負數(shù)教學(xué)的重構(gòu)：數(shù)學(xué)史的視角
蔡宏圣
課前冥思
在“數(shù)學(xué)是一種文化”理念的感召下，數(shù)學(xué)史已走進了我們的課堂，尤其在一些公開課、研究課中莫不是如此。例如“負數(shù)”教學(xué)中在課尾用多媒體出示“你知道嗎”：中國是最早認識和使用負數(shù)的國家。據(jù)早在2000多年前的《九章算術(shù)》記載，那時的人就有了“糧食入倉為正，出倉為負；收入的錢為正，付出的錢為負”的思想。1700多年前，我國數(shù)學(xué)家劉徽在注解《九章算術(shù)》時，更明確地提出了正負數(shù)的概念，并用不同顏色的算籌來表示它們。這些認識中國比印度要早600多年，比西方國家要提前1500多年。當(dāng)原先的教學(xué)設(shè)計和數(shù)學(xué)史的簡單鏈接似乎成了模式，特別是當(dāng)孩子們實際上并不理解其中的數(shù)學(xué)意義，我們?nèi)詷反瞬黄５臅r候，那不禁要問：現(xiàn)在的數(shù)學(xué)課堂是不是都必須戴上一頂數(shù)學(xué)史的帽子？數(shù)學(xué)史是不是只能以這樣的形式走進課堂？
在拷問上述教學(xué)現(xiàn)象的促動下，筆者產(chǎn)生了重構(gòu)負數(shù)教學(xué)的沖動。因為新的教學(xué)意在探求數(shù)學(xué)史走進課堂的更好方式，因而從數(shù)學(xué)史的視角來思考教學(xué)的重新設(shè)計也就十分自然和貼切。與此同時，這也是一個很有價值的話題。
關(guān)于負數(shù)的產(chǎn)生和發(fā)展，大多數(shù)的數(shù)學(xué)史著作都有和上文“你知道嗎”相類似的表述。但立足于數(shù)學(xué)教育考量，一個教師知道和不知道這一段史實，他設(shè)計的教學(xué)能有多大的區(qū)別呢？可能也就在于課尾有或者沒有類似于“你知道嗎”的教學(xué)安排而已。顯然，如果僅僅停留于數(shù)學(xué)知識產(chǎn)生發(fā)展事實性史實的考察，那么并不能當(dāng)然地給數(shù)學(xué)教育帶來有益的啟示。數(shù)學(xué)的歷史和數(shù)學(xué)的教育雖然都發(fā)端于數(shù)學(xué)，但那是兩個并不完全相同的領(lǐng)域，數(shù)學(xué)史不可能信步閑庭般地融入數(shù)學(xué)教育，它需要教師的再創(chuàng)造。換言之，從數(shù)學(xué)史到數(shù)學(xué)教育，更需要我們琢磨人類認識提升所經(jīng)歷的階段，其中走過的彎路、碰到的認知障礙等等。拿負數(shù)來說，我們更應(yīng)該察覺到這樣的史實和在此基礎(chǔ)上的追問：從《九章算術(shù)》中有關(guān)負數(shù)的記載算起，直到1819年李銳在《開方說》中，提出方程之根也可以是負數(shù)，中國數(shù)學(xué)家使用負數(shù)到在數(shù)學(xué)上接納負數(shù)用了1800多年，而西方數(shù)學(xué)家用1000多年。那人類為什么使用、接納負數(shù)比起認識自然數(shù)和分?jǐn)?shù)更為曲折和艱辛？
翻開數(shù)學(xué)史，我們可以看到，早在數(shù)學(xué)的萌芽時期，人類對于負數(shù)的感知和使用就比較遲緩。這其中的原因不僅在于自然數(shù)、分?jǐn)?shù)的認識，來自人類豐富的數(shù)數(shù)、分配實物和測量的實踐活動，更重要的是這些數(shù)都有實物為例，而負數(shù)卻不能“可視”，雖也有負債、欠帳之說，但卻不能具體指物為負。在中國之外，印度是認識和使用負數(shù)比較早的國家，其最早記載見于婆羅摩笈多（公元7世紀(jì)）的著作《婆羅摩歷算書》中，他把正數(shù)稱為“財產(chǎn)”，負數(shù)稱為“債務(wù)”，并據(jù)此來解釋正負數(shù)的加減運算，印度人對負數(shù)的認識和使用鮮明地烙上了生活經(jīng)驗的痕跡。而古希臘從事數(shù)學(xué)、科學(xué)、哲學(xué)研究的人，不去搞商業(yè)和貿(mào)易，不關(guān)心實際問題，因而西方數(shù)學(xué)界幾乎沒有使用負數(shù)的生活經(jīng)驗積累，直到13世紀(jì)才對負數(shù)有感知也就不難理解了。許多數(shù)學(xué)史的評述都認為，相比而言，中國古代對負數(shù)的認識，是世界上任何一個民族都望塵莫及的。表面上看，中國的負數(shù)產(chǎn)生于解線性方程組時的系數(shù)運算，是數(shù)學(xué)知識內(nèi)部相互作用的結(jié)果，但實質(zhì)并不如此。對古中國數(shù)學(xué)發(fā)展的深入分析可知，在長達二千多年的時間里，中國數(shù)學(xué)家始終借助于算籌這一具體可見的計算工具從事數(shù)學(xué)活動。當(dāng)一列數(shù)與另一列數(shù)相減，同時出現(xiàn)以少減多和以多減少的情況時，在算籌操作中就出現(xiàn)了“兩算得失相反”的形象（這里的算即指算籌）。正是由于“并減之勢不得廣通”，為使編乘、直除兩種系數(shù)的變換操作徹底施于方程，才想出了令算籌“正負以名之”的做法，規(guī)定了用不同顏色的算籌以及算籌的斜正來區(qū)別正負的形式，而且制定了正負算之間進行加減運算的法則。從思維角度看，正負術(shù)的產(chǎn)生明顯缺乏邏輯思維的過程，它只是一種解方程消元的輔助技巧而已，是術(shù)而不是數(shù)，這種判斷可以從多個方面得到印證。在《九章算術(shù)》中，正負術(shù)并沒有被獨立地運用于解決其他數(shù)學(xué)問題，比如盈不足章中的兩盈和兩不足等問題，甚至在方程章中，所構(gòu)造的問題也往往恰有正數(shù)解，涉及二次或二次以上方程的求解，一般也只給出一個正根就結(jié)束了解答。①也就是說，負數(shù)連作為一個等式解的結(jié)果的資格都沒有，這種狀況充分說明了負數(shù)并獲得像正數(shù)那樣的獨立意義。因此從這個意義上說，古中國對于負數(shù)的認識并不比其他民族高明多少。而對于負數(shù)的學(xué)習(xí)來說，給學(xué)生們尋找一種能承載負數(shù)本質(zhì)意義的合適的現(xiàn)實模型也就顯得尤其重要。
當(dāng)我們考證人類感知和使用負數(shù)實際上都源于直觀的同時，也感受到了直觀對于在數(shù)學(xué)上接納負數(shù)帶來的負面效應(yīng)。古中國的數(shù)學(xué)歷來關(guān)注數(shù)量及其運算，對數(shù)的本質(zhì)從來沒有興趣去考察。所以，中國數(shù)學(xué)界遲遲不能構(gòu)建對負數(shù)的理性認識也就不足為怪。西方數(shù)學(xué)界繼承了古希臘開始的科學(xué)與哲學(xué)傳統(tǒng)，歷來注重抽象的邏輯思維和演繹推理，但數(shù)學(xué)史上，把負數(shù)稱為“荒謬的數(shù)”、“虛假的數(shù)”的例子不在少數(shù)，涉及到的數(shù)學(xué)家也不乏大牌。但這樣的史實對于教學(xué)的啟迪是有限的，只能由此推測孩子們認識負數(shù)會有困難，我們需要更深入地探求，是什么阻礙著數(shù)學(xué)家們在理性上接納負數(shù)？德國數(shù)學(xué)家斯蒂菲爾在《整數(shù)算術(shù)》中稱從零中減去一個大于零的數(shù)得到的數(shù)“小于一無所有”，是“荒謬的數(shù)”。請注意，他在這里認為負數(shù)荒謬的原因是“小于一無所有”。換言之，其內(nèi)在的邏輯是 1表示一件物體，2表示兩件物體……，0表示什么都沒有，“什么都沒有”就到了盡頭了，而負數(shù)比零還要小，比“什么都沒有”還要少，這怎么可能呢？可見構(gòu)建負數(shù)的理性認識，困難之處不在于概念本身的高度抽象性，而在于人怎么跨越和擴展自己的已有認識。從現(xiàn)代數(shù)學(xué)數(shù)系擴展的理論看，每引入一種新數(shù)都要符合數(shù)系擴展的一系列公理原則，但這是后話。人類最初要在數(shù)學(xué)上接納負數(shù)，碰到的首要問題是：怎么把負數(shù)的意義和0的認識溝通起來！這可以從多個數(shù)學(xué)家的困惑中進一步窺見，例如帕斯卡認為：從0減去4純粹是胡說！笛卡爾也認為負數(shù)是“不合理的數(shù)”，19世紀(jì)英國數(shù)學(xué)家弗倫德認為“只有那些喜歡信口開河、厭惡嚴(yán)肅思維的人”才“談?wù)摫葲]有還要小的數(shù)”，如此等等。②
從數(shù)學(xué)史的視角慎思明辨至此，新的教學(xué)何去何從似乎已不難選擇。新的教學(xué)無疑要關(guān)注：注意引發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)新數(shù)的情感需求；要尋找盡可能多地承載負數(shù)本質(zhì)意義而又具體直觀的教學(xué)模型，以順應(yīng)抽象認識源于具體直觀的人類認識逐步提升的歷史順序；注重溝通負數(shù)和0之間的關(guān)系，以避免形成以后學(xué)習(xí)的認知障礙。無容置疑，從教學(xué)經(jīng)驗和教學(xué)心理學(xué)的角度，我們也有可能通過縝密的思考提出這樣的教學(xué)建議，但那種從教學(xué)法和心理學(xué)的一般規(guī)律出發(fā)的教法設(shè)計，并不能解釋在“認識負數(shù)”的教學(xué)中這樣教的獨到價值，或者不能恰恰提出這三條教學(xué)建議。換言之，一個老師如果離開數(shù)學(xué)史，純粹地從教學(xué)法和心理學(xué)的一般規(guī)律出發(fā)，是不能保證所設(shè)計的教學(xué)環(huán)節(jié)契合學(xué)生數(shù)學(xué)思維過程的。這種狀況恰恰印證了數(shù)學(xué)教育的一個原理，即一個數(shù)學(xué)知識為什么這么教，而不那么教，不是由教學(xué)法和心理學(xué)的原理所決定的，而是由兒童的數(shù)學(xué)現(xiàn)實和數(shù)學(xué)的學(xué)科本質(zhì)決定的。數(shù)學(xué)史為新教法的設(shè)計提供了新的靈感和視野。
課堂實施
一、導(dǎo)入
1、師：說起數(shù)，我們可不陌生。我們已經(jīng)學(xué)過了哪些數(shù)？
隨學(xué)生回答板書幾個自然數(shù)和分?jǐn)?shù)。
師：有多少個？
生：無數(shù)個。
師：這會兒，有些同學(xué)可能有想法了，我們已經(jīng)認識了無數(shù)個數(shù)，為什么還要學(xué)習(xí)一種新數(shù)呢？（停頓）因為生活給我們提出了這樣的要求。
2、課件出示情境：兩輛公交車分別有3人上車和3人下車。
| 上下車的情況 | |
| 3號車 | 3人 |
| 5號車 | 3人 |
師：老師把圖中3號車上車3人、5號車下車3人表示成這樣：
你覺得已經(jīng)把圖意表達清楚了？
生：沒有，看不出到底是上車3人還是下車3人。
師：也就是說雖然都是3人，但兩個3人表示的實際意義是相反的。它們是一組相反意義的量（板書：相反意義）。那你能用自己的方式把它們區(qū)別開嗎？
二、探究
1、交流大家的想法。絕大多數(shù)學(xué)生在數(shù)前加“上車”、“下車”，5名同學(xué)加了不同方向的箭頭，2人加正負號。
2、介紹人類探究的歷程并比較各種表示方法。
師：相反意義的量怎樣表示，這個問題在歷史上，數(shù)學(xué)家們也費了很多周折，他們想了各種各樣的方法。例如用不同的顏色來區(qū)分，畫斜杠來表示，加不同的符號表示。（隨講解課件出示歷史上的各種寫法，用“+”、“ -”的寫法也出示在其中）
師：呵呵怎么樣，是不是和我們剛才想得大差不差。真是方法各有各的不同，但道理是一樣的，那就是我們以前學(xué)的數(shù)已經(jīng)不夠用了。我們需要尋找一種新的表示方法。哎，那這么多寫法中，你覺得哪種寫法的數(shù)學(xué)味最濃呢？
生：用加減號的最有意思。上車3人，車上的人數(shù)就加3人；下車3人，車上的人數(shù)不就是減少3人嗎。
師：對，就是這樣的道理，20世紀(jì)初，一有數(shù)學(xué)家提出這樣的方式，就得到了大家的認可，所以一直沿用至今。但讀法上有了變化，分別讀作正3和負3，符號分別叫正號和負號。（板書+3、-3）
3、試一試：下面哪兩個量是一組相反意義的量？用線連一連，并用加“+”、“-”的方式表示它們。
贏了2次 體重減輕二分之一千克
收入1500元 下降0.5米
上升0.6米 輸了5次
體重增加五分之四千克 支出1300元
請一學(xué)生上黑板板演。
4、概括：為了表示相反意義的量，今天我們接觸了一種新數(shù)，我們稱之為負數(shù)，前面的符號就叫做負號。而原先那些數(shù)就叫做正數(shù)，前面的符號自然就叫做正號。在表達正數(shù)的時候，有時前面的正號可以不寫。
5、寫幾個正數(shù)和負數(shù)，和同座交換著讀讀寫寫。
三、深究
1、找相反意義的量。
師：誰能說說和“零上2攝氏度”意義相反的量是什么？
學(xué)生回答后，要求其讀出意義相反的意思來，再追問：零上2攝氏度和零下2攝氏度，分別是哪里之上2攝氏度和哪里之下2攝氏度？并要求用正負號表示它們。
2、嘗試著在空白的溫度計上標(biāo)出這兩個刻度。
師：老師這里提供的是一個空白的溫度計圖，相鄰的兩個刻度線之間相差1攝氏度，根據(jù)我們以前所學(xué)，0或者表示沒有或者表示起點，寫在最下面比較合適，那么上面一格是多少攝氏度？
生：1攝氏度。
師：再往上呢？隨學(xué)生回答，依次標(biāo)到7攝氏度。
師：在我們設(shè)計的溫度計上找一找剛才的“+2。C”在哪里？
學(xué)生指出+2。C的位置后，老師作尋找狀。并說：怎么沒有-2。C呢？！
有學(xué)生上臺還是指了2。C，馬上引出了一大片反對聲。“這是零上2。C，-2。C是零下2。C啊！”
師：哦，也就是說我們剛才設(shè)計的溫度計中丟了零下的溫度，哪零度以下還能不能有數(shù)了？有的話，應(yīng)該標(biāo)在哪里？請大家試著重新標(biāo)示刻度，要求既能找到+2。C，也能找到-2。C。
3、交流和總結(jié)。
出示學(xué)生重新標(biāo)示的溫度計，討論交流。抓住圖2重點討論：0攝氏度下面首先是零下幾攝氏度；抓住圖4重點討論：零上溫度、零下溫度和0攝氏度的位置關(guān)系。最后總結(jié)：只有確定了零攝氏度的位置，才能分清零上的溫度和零下的溫度，可見，零是正負數(shù)的分界。
4、看溫度計，讀出幾個城市的氣溫。
5、在地貌海拔高度的情境中，用正負數(shù)表示珠穆朗瑪峰和吐魯番盆地的海拔高度，進一步理解相反意義的相對性。
四、延伸
通過綜合練習(xí)，加深學(xué)生對0的新意義、相反意義的相對性的理解。
1、李叔叔下樓：①李叔叔在5樓，他從5樓往上2層記作+2層，那從5樓往下1層，記作（ ）層。②李叔叔在2樓往上2層，可以記作（ ）層。③同樣是4層，為什么一會兒被記作-1層，一會兒被記作+2層？
2、羽毛球重量：比賽用羽毛球規(guī)定了標(biāo)準(zhǔn)重量，4只羽毛球稱重并和標(biāo)準(zhǔn)重量比較后記錄為：1號球-0.35克、2號球0克、3號球+0.7克、4號球-0.2克。①2號球真的就重0克嗎？②幾號羽毛球最重？為什么？
教后暢想
說起數(shù)學(xué)，大家都公認它表現(xiàn)為抽象的概念、冷峻的符號、嚴(yán)密的推理，但這些卻不能完全概括數(shù)學(xué)的本質(zhì)特性。因為數(shù)學(xué)家在傳播數(shù)學(xué)思想的時候，有個習(xí)慣，或者說是數(shù)學(xué)圈子里有這樣的共識：必須建立起一套有關(guān)定義和抽象概念的完整體系，要以充分一般的方式陳述結(jié)果。這種要求大約在上世紀(jì)30年代的布爾巴基學(xué)派開始并加以固定的。這就意味著，原始的例子和逐步的抽象過程必須舍去。但舍去的直觀認識、模糊認識，甚至是認識上的曲折錯誤并非毫無價值。對此，英國數(shù)學(xué)家阿蒂亞爵士（英國皇家學(xué)會會長、劍橋三一學(xué)院院長、牛頓數(shù)學(xué)研究所所長）說，一個新思想最有意義的部分，常常不在那些最一般的深刻定理之中，而往往寓于最簡單的例子、最原始的定義，以及最初的一些結(jié)果。③這對數(shù)學(xué)教育的啟示是，一個數(shù)學(xué)概念，作為人類千百年思維抽象的結(jié)晶，僅僅看它的最終形式化表述，普通人就很難深入把握其確切的本質(zhì)意義。抽象的數(shù)學(xué)概念只有放在歷史背景中，和抽象活動的歷史過程結(jié)合起來，才能變簡練為豐富、變艱澀為生動，才能較完整地呈現(xiàn)出其經(jīng)驗性和演繹性二重統(tǒng)一的本質(zhì)，進而才能更容易被學(xué)習(xí)者調(diào)動起全部的經(jīng)驗積累來支撐其建構(gòu)概念的全部含義。就負數(shù)概念而言，其經(jīng)驗性表現(xiàn)為負數(shù)可以用來記錄生活中相反意義的量，沒有生活經(jīng)驗的積累，就會如同古西方人那樣，會難于在生活經(jīng)驗層面上使用負數(shù)；其演繹性表現(xiàn)為負數(shù)還是一種運算中出現(xiàn)的新數(shù)，有了負數(shù)，才能實現(xiàn)關(guān)于加減運算的封閉。負數(shù)概念的這兩層含義，并不是孤立和割裂的，在筆者看來，兩者的統(tǒng)合在于深刻理解相反意義－－不僅僅是詞面意義上的絕對相反，如向東和向西、支出和收入等等，而且是0作為分界點的相對相反，如和海平面相比的高低、和標(biāo)準(zhǔn)重量相比的多少等等。理解了0不僅僅可以表示沒有（或起點），還可以作為一個標(biāo)準(zhǔn)來衡量一組數(shù)量的大小或區(qū)別一組數(shù)量的方向。由此，學(xué)生形成的認識雖然是初級的，但卻具備了抽象為理性認識的可能，也就可以避免歷史上諸多數(shù)學(xué)家類似于“比0還小的數(shù)是荒謬的數(shù)”的認知障礙，理解小數(shù)減大數(shù)的意義也就有了基礎(chǔ)。更為一般地說，小學(xué)生對于所學(xué)知識的初步認識，不應(yīng)該是所學(xué)知識的膚淺認識，而是在具體直觀層面上的深刻認識，這就如同一個胚胎，雖然是初級的，但卻具有了以后生長出成熟器官的全部生長點！引申出的這個數(shù)學(xué)教育的道理，歷史以自己的方式同樣闡釋得十分清楚。歷史上，人類在生活經(jīng)驗、具體直觀的層面上使用了負數(shù)1000多年，積累了大量的關(guān)于負數(shù)的感性認識，但并沒有自然而然地促使人類建構(gòu)起負數(shù)的理性認識。這說明，孩子們在初步認識負數(shù)的過程，一味地在生活經(jīng)驗的層面上積累負數(shù)是表示相反意義的量的經(jīng)驗，并不會給以后對負數(shù)的理性學(xué)習(xí)帶來多大價值。初步認識負數(shù)，更應(yīng)該在具體直觀的層面上對負數(shù)與0、負數(shù)與負數(shù)之間的關(guān)系有充分的感知（在溫度計上設(shè)計刻度的教學(xué)意義也就在此），只有這才是學(xué)生以后順利學(xué)習(xí)負數(shù)更多知識的財富。
著名數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家波利亞指出，“只有理解人類如何獲得某些事實或概念的知識，我們才能對人類的孩子應(yīng)該如何獲得這樣的知識作出更好的判斷”。在筆者看來，波利亞的論述鮮明地闡述了，數(shù)學(xué)史在讀懂兒童中的獨到價值。但也正如“課前冥思”部分所言，我們很多教師只是把數(shù)學(xué)史作為數(shù)學(xué)文化的時尚外套，機械地鏈接在課堂教學(xué)中。為什么出現(xiàn)這種情況？可能有人認為，那是由于我國小學(xué)教師培養(yǎng)的體系決定了，我們的小學(xué)數(shù)學(xué)教師對于數(shù)學(xué)史是先天不足的。但在現(xiàn)代信息社會里，若想檢索和獲取人類已有的精神財富，應(yīng)該是易如反掌的事情。所以說，我們的教師沒有思考數(shù)學(xué)的史實對于兒童數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的啟示，這才是當(dāng)前數(shù)學(xué)史的使用游離于數(shù)學(xué)教育以外的主要原因。中國科學(xué)院李文林先生提出，“數(shù)學(xué)史除了為歷史、為數(shù)學(xué)而歷史之外，還應(yīng)該為教育而歷史。”其意即我們應(yīng)該深入到學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的內(nèi)部，保持著敏銳的“怎樣促進兒童數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)”的觸角，在數(shù)學(xué)的歷史淵源和抽象形式之間來回穿梭，捕捉其間隱藏著的豐富的教育基因。例如，通過數(shù)學(xué)發(fā)展史可以提煉出孩子們的認知發(fā)展規(guī)律，通過數(shù)學(xué)家的困難可以預(yù)見和解釋學(xué)生的學(xué)習(xí)困難，根據(jù)歷史發(fā)展的順序可以作為安排學(xué)習(xí)層次順序的參考，利用歷史背景知識可以用來激發(fā)學(xué)生的興趣，歷史上的彎路和挫折可以用來減少學(xué)生的學(xué)習(xí)焦慮……由此，數(shù)學(xué)史在課堂中的使用應(yīng)該可以有兩種方式，一種正如大家目前都在使用的“鏈接式”，它外在于數(shù)學(xué)教育，雖然告訴了孩子們數(shù)學(xué)發(fā)展的史實，但其教育的價值是有限的；另一種是“融入式”，正如本課例中的教學(xué)突出了“負數(shù)和0關(guān)系”那樣，數(shù)學(xué)史在課堂中雖然無形，但卻成為了教學(xué)的內(nèi)在線索或閃亮內(nèi)核，它可以提升孩子們的數(shù)學(xué)理解，引領(lǐng)孩子們感悟數(shù)學(xué)的理性內(nèi)涵。
數(shù)學(xué)史就其本質(zhì)而言是人類數(shù)學(xué)思想的發(fā)展史，而數(shù)學(xué)教育的最高境界是數(shù)學(xué)思想的感悟和熏陶，從這個意義上，數(shù)學(xué)教育無疑能從數(shù)學(xué)史中汲取更豐富的養(yǎng)分，數(shù)學(xué)史也完全能夠促使數(shù)學(xué)教育變得更厚重和深邃。
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