如何把握復習《選修4－5：不等式選講》的方向
《不等式選講》是在必修模塊數(shù)學5中第三章《不等式》的基礎上學習的，總的來說仍然繼續(xù)學習了不等式的基礎性知識，但增加了不等式的證明和“柯西不等式”、“排序不等式”、“貝努利不等式”的推證及應用，使得教學內(nèi)容較多，難度增大，學生學起來費勁，教師教起來困難。作為新高考復習，如何把握復習這個專題內(nèi)容的方向，是擺在我們面前急需解決的問題。本文就談談自己在這方面的體會，不妥之處還望批評指正。
一．《不等式選講》構(gòu)成的背景及其定位
眾所周知，不等式一直在中學數(shù)學教材中占有相當?shù)奈恢?，也一直是高考中的必考?nèi)容，但由于“不等式的證明”所涉及到的復雜變換技巧和過于形式化的知識特點，給學生的學習帶來了一定的困難。因此，近些年來，不等式內(nèi)容有逐漸淡化處理的傾向。不等式問題的處理逐漸呈現(xiàn)出淡化理論闡述與推導、減少恒等變換的技巧訓練的趨勢。
《普通高中數(shù)學課程標準》（實驗稿）對不等式的處理分為兩個部分：一是必修模塊數(shù)學5中的一元二次不等式、二元一次不等式組以及基本不等式，重在強調(diào)不等式的現(xiàn)實背景和實際應用，把不等式作為描述、刻畫優(yōu)化問題的一種數(shù)學模型；二是選修系列4中的專題5——“不等式選講”，涉及的內(nèi)容仍然大都是基礎性的不等式知識。如含有絕對值的不等式、不等式的基本證明方法、幾個重要的不等式等。
特別值得注意的是，“不等式選講”仍屬于高等院校招生考試的命題范圍。而且，考慮到不等式在高等數(shù)學中的基礎性和工具性特點，《標準》在“不等式選講”中增加了“柯西不等式”、“排序不等式”、“貝努利不等式”等幾個重要不等式的內(nèi)容，并特別強調(diào)這些不等式的幾何背景知識的介紹，意在增強學生對不等式本質(zhì)的認識，為后續(xù)進一步的學習做準備。
二.《不等式選講》標準
在自然界中存在著大量的不等量關(guān)系和等量關(guān)系，不等關(guān)系和相等關(guān)系是基本的數(shù)學關(guān)系。它們在數(shù)學研究和數(shù)學應用中起著重要的作用。
本專題主要介紹一些重要的不等式和它們的證明、數(shù)學歸納法和它的簡單應用。本專題特別強調(diào)不等式及其證明的幾何意義與背景，以加深學生對這些不等式的數(shù)學本質(zhì)的理解，提高學生的邏輯思維能力和分析問題、解決問題的能力。
內(nèi)容與要求
1.回顧和復習不等式的基本性質(zhì)和基本不等式。
2.理解絕對值的幾何意義，并能利用絕對值不等式的幾何意義證明以下不等式：
（3）會利用絕對值的幾何意義求解以下類型的不等式：
3.認識柯西不等式的幾種不同形式，理解它們的幾何意義。
（1）證明柯西不等式向量形式：
（2） 4.用參數(shù)配方法討論柯西不等式的一般情況：
5.用向量遞歸方法討論排序不等式。
6.了解數(shù)學歸納法的原理及其使用范圍，會用數(shù)學歸納法證明一些簡單問題。
7.會用數(shù)學歸納法證明貝努利不等式：
了解當n為大于1的實數(shù)時貝努利不等式也成立。
8.會用上述不等式證明一些簡單問題。能夠利用平均值不等式、柯西不等式求一些特定函數(shù)的極值。
9.通過一些簡單問題了解證明不等式的基本方法：比較法、綜合法、分析法、反證法、放縮法。
10．完成一個學習總結(jié)報告。
說明與建議
1．在本專題教學中，教師應引導學生了解重要的不等式都有深刻的數(shù)學意義和背景，例如本專題給出的不等式大都有明確的幾何背景。學生在學習中應該把握這些幾何背景，理解這些不等式的實質(zhì)。
2．利用代數(shù)恒等變換以及放大、縮小方法是證明不等式的常用方法。例如，比較法、綜合法、分析法、反證法、放縮法等，在很多情況下需要一些前人為我們創(chuàng)造的技巧，對于專門從事某些數(shù)學領(lǐng)域研究的人們掌握這些技巧是極為重要的。但是，對大多數(shù)學習不等式的人來說，常常很難從這些復雜的代數(shù)恒等變換中看到數(shù)學的本質(zhì)，對他們更為重要的是理解這些不等式的數(shù)學思想和背景。所以，本專題盡力使用幾何或其他方法來證明這些不等式，使學生較為容易地理解這些不等式以及證明的數(shù)學思想，不對恒等變換的難度特別是一些技巧作更多的要求，不希望不等式的教學陷在過于形式化的和復雜的恒等變換的技巧之中。要求教師不要選擇那些代數(shù)恒等變換比較復雜或過于技巧化的問題或習題。
3．數(shù)學歸納法是重要的數(shù)學思想方法，教師應通過對一些簡單問題的分析，幫助學生掌握這種思想方法。在利用數(shù)學歸納法解決問題時，常常需要進行一些代數(shù)恒等變換。要求教師不要選擇那些代數(shù)恒等變換比較復雜或過于技巧化的問題或習題，以免沖淡了對數(shù)學歸納法思想的理解。
三．高考中如何考《不等式選講》
先分析以下近三年海南、寧夏的新高考關(guān)于這一專題的考題：
1.07年24題（本小題滿分10分）：已知函數(shù)，
（1）解不等式 >2;(2)求函數(shù)最小值。
2.08年24題（本小題滿分10分）：已知函數(shù) ，（1）作出函數(shù) 的圖像；（2）解不等式 。
3.09年24題（本小題滿分10分）：如圖，O為數(shù)軸的原點，A，B，M為數(shù)軸上的三點，C為OM線段上的動點。設x表示C與原點的距離，y表示C到A的距離的4倍與C到B的距離的6倍的和。
（1）將y表示成x的函數(shù)；
（2）要使y的值不超過70，x應該在什么范圍內(nèi)取值?
O A B M
10 20 30 x
點評：從以上三年的考題可以看出，《不等式選講》都是重點考查兩層絕對值函數(shù)性質(zhì)的應用，包括建立函數(shù)關(guān)系式、畫函數(shù)圖像、解不等式和求最值等等；同時考查了數(shù)形結(jié)合、分類討論、等價轉(zhuǎn)化等數(shù)學思想的應用。這類題具有一定的典型性和普遍性，屬基礎題，較簡單，估計大多數(shù)學生都能解對。
四．如何把握復習《選修4－5：不等式選講》的方向
從以上分析，我們在復習《選修4－5：不等式選講》時，要將兩層絕對值函數(shù)作為復習的重點，熟練掌握其性質(zhì)及其應用，會解相關(guān)不等式。要淡化證明不等式，對柯西不等式、排序不等式和貝努力不等式的推導和應用更要降低難度，切不要拔高要求，顧此失彼。特提出如下教學建議：
1.回顧高中選修2-2推理與證明中的比較法、綜合法、分析法、反證法、數(shù)學歸納法等內(nèi)容。重視學生在學習本課程時已掌握的相關(guān)知識，可適當指導學生閱讀自學，設置梯度恰當?shù)牧曨}，采用題組教學的形式，達到復習鞏固系統(tǒng)化的效果，類似于高考第二輪的專題復習，構(gòu)建知識體系。
2、控制難度不拓展
在解絕對值不等式的教學中，要控制難度：含未知數(shù)的絕對值不超過兩個；絕對值內(nèi)的關(guān)于未知數(shù)的函數(shù)主要限于一次函數(shù)。解含有絕對值的不等式的最基本和有效的方法是分區(qū)間來加以討論，把含有絕對值的不等式轉(zhuǎn)化為不含絕對值的不等式；
不等式證明的教學，主要使學生掌握比較法、綜合法、分析法，其它方法如反證法、放縮法、數(shù)學歸納法，應用柯西不等式和排序不等式的證明，只要求了解。
代數(shù)恒等變換以及放縮法常常使用一些技巧。這些技巧是極為重要的，但對大多數(shù)學生來說，往往很難掌握這些技巧，教學中要盡力使學生理解這些不等式以及證明的數(shù)學思想，對一些技巧不做更多的要求，不要把不等式的教學陷在過于形式化的和復雜的技巧之中。
3、重視不等式的應用
不等式應用的教學，主要是引導學生解決涉及大小比較、解不等式和最值問題，其中最值問題主要是用二個或三個正數(shù)平均不等式、二維或三維柯西不等式求解。對于超過3個正數(shù)的均值不等式和柯西不等式；排序不等式；貝努里不等式的應用不作要求。
4、重視展現(xiàn)著名不等式的背景
幾個重要不等式都有明確的幾何背景。教師應當引導學生了解重要不等式的數(shù)學意義和幾何背景，使學生在學習中把握這些幾何背景，力求直觀理解這些不等式的實質(zhì)。特別是對于n元柯西不等式、排序不等式、貝努利不等式等內(nèi)容，可指導學生閱讀了解相關(guān)背景知識。
5.關(guān)于明年高考題預測：繼續(xù)考查兩層絕對值函數(shù)性質(zhì)及應用；或者考查用“均值不等式”、“柯西不等式”求最值問題，有一定的靈活性和綜合性。
6.重視課本、回歸課本（2007年高考湖北卷最后一道壓軸題就來源于課本，考查“貝努利不等式”的證明和公式的應用，試題很新穎），也是我們復習時必須注意的重要環(huán)節(jié)。課本的數(shù)學思想方法是我們解題的關(guān)鍵所在，必須牢固和熟練掌握。回歸課本，最終目標是從課本出發(fā)，把學生引向高考數(shù)學的至高點。
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