2017年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（全國卷3）
理科數(shù)學(xué)
一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。
1．已知集合，
，則
中元素的個數(shù)為
A．3 B．2 C．1 D．0
2．設(shè)復(fù)數(shù)滿足
，則
A． B． C． D．2
3．某城市為了解游客人數(shù)的變化規(guī)律，提高旅游服務(wù)質(zhì)量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期間月接待游客量（單位：萬人）的數(shù)據(jù)，繪制了下面的折線圖．
根據(jù)該折線圖，下列結(jié)論錯誤的是
A．月接待游客量逐月增加
B．年接待游客量逐年增加
C．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月
D．各年1月至6月的月接待游客量相對于7月至12月，波動性更小，變化比較平穩(wěn)
4．的展開式中的系數(shù)為（）
A．-80 B．-40 C．40 D．80
5．已知雙曲線的一條漸近線方程為，且與橢圓有公共焦點．則的方程為（）
A． B． C． D．
6．設(shè)函數(shù)，則下列結(jié)論錯誤的是（）
A．的一個周期為 B．的圖像關(guān)于直線對稱
C．的一個零點為 D．在單調(diào)遞減
A．5
B．4
C．3
D．2
8．已知圓柱的高為1，它的兩個底面的圓周在直徑為2的同一個球的球面上，則該圓柱的體積為（）
A． B．
C． D．
9．等差數(shù)列的首項為1，公差不為0．若成等比數(shù)列，則前6項的和為
A．-24 B．-3 C．3 D．8
10．已知橢圓（）的左、右頂點分別為，且以線段為直徑的圓與直線相切，則的離心率為（）
A． B． C． D．
11．已知函數(shù)有唯一零點，則（）
A． B． C． D．1
12．在矩形中，，動點在以點為圓心且與相切的圓上．若，則的最大值為
A．3 B． C． D．2
二、填空題：（本題共4小題，每小題5分，共20分）
13．若滿足約束條件則的最小值為________．
14．設(shè)等比數(shù)列滿足，則________．
15．設(shè)函數(shù)則滿足的的取值范圍是________．
16．為空間中兩條互相垂直的直線，等腰直角三角形的直角邊所在直線與都垂直，斜邊以直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)，有下列結(jié)論：
①當(dāng)直線與成角時，與成角；
②當(dāng)直線與成角時，與成角；
③直線與所成角的最小值為；
④直線與所成角的最大值為．
其中正確的是________（填寫所有正確結(jié)論的編號）
三、解答題：（共70分．第17-20題為必考題，每個試題考生都必須作答．第22，23題為選考題，考生根據(jù)要求作答）
（一）必考題：共60分．
17．（12分）
的內(nèi)角的對邊分別為，已知
（1）求；
（2）設(shè)為邊上一點，且，求的面積．
18．（12分）某超市計劃按月訂購一種酸奶，每天進(jìn)貨量相同，進(jìn)貨成本每瓶4元，售價每瓶6元，未售出的酸奶降價處理，以每瓶2元的價格當(dāng)天全部處理完．根據(jù)往年銷售經(jīng)驗，每天需求量與當(dāng)天最高氣溫（單位：℃）有關(guān)．如果最高氣溫不低于25，需求量為500瓶；如果最高氣溫位于區(qū)間，需求量為300瓶；如果最高氣溫低于20，需求量為200瓶，為了確定六月份的訂購計劃，統(tǒng)計了前三年六月份各天的最高氣溫數(shù)據(jù)，得下面的頻數(shù)分布表：
| 最高氣溫 |
|
|
|
|
|
|
| 天數(shù) | 2 | 16 | 36 | 25 | 7 | 4 |
以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率代替最高氣溫位于該區(qū)間的概率．
（1）求六月份這種酸奶一天的需求量（單位：瓶）的分布列；
19．（12分）如圖，四面體中，是正三角形，是直角三角形．∠=∠，．
（1）證明：平面⊥平面；
（2）過的平面交于點，若平面把四面體分成體積相等的兩部分．求二面角的余弦值．
20．（12分）已知拋物線，過點（2，0）的直線交于，兩點，圓是以線段為直徑的圓．
（1）證明：坐標(biāo)原點在圓上；
（2）設(shè)圓過點（4，），求直線與圓的方程．
21．（12分）已知函數(shù)．
（1）若，求的值；
（2）設(shè)為整數(shù)，且對于任意正整數(shù)，，求的最小值．
（二）選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計分。
22．[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]（10分）
在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），設(shè)與的交點為，當(dāng)變化時，的軌跡為曲線．
（1）寫出的普通方程：
（2）以坐標(biāo)原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，設(shè)：，為與的交點，求的極徑．
23．[選修4-5：不等式選講]（10分）
已知函數(shù)．
（1）求不等式的解集；
（2）若不等式的解集非空，求的取值范圍．
2017年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（全國3）
理科數(shù)學(xué)參考答案
一、選擇題
1．B 2．C 3．A 4．C 5．B 6．D
7．D 8．B 9．A 10．A 11．C 12．A
二、填空題
13． 14． 15． 16．②③
三、解答題
17．解：
（1）由已知可得，所以
在中，由余弦定理得，即
解得（舍去），
（2）由題設(shè)可得，所以
故面積與面積的比值為
又的面積為，所以的面積為
18．解：
（1）由題意知，所有可能取值為200,300,500，由表格數(shù)據(jù)知
，，.
因此的分布列為：
|
| 200 | 300 | 500 |
|
| 0.2 | 0.4 | 0.4 |
（2）由題意知，這種酸奶一天的需求量至多為500，至少為200，因此只需考慮200500
當(dāng)時，
若最高氣溫不低于25，則；
若最高氣溫位于區(qū)間[20,25），則；
若最高氣溫低于20，則
因此
當(dāng)時，
若最高氣溫不低于20，則；
若最高氣溫低于20，則
因此
所以時，的數(shù)學(xué)期望達(dá)到最大值，最大值為520元。
19．解：
又是直角三角形，所以
取的中點，連結(jié)，
則
又由于是正三角形，故
所以為二面角的平面角
在中，
又，所以
，故
所以平面平面
（2）由題設(shè)及（1）知，兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點，的方向為軸正方向，為單位長，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則
由題設(shè)知，四面體的體積為四面體的體積的，從而到平面的距離為到平面的距離的，即為的中點，得，故
設(shè)是平面的法向量，則同理可取
則
所以二面角的余弦值為
20．解：
（1）設(shè)
由可得，則
又，故
因此的斜率與的斜率之積為，所以
故坐標(biāo)原點在圓上
（2）由（1）可得
故圓心的坐標(biāo)為，圓的半徑
由于圓過點，因此，
故，
即
由（1）可得
所以，解得或
當(dāng)時，直線的方程為，圓心的坐標(biāo)為，圓的半徑為，圓的方程為
當(dāng)時，直線的方程為，圓心的坐標(biāo)為，圓的半徑為，圓的方程為
21．解：
（1）的定義域為
① 若，因為，所以不滿足題意；
② 若，由知，當(dāng)時，；當(dāng)時，。所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增。故是在的唯一最小值點。
由于，所以當(dāng)且僅當(dāng)時，
故
（2）由（1）知當(dāng)時，
令，得，從而
故
而，所以的最小值為3
22．解：
（1）消去參數(shù)得的普通方程；消去參數(shù)得的普通方程
設(shè)，由題設(shè)得消去得
所以的普通方程為
（2）的極坐標(biāo)方程為
聯(lián)立得
故，從而
代入得，所以交點的極徑為
23．解：
（1）
當(dāng)時，無解；
當(dāng)時，由得，，解得；
當(dāng)時，由解得
所以的解集為
（2）由得，而
且當(dāng)時，
故的取值范圍為
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