第3章 中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用
內(nèi)容概要
名稱(chēng)
主要內(nèi)容（3.1、3.2）
3.1
中值
定理
名稱(chēng)
條件
結(jié)論
羅爾中值定理
：（1）在
上連續(xù)；（2）在
內(nèi)可導(dǎo)；（3）
至少存在一點(diǎn)
使得
拉格朗日中值定理
：（1）在
上連續(xù)；（2）在
內(nèi)可導(dǎo)
至少存在一點(diǎn)
使得
柯西中值定理
、
：（1）在
上連續(xù)，在
內(nèi)可導(dǎo)；（2）在
內(nèi)每點(diǎn)處
至少存在一點(diǎn)
使得
3.2
洛必達(dá)
法則
基本形式
型與
型未定式
通分或取倒數(shù)化為基本形式
1）
型：常用通分的手段化為
型或
型；
2）
型：常用取倒數(shù)的手段化為
型或
型，即：
或
；
取對(duì)數(shù)化為
基本形式
1）
型：取對(duì)數(shù)得
，其中
或
；
2）
型：取對(duì)數(shù)得
，
其中
或
；
3）
型：取對(duì)數(shù)得
，
其中
或
。
課后習(xí)題全解
習(xí)題3-1
★1.下列函數(shù)在給定區(qū)間上是否滿足羅爾定理的所有條件？如滿足，請(qǐng)求出滿足定理的數(shù)值
。
（1）
；
（2）
。
知識(shí)點(diǎn)：羅爾中值定理。
思路：根據(jù)羅爾定理的條件和結(jié)論，求解方程
，得到的根
便為所求。
解：（1）∵
在
上連續(xù)，在
內(nèi)可導(dǎo)，且
，
∴
在
上滿足羅爾定理的條件。令
得
即為所求。
（2）∵
在
上連續(xù)，在
內(nèi)可導(dǎo)，且
，
∴
在
上滿足羅爾定理的條件。令
，得
即為所求。
★2.驗(yàn)證拉格朗日中值定理對(duì)函數(shù)
在區(qū)間
上的正確性。
知識(shí)點(diǎn)：拉格朗日中值定理。
思路：根據(jù)拉格朗日中值定理的條件和結(jié)論，求解方程
，若得到的根
則可驗(yàn)證定理的正確性。
解：∵
在
連續(xù)，在
內(nèi)可導(dǎo)，∴
在區(qū)間
上滿足拉格朗日中值定理的條件。又
，
，
∴要使
，只要：
，
∴
，使
，驗(yàn)證完畢。
★3.已知函數(shù)
在區(qū)間
上滿足拉格朗日中值定理的條件，試求滿足定理的
。
解：要使
，只要
，從而
即為滿足定理的
。
★★4.試證明對(duì)函數(shù)
應(yīng)用拉格朗日中值定理時(shí)所求得的點(diǎn)
總是位于區(qū)間的正中間。
證明：不妨設(shè)所討論的區(qū)間為
，則函數(shù)
在
上連續(xù)，在
內(nèi)可導(dǎo)，從而有
，即
，
解得
，結(jié)論成立。
★5.函數(shù)
與
在區(qū)間
上是否滿足柯西定理的所有條件？如滿足，請(qǐng)求出滿足定理的數(shù)值
。
知識(shí)點(diǎn)：柯西中值定理。
思路：根據(jù)柯西中值定理的條件和結(jié)論，求解方程
，得到的根
便為所求。
解：∵
及
在
上連續(xù)，在
內(nèi)可導(dǎo)，且在
內(nèi)的每一點(diǎn)處有
，所以滿足柯西中值定理的條件。要使
，只要
，解得
，
即為滿足定理的數(shù)值。
★★★6.設(shè)
在
上連續(xù)，在
內(nèi)可導(dǎo)，且
。求證：
存在
，使
。
知識(shí)點(diǎn)：羅爾中值定理的應(yīng)用。
思路：從
結(jié)論出發(fā)，變形為
，構(gòu)造輔助函數(shù)使其導(dǎo)函數(shù)為
， 然后再利用羅爾中值定理，便得結(jié)論。構(gòu)造輔助函數(shù)也是利用中值定理解決問(wèn)題時(shí)常用的方法。
證明：構(gòu)造輔助函數(shù)
，
根據(jù)題意
在
上連續(xù)，在
內(nèi)可導(dǎo)，且
，
，從而由羅爾中值定理得：存在
，使
，即
。
注：輔助函數(shù)的構(gòu)造方法一般可通過(guò)結(jié)論倒推，如：要使
，只要
∴只要設(shè)輔助函數(shù)
★★7.若函數(shù)
在
內(nèi)具有二階導(dǎo)函數(shù)，且
，證明：在
內(nèi)至少有一點(diǎn)
，使得
。
知識(shí)點(diǎn)：羅爾中值定理的應(yīng)用。
思路：連續(xù)兩次使用羅爾中值定理。
證明：∵
在
內(nèi)具有二階導(dǎo)函數(shù)，∴
在
、
內(nèi)連續(xù)，
在
、
內(nèi)可導(dǎo)，又
，
∴由羅爾定理，至少有一點(diǎn)
、
，
使得
、
；又
在
上連續(xù)，在
內(nèi)可導(dǎo)，
從而由羅爾中值定理，至少有一點(diǎn)
，使得
。
★★8.若4次方程
有4個(gè)不同的實(shí)根，證明：
的所有根皆為實(shí)根。
知識(shí)點(diǎn)：羅爾中值定理的應(yīng)用。
思路：討論方程根的情況可考慮羅爾中值定理。
證明：令
則由題意，
有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)零點(diǎn)，分別設(shè)為
，
∵
在
、
、
上連續(xù)，在
、
、
上可導(dǎo)，
又
，
∴由羅爾中值定理，至少有一點(diǎn)
、
、
使得
，即方程
至少有3個(gè)實(shí)根，又三次方程最多有3個(gè)實(shí)根，從而結(jié)論成立。
★★★9.證明：方程
只有一個(gè)正根。
知識(shí)點(diǎn)：零點(diǎn)定理和羅爾定理的應(yīng)用。
思路：討論某些方程根的唯一性，可利用反證法，結(jié)合零點(diǎn)定理和羅爾定理得出結(jié)論。零點(diǎn)定理往往用來(lái)討論函數(shù)的零點(diǎn)情況；羅爾定理往往用來(lái)討論導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)情況。
解：令
，∵
在
上連續(xù)，且
，
，
∴由零點(diǎn)定理，至少有一點(diǎn)
，使得
；
假設(shè)
有兩個(gè)正根，分別設(shè)為
、
（
），
則
在在
上連續(xù)，在
內(nèi)可導(dǎo)，且
，
從而由羅爾定理，至少有一點(diǎn)
，使得
，這不可能。
∴方程
只有一個(gè)正根。
★★10.不用求出函數(shù)
的導(dǎo)數(shù)，說(shuō)明方程
有幾個(gè)實(shí)根，并指出它們所在的區(qū)間。
知識(shí)點(diǎn)：羅爾中值定理的應(yīng)用。
思路：討論導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，可考慮利用羅爾中值定理。
解： ∵
在
、
、
上連續(xù)，
在
、
、
內(nèi)可導(dǎo)，且
，
∴由羅爾中值定理，至少有一點(diǎn)
、
、
，
使得
，即方程
至少有三個(gè)實(shí)根，
又方程
為三次方程，至多有三個(gè)實(shí)根，
∴
有3個(gè)實(shí)根，分別為
、
、
。
★★★11.證明下列不等式：
（1）
； （2） 當(dāng)
時(shí)，
；
（3） 設(shè)
，證明
； （4） 當(dāng)
時(shí)，
。
知識(shí)點(diǎn)：利用拉格朗日中值定理。
思路：用拉格朗日中值定理證明不等式的過(guò)程：尋找函數(shù)
，通過(guò)式子
（或
）證明的不等式。
證明：（1）令
， ∵
在
上連續(xù)，在
內(nèi)可導(dǎo)，
∴由拉格朗日中值定理，得
。
（2）令
，∵
在
上連續(xù)，在
內(nèi)可導(dǎo)，
∴由拉格朗日中值定理，得
，
∵
，∴
，從而當(dāng)
時(shí)，
。
（3）令
，∵
在
上連續(xù)，在
內(nèi)可導(dǎo)，
∴由拉格朗日中值定理，得
，
∵
，∴
，即
，
。
（4）令
，∵
在
上連續(xù)，在
內(nèi)可導(dǎo)，
∴由拉格朗日中值定理，得
，
∵
，∴
，即當(dāng)
時(shí)，
。
★★12.證明等式：
.
知識(shí)點(diǎn)：
（
為常數(shù)）。
思路：證明一個(gè)函數(shù)表達(dá)式
恒等于一個(gè)常數(shù)，只要證
證明：令
，
當(dāng)
時(shí)，有
；當(dāng)
時(shí)，有
，∴
；
∴
成立。
★★★13.證明：若函數(shù)
在
內(nèi)滿足關(guān)系式
，且
，則
。
知識(shí)點(diǎn)：
思路：因?yàn)?div id="fbwnfa5u" class='imgcenter'>
，所以當(dāng)設(shè)
時(shí)，只要證
即可
證明：構(gòu)造輔助函數(shù)
，
則
；
∴
∴
。
★★★14.設(shè)函數(shù)
在
上連續(xù)，在
內(nèi)有二階導(dǎo)數(shù)，且有
，
試證在
內(nèi)至少存在一點(diǎn)
，使
。
知識(shí)點(diǎn)：拉格朗日中值定理的應(yīng)用。
思路：關(guān)于導(dǎo)函數(shù)
在一點(diǎn)處符號(hào)的判斷，根據(jù)已知條件和拉格朗日中值定理的結(jié)論，逐層分析各層導(dǎo)函數(shù)改變量和自變量改變量的符號(hào)，得出結(jié)論。
證明：∵
在
、
上連續(xù)，在
、
內(nèi)可導(dǎo)，
∴由拉格朗日中值定理，至少有一點(diǎn)
、
，
使得
，
；
又
在
上連續(xù)，在
內(nèi)可導(dǎo)，從而至少有一點(diǎn)
，
使得
。
★★★15.設(shè)
在
上可微，且
試證明
在
內(nèi)至少有兩個(gè)零點(diǎn)。
知識(shí)點(diǎn)：極限的保號(hào)性、介值定理、微分中值定理。
思路：要證明在某個(gè)區(qū)間
內(nèi)導(dǎo)函數(shù)至少存在兩個(gè)零點(diǎn)，只要證該函數(shù)在
上有三個(gè)零點(diǎn)，即可以利用羅爾中值定理，得出結(jié)論。
證明：∵
，由極限的保號(hào)性知，
（不妨設(shè)
），對(duì)于
，均有
，
特別地，
，使得
，∴得
；
同理，由
得
（
），使得
，
從而得
；
又∵
在
上連續(xù)，∴由介值定理知，至少有一點(diǎn)
使得
；
∵
在
、
上連續(xù)，在
、
內(nèi)可導(dǎo)，且
，
∴由羅爾中值定理知，至少有一點(diǎn)
、
，使得
，結(jié)論成立。
★★★16.設(shè)
在閉區(qū)間
上滿足
，試證明存在唯一的
，使得
。
知識(shí)點(diǎn)：微分中值定理或函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用。
思路：證明唯一性的題目或考慮利用反證法；或正面論述。此題用反證法和羅爾中值定理，或利用函數(shù)的單調(diào)性得出結(jié)論。
證明：存在性。
∵
在
上連續(xù)，在
內(nèi)可導(dǎo)，∴由拉格朗日中值定理知，至少有一點(diǎn)
，使得
。
唯一性的證明如下：
方法一：利用反證法。假設(shè)另外存在一點(diǎn)
，使得
，
又∵
在
（或
）上連續(xù)，在
（或
）內(nèi)可導(dǎo)，
∴由羅爾中值定理知，至少存在一點(diǎn)
（或
），使得
，這與
在閉區(qū)間
上滿足
矛盾。從而結(jié)論成立。
方法二：∵
在閉區(qū)間
上滿足
，∴
在
單調(diào)遞增，
從而存在存在唯一的
，使得
。結(jié)論成立。
★★★17.設(shè)函數(shù)
在
的某個(gè)鄰域內(nèi)具有
階導(dǎo)數(shù)，且
試用柯西中值定理證明：
。
知識(shí)點(diǎn)：柯西中值定理。
思路：對(duì)
、
在
上連續(xù)使用
次柯西中值定理便可得結(jié)論。
證明：∵
、
及其各階導(dǎo)數(shù)在
上連續(xù)，在
上可導(dǎo)，
且在
每一點(diǎn)處，
，又
，
∴連續(xù)使用
次柯西中值定理得，
，從而結(jié)論成立。
習(xí)題3-2
★★1.用洛必達(dá)法則求下列極限：
（1）
； （2）
； （3）
；（4）
；
（5）
； （6）
； （7）
； （8）
；
（9）
； （10）
； （11）
； （12）
；（13）
； （14）
； （15）
； （16）
；
（17）
； （18）
； （19）
； （20）
。
知識(shí)點(diǎn)：洛必達(dá)法則。
思路：注意洛必達(dá)法則的適用范圍。該法則解決的是未定型的極限問(wèn)題，基本形式為：
型與
型未定式，對(duì)于這種形式可連續(xù)使用洛必達(dá)法則；對(duì)于
型與
型的未定式，可通過(guò)通分或者取倒數(shù)的形式化為基本形式；對(duì)于
型、
型與
型的未定式，可通過(guò)取對(duì)數(shù)等手段化為未定式；此外，還可以結(jié)合等價(jià)無(wú)窮小替換、兩個(gè)重要的極限、換元等手段使問(wèn)題簡(jiǎn)化。
解： （1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）
；
（5）
；
（6）
；
（7）
；
（8）
；
（9）
；
（或解為：
）
（10）
；
（或解為：∵當(dāng)
時(shí)，
，∴
）
（11）
；
（12）
；
（或解為：
）
（13）
；
（14）
；
（15）
；
（16）
；
（17）
；
（18）
；
（19）
；
（20）令
，則
∴
★★2.驗(yàn)證極限
存在，但不能用洛必達(dá)法則求出。
知識(shí)點(diǎn)：洛必達(dá)法則。
思路：求導(dǎo)后極限如果不存在，不能說(shuō)明原式極限不存在，只能說(shuō)洛必達(dá)法則失效。洛必達(dá)法則不能解決所有的未定型極限問(wèn)題。
解：∵
，∴極限
存在；
若使用洛必達(dá)法則，得
，
而
不存在，所以不能用洛必達(dá)法則求出。
★★★3.若
有二階導(dǎo)數(shù)，證明
。
知識(shí)點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)定義和洛必達(dá)法則。
思路：使用洛必達(dá)法則，對(duì)極限中的函數(shù)上下求關(guān)于
的導(dǎo)數(shù)，然后利用導(dǎo)數(shù)定義得結(jié)論。
證明：∵
，∴結(jié)論成立。
★★★4.討論函數(shù)
在點(diǎn)
處的連續(xù)性。
知識(shí)點(diǎn)：函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的概念。
思路：討論分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的連續(xù)性，要利用函數(shù)在一點(diǎn)處左、右連續(xù)的概念。
解：∵
，∴
在
處右連續(xù)；
又∵
，∴
在
處左連續(xù)；
從而可知，
在點(diǎn)
處連續(xù)。
★★★5.設(shè)
在
處二階可導(dǎo)，且
。試確定
的值使
在
處可導(dǎo)，并求
，其中
。
知識(shí)點(diǎn)：連續(xù)和可導(dǎo)的關(guān)系、洛必達(dá)法則。
思路：討論分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的連續(xù)性、可導(dǎo)性，一般考慮利用定義。
解：要使
在
處可導(dǎo)，則必有
在
處連續(xù)，
又∵
在
處
，∴
；
由導(dǎo)數(shù)定義，
。
內(nèi)容概要
名稱(chēng)
主要內(nèi)容（3.3）
3.3 泰勒公式
泰勒中值定理：如果
在含有
的某個(gè)開(kāi)區(qū)間
內(nèi)具有
階的導(dǎo)數(shù)，則對(duì)任一
，有360docimg_501_
360docimg_502_，此公式稱(chēng)為360docimg_503_階泰勒公式；
其中360docimg_504_（360docimg_505_介于360docimg_506_于360docimg_507_之間），稱(chēng)為拉格朗日型余項(xiàng)；或360docimg_508_，稱(chēng)為皮亞諾型余項(xiàng)。
360docimg_509_階麥克勞林公式：
360docimg_510_
其中360docimg_511_（360docimg_512_）或360docimg_513_。
常用的初等函數(shù)的麥克勞林公式：1）360docimg_514_
2）360docimg_515_
3）360docimg_516_
4）360docimg_517_
5）360docimg_518_
6）360docimg_519_
習(xí)題3-3
★1.按360docimg_520_的冪展開(kāi)多項(xiàng)式360docimg_521_。
知識(shí)點(diǎn)：泰勒公式。
思路：直接展開(kāi)法。求360docimg_522_按360docimg_523_的冪展開(kāi)的360docimg_524_階泰勒公式，則依次求360docimg_525_直到360docimg_526_階的導(dǎo)數(shù)在360docimg_527_處的值，然后帶代入公式即可。
解：360docimg_528_，360docimg_529_；360docimg_530_，360docimg_531_；
360docimg_532_，360docimg_533_；360docimg_534_；360docimg_535_；360docimg_536_；
將以上結(jié)果代入泰勒公式，得
360docimg_537_360docimg_538_。
★★2.求函數(shù)360docimg_539_按360docimg_540_的冪展開(kāi)的帶有拉格朗日型余項(xiàng)的三階泰勒公式。
知識(shí)點(diǎn)：泰勒公式。
思路：同1。
解：360docimg_541_，360docimg_542_；360docimg_543_，360docimg_544_；
360docimg_545_，360docimg_546_；360docimg_547_；將以上結(jié)果代入泰勒公式，得
360docimg_548_
360docimg_549_，（360docimg_550_介于360docimg_551_與4之間）。
★★★3.把360docimg_552_在360docimg_553_點(diǎn)展開(kāi)到含360docimg_554_項(xiàng)，并求360docimg_555_。
知識(shí)點(diǎn)：麥克勞林公式。
思路：間接展開(kāi)法。360docimg_556_為有理分式時(shí)通常利用已知的結(jié)論360docimg_557_。
解：360docimg_558_
360docimg_559_；
又由泰勒公式知360docimg_560_前的系數(shù)360docimg_561_，從而360docimg_562_。
★★4.求函數(shù)360docimg_563_按360docimg_564_的冪展開(kāi)的帶有皮亞諾型余項(xiàng)的360docimg_565_階泰勒公式。
知識(shí)點(diǎn)：泰勒公式。
思路：直接展開(kāi)法，解法同1；或者間接展開(kāi)法，360docimg_566_為對(duì)數(shù)函數(shù)時(shí)，通常利用已知的結(jié)論
360docimg_567_360docimg_568_。
方法一：（直接展開(kāi)）360docimg_569_，360docimg_570_；360docimg_571_，360docimg_572_；
360docimg_573_，360docimg_574_；360docimg_575_，360docimg_576_；
將以上結(jié)果代入泰勒公式，得
360docimg_577_360docimg_578_360docimg_579_360docimg_580_360docimg_581_360docimg_582_
360docimg_583_。
方法二：360docimg_584_
360docimg_585_
360docimg_586_。
★★5.求函數(shù)360docimg_587_按360docimg_588_的冪展開(kāi)的帶有拉格朗日型余項(xiàng)的360docimg_589_階泰勒公式。
知識(shí)點(diǎn)：泰勒公式。
思路：直接展開(kāi)法，解法同1；或者間接展開(kāi)法，360docimg_590_為有理分式時(shí)通常利用已知的結(jié)論360docimg_591_。
方法一：360docimg_592_，360docimg_593_；360docimg_594_，360docimg_595_；360docimg_596_，
360docimg_597_360docimg_598_，360docimg_599_；
將以上結(jié)果代入泰勒公式，得
360docimg_600_
360docimg_601_360docimg_602_
360docimg_603_360docimg_604_360docimg_605_（360docimg_606_介于360docimg_607_與360docimg_608_之間）。
方法二：360docimg_609_
360docimg_610_360docimg_611_360docimg_612_360docimg_613_ （360docimg_614_介于360docimg_615_與360docimg_616_之間）。
★★6.求函數(shù)360docimg_617_的帶有皮亞諾型余項(xiàng)的360docimg_618_階麥克勞林展開(kāi)式。
知識(shí)點(diǎn)：麥克勞林公式。
思路：直接展開(kāi)法，解法同1；間接展開(kāi)法。360docimg_619_中含有360docimg_620_時(shí)，通常利用已知結(jié)論
360docimg_621_。
方法一：360docimg_622_，360docimg_623_；360docimg_624_，360docimg_625_；360docimg_626_，
360docimg_627_，將以上結(jié)果代入麥克勞林公式，得
360docimg_628_
360docimg_629_360docimg_630_ 360docimg_631_。
方法二：360docimg_632_
360docimg_633_ 360docimg_634_。
★★7.驗(yàn)證當(dāng)360docimg_635_時(shí)，按公式360docimg_636_計(jì)算360docimg_637_的近似值時(shí)，所產(chǎn)生的誤差小于360docimg_638_，并求360docimg_639_的近似值，使誤差小于360docimg_640_。
知識(shí)點(diǎn)：泰勒公式的應(yīng)用。
思路：利用泰勒公式估計(jì)誤差，就是估計(jì)拉格朗日余項(xiàng)的范圍。
解：360docimg_641_；360docimg_642_。
★★8.用泰勒公式取360docimg_643_，求360docimg_644_的近似值，并估計(jì)其誤差。
知識(shí)點(diǎn)：泰勒公式的應(yīng)用。
解：設(shè)360docimg_645_，則360docimg_646_
360docimg_647_360docimg_648_，從而360docimg_649_；其誤差為：360docimg_650_。
★★★9.利用函數(shù)的泰勒展開(kāi)式求下列極限：
（1）360docimg_651_； （2）360docimg_652_ 。
知識(shí)點(diǎn)：泰勒展開(kāi)式的應(yīng)用。
思路：間接展開(kāi)法。利用已知的結(jié)論將函數(shù)展開(kāi)到適當(dāng)?shù)男问?，然后利用極限的運(yùn)算性質(zhì)得到結(jié)果。
解：（1）360docimg_653_
360docimg_654_360docimg_655_。
（2）360docimg_656_
360docimg_657_360docimg_658_。
★★10.設(shè)360docimg_659_，證明：360docimg_660_。
知識(shí)點(diǎn)：泰勒公式。
思路：用泰勒公式證明不等式是常用的一種方法。特別是不等式的一邊為某個(gè)函數(shù)，另一邊為其冪級(jí)數(shù)展開(kāi)的一部分時(shí)，可考慮用泰勒公式。
解：360docimg_661_（360docimg_662_介于360docimg_663_與360docimg_664_之間），∵360docimg_665_，∴360docimg_666_，
從而360docimg_667_，結(jié)論成立。
（也可用§3.4函數(shù)單調(diào)性的判定定理證明之）
★★11.證明函數(shù)360docimg_668_是360docimg_669_次多項(xiàng)式的充要條件是360docimg_670_。
知識(shí)點(diǎn)：麥克勞林公式。
思路：將360docimg_671_按照麥克勞林公式形式展開(kāi)，根據(jù)已知條件，得結(jié)論。
解：必要性。易知，若360docimg_672_是360docimg_673_次多項(xiàng)式，則有360docimg_674_。
充分性?！?60docimg_675_，∴360docimg_676_的360docimg_677_階麥克勞林公式為：360docimg_678_
360docimg_679_360docimg_680_
360docimg_681_360docimg_682_，即360docimg_683_是360docimg_684_次多項(xiàng)式，結(jié)論成立。
★★★12.若360docimg_685_在360docimg_686_上有360docimg_687_階導(dǎo)數(shù)，且360docimg_688_
證明在360docimg_689_內(nèi)至少存在一點(diǎn)360docimg_690_，使360docimg_691_。
知識(shí)點(diǎn)：泰勒中值定理、拉格朗日中值定理。
思路：證明360docimg_692_，可連續(xù)使用拉格朗日中值定理，驗(yàn)證360docimg_693_在360docimg_694_上滿足羅爾中值定理；或者利用泰勒中值定理，根據(jù)360docimg_695_在360docimg_696_處的泰勒展開(kāi)式及已知條件得結(jié)論。
方法一：∵360docimg_697_在360docimg_698_上可導(dǎo)，且360docimg_699_，
∴由羅爾中值定理知，在360docimg_700_內(nèi)至少存在一點(diǎn)360docimg_701_，使得360docimg_702_；
∵360docimg_703_在360docimg_704_上可導(dǎo)，且360docimg_705_，
∴由羅爾中值定理知，在360docimg_706_內(nèi)至少存在一點(diǎn)360docimg_707_，使得360docimg_708_；
依次類(lèi)推可知，360docimg_709_在360docimg_710_ 360docimg_711_上可導(dǎo)，且360docimg_712_，
∴由羅爾中值定理知，在360docimg_713_內(nèi)至少存在一點(diǎn)360docimg_714_，使得360docimg_715_。
方法二：根據(jù)已知條件，360docimg_716_在360docimg_717_處的泰勒展開(kāi)式為：
360docimg_718_360docimg_719_360docimg_720_，
∴360docimg_721_360docimg_722_，從而得360docimg_723_，結(jié)論成立。
內(nèi)容概要
名稱(chēng)
主要內(nèi)容（3.4）
3.4 函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性
函數(shù)單調(diào)性的判別法：設(shè)360docimg_724_在360docimg_725_上連續(xù)，在360docimg_726_內(nèi)可導(dǎo)，則
（1）若在360docimg_727_內(nèi)360docimg_728_，則360docimg_729_在360docimg_730_上單調(diào)增加；
（2）若在360docimg_731_內(nèi)360docimg_732_，則360docimg_733_在360docimg_734_上單調(diào)減少。
1） 曲線凹凸性的概念：設(shè)360docimg_735_在區(qū)間360docimg_736_內(nèi)連續(xù)，如果對(duì)360docimg_737_上任意兩點(diǎn)360docimg_738_，恒有
360docimg_739_，則稱(chēng)360docimg_740_在360docimg_741_上的圖形是凹的；如果恒有
360docimg_742_，則稱(chēng)360docimg_743_在360docimg_744_上的圖形是凸的。
2）拐點(diǎn)的概念：連續(xù)曲線上凹弧與凸弧的分界點(diǎn)成為曲線的拐點(diǎn)。
曲線凹凸性的判別法：設(shè)360docimg_745_在360docimg_746_上連續(xù)，在360docimg_747_內(nèi)具有一階和二階導(dǎo)數(shù)，則
（1）若在360docimg_748_內(nèi)360docimg_749_，則360docimg_750_在360docimg_751_上的圖形是凹的；
（2）若在360docimg_752_內(nèi)360docimg_753_，則360docimg_754_在360docimg_755_上的圖形是凸的。
習(xí)題3-4
★1.證明函數(shù)360docimg_756_單調(diào)增加。
知識(shí)點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用。
思路：利用一階導(dǎo)數(shù)符號(hào)判斷函數(shù)的單調(diào)性是常用的方法。在某個(gè)區(qū)間360docimg_757_上，360docimg_758_（360docimg_759_），則360docimg_760_在360docimg_761_單調(diào)增加（減少）。
證明：∵360docimg_762_（僅在360docimg_763_處360docimg_764_），
∴360docimg_765_在360docimg_766_內(nèi)是單調(diào)增加的。
★2.判定函數(shù)360docimg_767_的單調(diào)性。
解：∵360docimg_768_（僅在360docimg_769_處360docimg_770_），
∴360docimg_771_是單調(diào)增加的。
★★3.求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：
（1）360docimg_772_； （2）360docimg_773_；（3）360docimg_774_；
（4）360docimg_775_； （5）360docimg_776_； （6）360docimg_777_。
知識(shí)點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用。
思路：利用一階導(dǎo)數(shù)符號(hào)判斷函數(shù)的單調(diào)性。求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，用導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)及不可導(dǎo)點(diǎn)，將定義域劃分成若干個(gè)區(qū)間，然后在每個(gè)區(qū)間上判斷函數(shù)的單調(diào)性；如果劃分定義域的點(diǎn)有兩個(gè)或以上，可列表討論，使得思路更清晰一些。
解：（1）360docimg_778_的定義域?yàn)?60docimg_779_；令360docimg_780_，
得360docimg_781_，360docimg_782_。列表討論如下：
360docimg_783_
360docimg_784_
360docimg_785_
360docimg_786_
360docimg_787_
360docimg_788_
360docimg_789_
360docimg_790_
360docimg_791_
－
360docimg_792_
360docimg_793_
360docimg_794_
↗
↘
↗
由上表可知，360docimg_795_在360docimg_796_、360docimg_797_內(nèi)嚴(yán)格單增，而在360docimg_798_內(nèi)嚴(yán)格單減。
（2） 在360docimg_799_內(nèi)，令360docimg_800_，得360docimg_801_；
當(dāng)360docimg_802_時(shí)，有360docimg_803_；當(dāng)360docimg_804_時(shí)，有360docimg_805_；
∴360docimg_806_在360docimg_807_內(nèi)嚴(yán)格單增，在360docimg_808_內(nèi)嚴(yán)格單減。
（3）360docimg_809_的定義域?yàn)?60docimg_810_；令360docimg_811_，
得360docimg_812_；360docimg_813_為不可導(dǎo)點(diǎn)。列表討論如下：
360docimg_814_
360docimg_815_
360docimg_816_
360docimg_817_
360docimg_818_
360docimg_819_
360docimg_820_
360docimg_821_
360docimg_822_
－
360docimg_823_
360docimg_824_
360docimg_825_
↗
↘
↗
由上表可知，360docimg_826_在360docimg_827_、360docimg_828_內(nèi)嚴(yán)格單增，而在360docimg_829_內(nèi)嚴(yán)格單減。
（4）360docimg_830_的定義域?yàn)?60docimg_831_，
360docimg_832_360docimg_833_，
∴360docimg_834_在360docimg_835_內(nèi)嚴(yán)格單增。
（5）360docimg_836_的定義域?yàn)?60docimg_837_，∵360docimg_838_，
∴360docimg_839_在360docimg_840_上嚴(yán)格單增。
（6）360docimg_841_的定義域?yàn)?60docimg_842_，令360docimg_843_，得360docimg_844_；
當(dāng)360docimg_845_時(shí)，360docimg_846_；當(dāng)360docimg_847_時(shí)，360docimg_848_；
∴360docimg_849_在360docimg_850_內(nèi)嚴(yán)格單增，在360docimg_851_內(nèi)嚴(yán)格單減。
★★4.證明下列不等式：
（1） 當(dāng)360docimg_852_時(shí)，360docimg_853_； （2）當(dāng)360docimg_854_時(shí)，360docimg_855_；
（3）當(dāng)360docimg_856_時(shí)，360docimg_857_； （4）360docimg_858_時(shí)，360docimg_859_。
知識(shí)點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用或者泰勒公式的應(yīng)用。
思路：利用泰勒公式可以證明一些不等式（見(jiàn)習(xí)題3-3第10題），利用函數(shù)單調(diào)性也是證明不等式常用的方法。
解：（1）方法一：令360docimg_860_，
則當(dāng)360docimg_861_時(shí)，360docimg_862_360docimg_863_360docimg_864_，
∴360docimg_865_在360docimg_866_上嚴(yán)格單增；從而360docimg_867_，
即360docimg_868_，結(jié)論成立。
方法二：由泰勒公式，得
360docimg_869_（360docimg_870_），
∴360docimg_871_，從而得360docimg_872_，結(jié)論成立。
（2）方法一：令360docimg_873_，則當(dāng)360docimg_874_時(shí)，360docimg_875_，
360docimg_876_，
∴360docimg_877_在360docimg_878_內(nèi)嚴(yán)格單增，
從而360docimg_879_，
∴360docimg_880_在360docimg_881_內(nèi)嚴(yán)格單增，在360docimg_882_內(nèi)360docimg_883_，
∴360docimg_884_，結(jié)論成立。
注：利用360docimg_885_的符號(hào)判斷360docimg_886_的單調(diào)性，利用360docimg_887_的單調(diào)性判斷其在某區(qū)間上的符號(hào)，從而得出360docimg_888_在某區(qū)間上的單調(diào)性，也是常用的一種方法。
方法二：令360docimg_889_，
當(dāng)360docimg_890_時(shí)，360docimg_891_，
∴360docimg_892_在360docimg_893_內(nèi)嚴(yán)格單增，
∴360docimg_894_，從而有，360docimg_895_，
∴360docimg_896_，即360docimg_897_，結(jié)論成立。
（3）令360docimg_898_，
則當(dāng)360docimg_899_時(shí)有360docimg_900_（僅在360docimg_901_時(shí)，360docimg_902_），
∴360docimg_903_在360docimg_904_上嚴(yán)格單增，從而有360docimg_905_，
即360docimg_906_，結(jié)論成立。
（4）令360docimg_907_，則當(dāng)360docimg_908_時(shí)，有360docimg_909_
從而360docimg_910_在360docimg_911_內(nèi)嚴(yán)格單增，∴360docimg_912_，即在360docimg_913_內(nèi)360docimg_914_；
再令360docimg_915_，
則當(dāng)360docimg_916_時(shí)，360docimg_917_，
從而360docimg_918_在360docimg_919_內(nèi)嚴(yán)格單增，∴360docimg_920_，
即在360docimg_921_內(nèi)360docimg_922_，結(jié)論成立。
★★★5.試證方程360docimg_923_只有一個(gè)實(shí)根。
知識(shí)點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用。
思路：利用導(dǎo)數(shù)的符號(hào)判斷函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而討論方程的根是常用的方法。
解：易知，360docimg_924_，即360docimg_925_是方程的一個(gè)根；
令360docimg_926_，則360docimg_927_（僅在360docimg_928_處360docimg_929_），
∴360docimg_930_在360docimg_931_內(nèi)嚴(yán)格單增，從而360docimg_932_只有一個(gè)零點(diǎn)，
即方程360docimg_933_只有一個(gè)實(shí)根。
★★6.單調(diào)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是否必為單調(diào)函數(shù)？研究例子：360docimg_934_。
知識(shí)點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用。
思路：利用一階導(dǎo)數(shù)符號(hào)判斷單調(diào)性，從而證明結(jié)論。
解：?jiǎn)握{(diào)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)不一定為單調(diào)函數(shù)。
∵360docimg_935_（僅在360docimg_936_處360docimg_937_），
∴360docimg_938_在360docimg_939_內(nèi)嚴(yán)格單增；
而360docimg_940_在360docimg_941_內(nèi)嚴(yán)格單減，在360docimg_942_內(nèi)嚴(yán)格單增，從而在360docimg_943_上不單調(diào)。
★★7.求下列函數(shù)圖形的拐點(diǎn)及凹凸區(qū)間：
（1）360docimg_944_；（2）360docimg_945_ ； （3）360docimg_946_；
（4）360docimg_947_； （5）360docimg_948_； （6）360docimg_949_ 。
知識(shí)點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用。
思路：利用二階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)判斷函數(shù)的凹凸性；求拐點(diǎn)和凹凸區(qū)間，用二階導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)及不可導(dǎo)點(diǎn)，將定義域劃分成若干個(gè)區(qū)間，然后在每個(gè)區(qū)間上判斷函數(shù)的凹凸性；如果劃分定義域的點(diǎn)有兩個(gè)或以上，可列表討論，使得思路更清晰一些。
解：（1）360docimg_950_，360docimg_951_，∵當(dāng)360docimg_952_時(shí)，360docimg_953_，
∴360docimg_954_在360docimg_955_上為凹函數(shù)，沒(méi)有拐點(diǎn)。
（2）360docimg_956_的定義域?yàn)?60docimg_957_；
360docimg_958_，360docimg_959_，令360docimg_960_，得360docimg_961_；
當(dāng)360docimg_962_或360docimg_963_時(shí)，360docimg_964_；當(dāng)360docimg_965_或360docimg_966_時(shí)，360docimg_967_；
∴360docimg_968_的凹區(qū)間為360docimg_969_、360docimg_970_，凸區(qū)間為360docimg_971_、360docimg_972_；∴拐點(diǎn)為360docimg_973_。
（3）360docimg_974_的定義域?yàn)?60docimg_975_，360docimg_976_，360docimg_977_，
∴360docimg_978_在整個(gè)定義域上為凹函數(shù)，沒(méi)有拐點(diǎn)。
（4）360docimg_979_的定義域?yàn)?60docimg_980_，360docimg_981_，
360docimg_982_360docimg_983_，∴360docimg_984_在整個(gè)定義域上為凹函數(shù)，沒(méi)有拐點(diǎn)。
（5）360docimg_985_的定義域?yàn)?60docimg_986_，360docimg_987_，360docimg_988_，
令360docimg_989_，得360docimg_990_；列表討論如下：
360docimg_991_
360docimg_992_
360docimg_993_
360docimg_994_
360docimg_995_
360docimg_996_
360docimg_997_
－
360docimg_998_
360docimg_999_
360docimg_1000_
－
360docimg_1001_
360docimg_1002_
360docimg_1003_
360docimg_1004_
由上表可知，360docimg_1005_的凸區(qū)間為360docimg_1006_、360docimg_1007_，凹區(qū)間為360docimg_1008_，拐點(diǎn)為360docimg_1009_及360docimg_1010_。
（6）360docimg_1011_的定義域?yàn)?60docimg_1012_，360docimg_1013_，360docimg_1014_，
令360docimg_1015_，得360docimg_1016_；當(dāng)360docimg_1017_時(shí)，360docimg_1018_；當(dāng)360docimg_1019_時(shí)，360docimg_1020_；
∴360docimg_1021_的凹區(qū)間為360docimg_1022_，凸區(qū)間為360docimg_1023_，拐點(diǎn)為360docimg_1024_。
★★★8.利用函數(shù)圖形的凹凸性，證明不等式：
（1）360docimg_1025_； （2）360docimg_1026_。
知識(shí)點(diǎn)：函數(shù)凹凸性的概念。
思路：利用函數(shù)凹凸性的概念可證明一些不等式，特別是不等式中含不同變量的線性組合及其函數(shù)值的線性組合時(shí)可考慮利用函數(shù)的凹凸性。
證明：（1）令360docimg_1027_，∵360docimg_1028_，∴360docimg_1029_在360docimg_1030_內(nèi)是凹的。
利用凹函數(shù)的定義，360docimg_1031_360docimg_1032_，有360docimg_1033_，結(jié)論成立。
（2）令360docimg_1034_，∵在360docimg_1035_內(nèi)，360docimg_1036_，∴360docimg_1037_在360docimg_1038_內(nèi)是凸的。利用凸函數(shù)的定義，360docimg_1039_360docimg_1040_，有360docimg_1041_，結(jié)論成立。
★★★9.求曲線360docimg_1042_的拐點(diǎn)。
知識(shí)點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用。
思路：同7。
解：360docimg_1043_的定義域?yàn)?60docimg_1044_，360docimg_1045_，
360docimg_1046_
令360docimg_1047_，得360docimg_1048_，360docimg_1049_；現(xiàn)列表討論如下：
360docimg_1050_
360docimg_1051_
360docimg_1052_
360docimg_1053_
360docimg_1054_
360docimg_1055_
360docimg_1056_
360docimg_1057_
360docimg_1058_
－
360docimg_1059_
360docimg_1060_
360docimg_1061_
－
360docimg_1062_
360docimg_1063_
360docimg_1064_
360docimg_1065_
360docimg_1066_
360docimg_1067_
360docimg_1068_
由上表可知，拐點(diǎn)為360docimg_1069_、360docimg_1070_、360docimg_1071_。
★★10.問(wèn)360docimg_1072_及360docimg_1073_為何值時(shí)，點(diǎn)360docimg_1074_為曲線360docimg_1075_的拐點(diǎn)？
知識(shí)點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用。
思路：拐點(diǎn)通常是二階導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)或者是不可導(dǎo)點(diǎn)。又高階可導(dǎo)的函數(shù)的拐點(diǎn)一定是二階導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)。
解：360docimg_1076_的定義域?yàn)?60docimg_1077_，360docimg_1078_，360docimg_1079_；
將360docimg_1080_代入360docimg_1081_中，得：360docimg_1082_①；
將360docimg_1083_代入360docimg_1084_中，得：360docimg_1085_②；
由①②得，360docimg_1086_，360docimg_1087_。
★★★11.試確定曲線360docimg_1088_中的360docimg_1089_、360docimg_1090_、360docimg_1091_、360docimg_1092_，使得在360docimg_1093_處曲線有水平切線，360docimg_1094_為拐點(diǎn)，且點(diǎn)360docimg_1095_在曲線上。
知識(shí)點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的幾何意義及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用。
思路：利用可導(dǎo)函數(shù)的拐點(diǎn)一定是二階導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)，在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值等于該點(diǎn)處切線的斜率，以及已知條件，建立方程組，確定函數(shù)中的待定參數(shù)。
解：360docimg_1096_，360docimg_1097_； 將360docimg_1098_代入360docimg_1099_，得
360docimg_1100_ ①
將360docimg_1101_分別代入360docimg_1102_與360docimg_1103_中，得
360docimg_1104_ ②； 360docimg_1105_ ③
將360docimg_1106_代入360docimg_1107_中，得360docimg_1108_④
由①②③④得，360docimg_1109_，360docimg_1110_，360docimg_1111_，360docimg_1112_。
★★★12.試確定360docimg_1113_中360docimg_1114_的值，使曲線的拐點(diǎn)處的法線通過(guò)原點(diǎn)。
知識(shí)點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用。
思路：可導(dǎo)的拐點(diǎn)必為二階導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)；依此求出拐點(diǎn)坐標(biāo)，寫(xiě)出法線方程，根據(jù)已知條件，求出360docimg_1115_值。
解：360docimg_1116_的定義域?yàn)?60docimg_1117_；360docimg_1118_，360docimg_1119_；
令360docimg_1120_，得360docimg_1121_。易知，當(dāng)360docimg_1122_的取值通過(guò)360docimg_1123_的兩側(cè)時(shí)，360docimg_1124_會(huì)變號(hào)，
∴360docimg_1125_與360docimg_1126_均為360docimg_1127_的拐點(diǎn)；∵360docimg_1128_，360docimg_1129_，
∴兩拐點(diǎn)處法線方程分別為：360docimg_1130_，360docimg_1131_；
又兩法線過(guò)原點(diǎn)，將360docimg_1132_代入法線方程，得360docimg_1133_，解得360docimg_1134_。
★★★★13.設(shè)函數(shù)360docimg_1135_在360docimg_1136_的某鄰域內(nèi)具有三階導(dǎo)數(shù)，如果360docimg_1137_，
而360docimg_1138_，試問(wèn)360docimg_1139_是否為拐點(diǎn)，為什么？
知識(shí)點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用。
思路：根據(jù)極限的保號(hào)性和拐點(diǎn)的定義得結(jié)論。
方法一：360docimg_1140_，360docimg_1141_不妨設(shè)360docimg_1142_，即
360docimg_1143_360docimg_1144_；
由極限的保號(hào)性知，必存在360docimg_1145_，使得360docimg_1146_，均有360docimg_1147_；
從而當(dāng)360docimg_1148_時(shí)，有360docimg_1149_，當(dāng)360docimg_1150_時(shí)，有360docimg_1151_；
∴360docimg_1152_為拐點(diǎn)。
內(nèi)容概要
名稱(chēng)
主要內(nèi)容（3.5）
3.5
函數(shù)的極值與最大值最小值
極值的概念：設(shè)函數(shù)360docimg_1153_在點(diǎn)360docimg_1154_的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，若對(duì)該鄰域內(nèi)任意一點(diǎn)360docimg_1155_（360docimg_1156_），恒有360docimg_1157_（或360docimg_1158_），則稱(chēng)360docimg_1159_在點(diǎn)360docimg_1160_處取得極大值（或極小值），而360docimg_1161_成為函數(shù)360docimg_1162_的極大值點(diǎn)（或極小值點(diǎn)）。
函數(shù)極值的
判別法
第一充分條件：設(shè)函數(shù)360docimg_1163_在點(diǎn)360docimg_1164_的某個(gè)鄰域內(nèi)連續(xù)且可導(dǎo)（360docimg_1165_可以不存在），
（1）若在360docimg_1166_的左鄰域內(nèi)，360docimg_1167_；在在360docimg_1168_的右鄰域內(nèi)，360docimg_1169_，則360docimg_1170_在360docimg_1171_處取得極大值360docimg_1172_；
（2）若在360docimg_1173_的左鄰域內(nèi)，360docimg_1174_；在在360docimg_1175_的右鄰域內(nèi)，360docimg_1176_，則360docimg_1177_在360docimg_1178_處取得極小值360docimg_1179_；
（3）若在360docimg_1180_的左鄰域內(nèi)，360docimg_1181_不變號(hào)，則360docimg_1182_在360docimg_1183_處沒(méi)有極值。
注：第一充分條件利用一階導(dǎo)數(shù)符號(hào)判斷函數(shù)單調(diào)性。
第二充分條件：設(shè)360docimg_1184_在360docimg_1185_處具有二階導(dǎo)數(shù)，且360docimg_1186_，360docimg_1187_，則
（1）當(dāng)360docimg_1188_時(shí)，函數(shù)360docimg_1189_在360docimg_1190_處取得極大值；
（2）當(dāng)360docimg_1191_時(shí)，函數(shù)360docimg_1192_在360docimg_1193_處取得極小值。
注：利用駐點(diǎn)處二階導(dǎo)數(shù)符號(hào)判斷駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn)。
函數(shù)的最大值和最小值：注意函數(shù)極值和最值的區(qū)別和聯(lián)系
習(xí)題3-5
★★1.求下列函數(shù)的極值：
（1）360docimg_1194_； （2）360docimg_1195_； （3）360docimg_1196_；
（4）360docimg_1197_； （5）360docimg_1198_； （6）360docimg_1199_。
知識(shí)點(diǎn)：極值的充分條件。
思路：求360docimg_1200_的點(diǎn)或者360docimg_1201_不存在的點(diǎn)，然后利用極值的第一或者第二充分條件進(jìn)行判斷。當(dāng)所有的極值可疑點(diǎn)多于兩個(gè)時(shí)，若利用第一充分條件，可列表討論；第二充分條件僅用來(lái)對(duì)駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn)進(jìn)行判斷。
解：（1）方法一：360docimg_1202_的定義域?yàn)?60docimg_1203_，
令360docimg_1204_，得360docimg_1205_，360docimg_1206_；現(xiàn)列表討論如下：
360docimg_1207_
360docimg_1208_
360docimg_1209_
360docimg_1210_
360docimg_1211_
360docimg_1212_
360docimg_1213_
360docimg_1214_
360docimg_1215_
－
360docimg_1216_
360docimg_1217_
360docimg_1218_
↗
極大值點(diǎn)
↘
極小值點(diǎn)
↗
由上表知，360docimg_1219_在360docimg_1220_處取得極大值為360docimg_1221_，在360docimg_1222_處取得極小值為360docimg_1223_。
方法二：令360docimg_1224_，得360docimg_1225_，360docimg_1226_；
由360docimg_1227_得，360docimg_1228_，360docimg_1229_，
∴由極值的第二充分條件知，360docimg_1230_在360docimg_1231_處取得極大值為360docimg_1232_，
在360docimg_1233_處取得極小值為360docimg_1234_。
（2）方法一：360docimg_1235_的定義域?yàn)?60docimg_1236_，令360docimg_1237_，得360docimg_1238_；
當(dāng)360docimg_1239_時(shí)，有360docimg_1240_；當(dāng)360docimg_1241_時(shí)，有360docimg_1242_，
∴由極值的第一充分條件知，360docimg_1243_在360docimg_1244_處取得極小值為360docimg_1245_。
方法二：360docimg_1246_的定義域?yàn)?60docimg_1247_，令360docimg_1248_，得360docimg_1249_；
又由360docimg_1250_，得360docimg_1251_，
∴由極值的第二充分條件知，360docimg_1252_在360docimg_1253_處取得極小值為360docimg_1254_。
（3） 方法一：360docimg_1255_的定義域?yàn)?60docimg_1256_，令360docimg_1257_，得360docimg_1258_，360docimg_1259_；現(xiàn)列表討論如下：
360docimg_1260_
360docimg_1261_
360docimg_1262_
360docimg_1263_
360docimg_1264_
360docimg_1265_
360docimg_1266_
－
360docimg_1267_
360docimg_1268_
360docimg_1269_
－
360docimg_1270_
↘
極小值點(diǎn)
↗
極大值點(diǎn)
↘
由上表知，360docimg_1271_在360docimg_1272_處取得極小值為360docimg_1273_，在360docimg_1274_處取得極大值為360docimg_1275_。
方法二：360docimg_1276_的定義域?yàn)?60docimg_1277_，令360docimg_1278_，得360docimg_1279_，360docimg_1280_；
由360docimg_1281_，得360docimg_1282_，360docimg_1283_；
∴由極值的第二充分條件知，360docimg_1284_在360docimg_1285_處取得極小值為360docimg_1286_，在360docimg_1287_處取得極大值為360docimg_1288_。
（4）360docimg_1289_的定義域?yàn)?60docimg_1290_，令360docimg_1291_，得360docimg_1292_；
當(dāng)360docimg_1293_時(shí)，有360docimg_1294_；當(dāng)360docimg_1295_時(shí)，有360docimg_1296_，
∴由極值的第一充分條件知，360docimg_1297_在360docimg_1298_處取得極大值為360docimg_1299_。
注：此題中360docimg_1300_的表達(dá)式比較繁瑣，所以優(yōu)先考慮第一充分條件。
（5）360docimg_1301_的定義域?yàn)?60docimg_1302_，
令360docimg_1303_，得360docimg_1304_，360docimg_1305_；由360docimg_1306_，得
360docimg_1307_，360docimg_1308_， 360docimg_1309_；
∴由極值的第二充分條件知，
360docimg_1310_在360docimg_1311_處取得極大值為360docimg_1312_，
在360docimg_1313_處取得極小值為360docimg_1314_，360docimg_1315_。
注：此題的單調(diào)區(qū)間有無(wú)窮多個(gè)，所以優(yōu)先考慮第二充分條件。
（6）360docimg_1316_的定義域?yàn)?60docimg_1317_，令360docimg_1318_，得360docimg_1319_；
360docimg_1320_為不可導(dǎo)點(diǎn)；現(xiàn)列表討論如下：
360docimg_1321_
360docimg_1322_
360docimg_1323_
360docimg_1324_
360docimg_1325_
360docimg_1326_
360docimg_1327_
360docimg_1328_
360docimg_1329_
－
360docimg_1330_
360docimg_1331_
360docimg_1332_
↗
極大值點(diǎn)
↘
極小值點(diǎn)
↗
由上表知，360docimg_1333_在360docimg_1334_處取得極大值為360docimg_1335_，在360docimg_1336_處取得極小值為360docimg_1337_。
注：此題中的函數(shù)具有不可導(dǎo)點(diǎn)，所以用第一充分條件。
★★★2.試證：當(dāng)360docimg_1338_時(shí)，360docimg_1339_取得極值。
知識(shí)點(diǎn)：函數(shù)取得極值的條件。
思路：在定義區(qū)間內(nèi)求360docimg_1340_的點(diǎn)，然后利用極值的充分條件進(jìn)行判斷。
證明：360docimg_1341_的定義域?yàn)?60docimg_1342_，令360docimg_1343_，
∵方程360docimg_1344_根的判別式：360docimg_1345_
∴當(dāng)360docimg_1346_時(shí)，得駐點(diǎn)為360docimg_1347_；由360docimg_1348_，得
360docimg_1349_，
360docimg_1350_，
∴360docimg_1351_在360docimg_1352_處取得極小值，在360docimg_1353_處取得極大值。
★★3.試問(wèn)360docimg_1354_為何值時(shí)，函數(shù)360docimg_1355_在360docimg_1356_處取得極值，并求出極值。
知識(shí)點(diǎn)：取得極值的條件。
思路：利用極值的必要條件，確定360docimg_1357_的值，然后利用充分條件，判斷是極大值還是極小值。
解：根據(jù)題意，得360docimg_1358_，
即360docimg_1359_，360docimg_1360_；
由360docimg_1361_，得360docimg_1362_，
∴360docimg_1363_在360docimg_1364_處取得極大值360docimg_1365_。
