稱變換（對(duì)稱軸平行，且相距4格），相當(dāng)于一次向右平移8格。圖4中“沒(méi)有煙囪的房子”只要經(jīng)過(guò)一次軸對(duì)稱變換就相當(dāng)于平移了。

此外，上面兩條結(jié)論反過(guò)來(lái)同樣成立。即一次平移變換可以由兩次軸對(duì)稱變換（對(duì)稱軸互相平行）代替；一次旋轉(zhuǎn)變換，也可以由兩次軸對(duì)稱變換（對(duì)稱軸相交）替換。它們的運(yùn)動(dòng)方式不同，但效果相同。

在小學(xué)數(shù)學(xué)教材中，有些圖案可以用不同的變換來(lái)生成。例如圖5的四葉圖案，其中的每一片葉，既可以由相鄰的那片葉經(jīng)過(guò)軸對(duì)稱變換得到，也可以由相鄰的葉片旋轉(zhuǎn)90°得到，或者由同一直線上的那片葉經(jīng)過(guò)平移得到。

三、目標(biāo)的把握

考慮到認(rèn)識(shí)不能一次完成，往往需要多次反復(fù)，逐步加深理解，所以在《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）》中，與其他內(nèi)容一樣，圖形與變換的具體目標(biāo)也是分兩個(gè)學(xué)段陳述的。

第一學(xué)段：

（1）結(jié)合實(shí)例，感知平移、旋轉(zhuǎn)、對(duì)稱現(xiàn)象。

（2）能在方格紙上畫(huà)出一個(gè)簡(jiǎn)單圖形沿水平方向、豎直方向平移后的圖形。

（3）通過(guò)觀察、操作，認(rèn)識(shí)軸對(duì)稱圖形，并能在方格紙上畫(huà)出簡(jiǎn)單圖形的軸對(duì)稱圖形。

第二學(xué)段：

（1）用折紙等方法確定軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸，能在方格紙上畫(huà)出一個(gè)圖形的軸對(duì)稱圖形。

（2）能利用方格紙等形式按一定比例將簡(jiǎn)單圖形放大或縮小，體會(huì)圖形的相似。

（3）通過(guò)觀察實(shí)例，認(rèn)識(shí)圖形的平移與旋轉(zhuǎn)，能在方格紙上將簡(jiǎn)單圖形平移或旋轉(zhuǎn)90°。

（4）欣賞生活中的圖案，靈活運(yùn)用平移、對(duì)稱和旋轉(zhuǎn)在方格紙上設(shè)計(jì)圖案。

顯然，無(wú)論是第一學(xué)段，還是第二學(xué)段，都不要求對(duì)三種變換做出一般化的描述，更不要求給出定義。

從整體上看，整個(gè)小學(xué)階段都只是初步認(rèn)識(shí)圖形的變換，上面摘錄的這些具體目標(biāo)可概括為：積累感性認(rèn)識(shí)，形成初步表象，其外顯的表現(xiàn)就是“能識(shí)別”，“會(huì)畫(huà)圖”。離定性地認(rèn)識(shí)、定量地研究還有一定距離。

因此，學(xué)習(xí)的主要方式是結(jié)合實(shí)例，通過(guò)觀察與動(dòng)手操作，如折紙、畫(huà)圖等活動(dòng)來(lái)進(jìn)行。而且還規(guī)定了畫(huà)圖的行為條件“在方格紙上”。如前所述，這是數(shù)學(xué)的需要（提供參照系），自然也是降低學(xué)習(xí)難度的需要。

仔細(xì)分析不難看出，兩個(gè)階段的學(xué)習(xí)目標(biāo)，呈現(xiàn)螺旋上升式的遞進(jìn)。第一學(xué)段從感知實(shí)際生活中的圖形變換現(xiàn)象開(kāi)始，學(xué)習(xí)特殊方向的平移，以及直觀地認(rèn)識(shí)軸對(duì)稱圖形。第二學(xué)段對(duì)平移、旋轉(zhuǎn)、軸對(duì)稱要求略有提高。主要是增加了90°的旋轉(zhuǎn)，確定軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸，并能運(yùn)用所學(xué)知識(shí)設(shè)計(jì)圖案。同時(shí)還要求初步體會(huì)圖形的相似。

兩個(gè)階段學(xué)習(xí)目標(biāo)的遞進(jìn)又是細(xì)微的。有些光靠課程目標(biāo)簡(jiǎn)練語(yǔ)言的描述還顯不夠。以畫(huà)軸對(duì)稱圖形為例，第一學(xué)段“畫(huà)出簡(jiǎn)單圖形的軸對(duì)稱圖形”與第二學(xué)段“畫(huà)出一個(gè)圖形的軸對(duì)稱圖形”，有什么區(qū)別呢？考慮到小學(xué)以認(rèn)識(shí)軸對(duì)稱圖形為主，關(guān)于直線對(duì)稱的兩個(gè)圖形可以出現(xiàn)，但一般不要求學(xué)生畫(huà)。所以，我們可以理解為，前者要求畫(huà)出的圖形比較簡(jiǎn)單；后者可以是一個(gè)有所組合的圖形。

更進(jìn)一步的目標(biāo)，就是靈活運(yùn)用平移、對(duì)稱和旋轉(zhuǎn)在方格紙上設(shè)計(jì)圖案。實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo)需要學(xué)生綜合運(yùn)用有關(guān)的知識(shí)，還需要學(xué)生具有一定的創(chuàng)造力和想象力。但由于設(shè)計(jì)圖案的過(guò)程是開(kāi)放的，不同的學(xué)生可以有不同的設(shè)計(jì)，不同的表現(xiàn)。因此這又是一個(gè)具有彈性的目標(biāo)，能夠體現(xiàn)學(xué)生學(xué)習(xí)與個(gè)性差異的目標(biāo)。

四、教材的梳理

1．對(duì)稱現(xiàn)象的感知。

過(guò)去的小學(xué)數(shù)學(xué)教材，盡管也有軸對(duì)稱圖形的認(rèn)識(shí)，但一般安排在高年級(jí)出現(xiàn)，并局限于軸對(duì)稱圖形的認(rèn)識(shí)。現(xiàn)在則加強(qiáng)了觀察生活中的對(duì)稱現(xiàn)象以及畫(huà)軸對(duì)稱圖形的內(nèi)容。有的教材還增加了初步感知鏡面對(duì)稱的內(nèi)容，使對(duì)稱現(xiàn)象的認(rèn)識(shí)，從一開(kāi)始就顯得更加豐富、充實(shí)。

在第一學(xué)段，為使學(xué)生初步認(rèn)識(shí)對(duì)稱現(xiàn)象和軸對(duì)稱圖形，從而能以新的視角去觀察物體，研究圖形，體驗(yàn)它們的對(duì)稱美。教材一般都會(huì)給出各種生活中常見(jiàn)的對(duì)稱物體，讓學(xué)生觀察，引導(dǎo)學(xué)生從對(duì)稱的視角去重新認(rèn)識(shí)平時(shí)經(jīng)?？吹降奈矬w。然后再通過(guò)折紙、剪紙等活動(dòng)，引出軸對(duì)稱圖形。這里，有的教材由折痕引出“對(duì)稱軸”的概念，但不出軸對(duì)稱圖形的概念，（如人教版二年級(jí)上冊(cè)中的有關(guān)內(nèi)容），也有的教材兩個(gè)名詞都出現(xiàn)（如北師大版三年級(jí)下冊(cè)的有關(guān)內(nèi)容）。

各套教材的共同點(diǎn)就是提供了現(xiàn)實(shí)生活中比較常見(jiàn)的一些物體、一些圖形、一些交通標(biāo)志，以及英語(yǔ)字母，或者一些國(guó)家的國(guó)旗，讓學(xué)生觀察、判斷。提供這些素材的意圖，一是激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，體驗(yàn)軸對(duì)稱圖形的多樣性及其應(yīng)用的廣泛性，只要注意觀察，經(jīng)常能看到；二是通過(guò)一些交通標(biāo)志或一些國(guó)家的國(guó)旗，豐富學(xué)生的社會(huì)知識(shí)；三是體會(huì)對(duì)稱美，體會(huì)生活中為什么會(huì)有大量的對(duì)稱物體、對(duì)稱圖案，培養(yǎng)對(duì)數(shù)學(xué)的情感。顯然，從一開(kāi)始就落實(shí)教材的這些編寫(xiě)意圖，不但能使圖形變換內(nèi)容的教學(xué)有一個(gè)良好的開(kāi)端，對(duì)數(shù)學(xué)其他內(nèi)容的學(xué)習(xí)，也是一種促進(jìn)。

鏡面對(duì)稱同樣是日常生活中的常見(jiàn)現(xiàn)象。在兒童生活里（如照鏡子），在童話故事里（如猴子撈月亮），在大自然里（如湖面的倒影），甚至在語(yǔ)文課文里（如水平如鏡），都不乏這種現(xiàn)象的實(shí)例。這方面的很多實(shí)例還很容易引起學(xué)生的興趣和探究的欲望。因此，在第一學(xué)段就引入鏡面對(duì)稱，具有一定的認(rèn)知基礎(chǔ)。然而，鏡面對(duì)稱與軸對(duì)稱既有聯(lián)系，又有區(qū)別。它們的聯(lián)系在于兩者都改變圖形的方向，如左右互換。區(qū)別在于鏡面對(duì)稱嚴(yán)格地說(shuō)是一種物體或圖形關(guān)于某個(gè)平面的對(duì)稱，而不是關(guān)于一條直線的對(duì)稱。上面提到的照鏡子，是相對(duì)于豎直平面的對(duì)稱；水面倒影是相對(duì)于水平面的對(duì)稱，這是兩種特殊的也是最常見(jiàn)的鏡面對(duì)稱。如果在紙上畫(huà)一個(gè)圖形，旁邊豎一面鏡子，則隨著鏡子擺放位置、角度的變化，圖形（鏡面對(duì)稱的“像”）的變化非常多樣，對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)可謂變幻莫測(cè)。所以，一般只是讓學(xué)生在照鏡子的活動(dòng)中，通過(guò)比較鏡子內(nèi)外人與像的位置關(guān)系，初步感受鏡面對(duì)稱的特點(diǎn)。至于“鏡面對(duì)稱”、“平面對(duì)稱”等名詞以及鏡面對(duì)稱的性質(zhì)，教材都不會(huì)涉及。

2．軸對(duì)稱圖形的初步認(rèn)識(shí)。

第二學(xué)段關(guān)于軸對(duì)稱圖形的初步認(rèn)識(shí)，主要內(nèi)容一是從折紙或觀察入手，找到并畫(huà)出一個(gè)圖形的對(duì)稱軸。二是借助方格紙觀察并發(fā)現(xiàn)軸對(duì)稱圖形的特征，如對(duì)應(yīng)點(diǎn)到對(duì)稱軸的距離相等。進(jìn)而根據(jù)這個(gè)特征，學(xué)習(xí)在方格紙上畫(huà)出軸對(duì)稱圖形的另一半。也就是先根據(jù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)到對(duì)稱軸的距離，確定圖形另一半的頂點(diǎn)，再把軸對(duì)稱圖形畫(huà)完整。顯然，畫(huà)出軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵，在于掌握對(duì)應(yīng)點(diǎn)的規(guī)律。所以，下面兩道例題，具有緊密的內(nèi)在聯(lián)系。

           圖6                       圖7

容易看出，例1是例2的基礎(chǔ)，例2所要畫(huà)的圖形，實(shí)際上是一個(gè)組合圖形，比第一學(xué)段的簡(jiǎn)單圖形稍復(fù)雜一些。

3．平移、旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象的感知。

平移和旋轉(zhuǎn)都是學(xué)生在日常生活中經(jīng)常看到的現(xiàn)象。所以第一學(xué)段的教材在首次介紹這兩種現(xiàn)象時(shí)，都會(huì)注意結(jié)合學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)，列舉一些學(xué)生比較熟悉的事物，如火車、電梯的運(yùn)動(dòng)和螺旋槳、鐘擺的運(yùn)動(dòng)，等等，喚起學(xué)生的聯(lián)想，使他們重新審視生活里的某些常見(jiàn)現(xiàn)象，哪些是平移，哪些是旋轉(zhuǎn)。在結(jié)合實(shí)例初步感知平移和旋轉(zhuǎn)的基礎(chǔ)上，體會(huì)它們的不同特點(diǎn)。進(jìn)而學(xué)習(xí)在方格紙上把簡(jiǎn)單的圖形沿水平方向或豎直方向平移幾格。這就達(dá)到了本學(xué)段的學(xué)習(xí)目標(biāo)。

這部分教材的特點(diǎn)是，既不給平移和旋轉(zhuǎn)下定義，也不用語(yǔ)言描述，只要求學(xué)生獲得物體平移、旋轉(zhuǎn)的感性認(rèn)識(shí)，初步體會(huì)生活中的平移現(xiàn)象和旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象是很普遍的。

為了提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，讓學(xué)生在玩中獲得感悟，有的教材還運(yùn)用運(yùn)動(dòng)變化原理設(shè)計(jì)了一些新穎、有趣的“學(xué)具”。例如，下面的“拉一拉”、“轉(zhuǎn)一轉(zhuǎn)”，巧妙地蘊(yùn)涵了平移、旋轉(zhuǎn)的特點(diǎn)。

            圖8                                  圖9

4．平移、旋轉(zhuǎn)的初步認(rèn)識(shí)。

第二學(xué)段的教材中，有關(guān)平移的初步認(rèn)識(shí)大多沒(méi)有多少新的內(nèi)容。因?yàn)橐罁?jù)課程標(biāo)準(zhǔn)，學(xué)生在第一學(xué)段已經(jīng)學(xué)習(xí)了利用方格紙沿水平方向或豎直方向平移簡(jiǎn)單圖形?？紤]到小學(xué)生的知識(shí)基礎(chǔ)，第二學(xué)段在方格紙上平移圖形也只能沿這兩個(gè)方向，至多把兩個(gè)方向的平移綜合起來(lái)。如先向下平移2格，再向右平移3格，等等。學(xué)生有了平移的初步認(rèn)識(shí)，再來(lái)學(xué)習(xí)畫(huà)平行線就比較方便了。所以，有的教材還安排了引導(dǎo)學(xué)生用平移方法畫(huà)平行線的內(nèi)容。這樣安排，可以發(fā)揮學(xué)習(xí)的正遷移作用。

第二學(xué)段有關(guān)旋轉(zhuǎn)的初步認(rèn)識(shí)，除了繼續(xù)聯(lián)系現(xiàn)實(shí)情境讓學(xué)生進(jìn)一步體驗(yàn)圖形旋轉(zhuǎn)的特點(diǎn)之外，主要就是學(xué)習(xí)在方格紙上將圖形旋轉(zhuǎn)90°。通常，教材的編排是先通過(guò)實(shí)際情境使學(xué)生認(rèn)識(shí)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)和逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，然后教學(xué)怎樣在方格紙上把一個(gè)簡(jiǎn)單的圖形旋轉(zhuǎn)90°，讓學(xué)生在動(dòng)手畫(huà)圖的過(guò)程中體驗(yàn)旋轉(zhuǎn)的方法。